maple数学软件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学软件,1,第七章 解方程,方程在数学的发展过程中有重要作用，从最初的代数方程、超越方程到微分方程都在一定程度上推动了数学的发展。借助于计算机强大的计算能力，Maple提供了求解代数方程、超越方程和微分方程精确解和数值解的工具。,2,7.1 多项式,1、多项式的定义,(1) 赋值,f:=x4-3*x2+2*x-5;,f:=x-(x-1)3+2*x-3;,(2) 随机生成,f:=randpoly(x);,g:=(x,y)-randpoly(x,y);,3,2、多项式的操作,提取多项式的系数,可以用函数,coeff,提取多项式的系数,格式,:,coeff(p,x,n),coeff(p,xn,);,多元多项式用,coeffs(p,);,如:,f:=,randpoly(x,);,g:=(x,y)-,randpoly(x,y,):,coeff(f,x);coeff(f,x2);coeff(f,x,3);,coeffs(g(x,y,);,4,(2) 提取多项式的项,op(i,e);#提取表达式e的第i项,op(i.j,e);#提取表达式e的第i至j项,nops(e);#计算表达式e总的项数,例如:,e:=randpoly(x);,op(1,e);,op(3.5,e);,op(e);,nops(e);,5,(3) 多项式的开方,平方根: psqrt(p);,如果不是完全平方,返回 _NOSQRT,n次方根:proot(p,n);,如果不是完全n次方,返回 _NOROOT,例如:,psqrt (x4-2*x2+1);,psqrt(x2-2*x+3);,proot(x3-3*x2+3*x-1,3);,proot(x4-2*x2+1,4);,6,(4) 多项式的商和余式,求多项式相除的商:,quo(p1,p2,x,r);,#所得结果为p1除以p2的商,r保存余式(可选项),求多项式相除的余式:,rem(p1,p2,x,q);,#所得结果为p1除以p2的余式,q保存商(可选项),例如:,p1:=x6-4*x3+3*x2-2*x+4;,p2:=x3+2*x2-3*x-1;,q1:=quo(p1,p2,x,r1);,r2:=rem(p1,p2,x,q2);,evalb(q1=q2);,evalb(r1=r2);,7,(5) 合并同类项,调用函数collect,格式: collect(p,x);其中x是单变量或多变量的列表或集合,例如:,f:=a*ln(x)-ln(x)*x-x;,collect(f,ln(x);,g:=int(x2*exp(x)+exp(-x),x);,collect(g,exp(x);,p:=x*y+a*x*y+y*x2-a*y*x2+a*x+x+y;,collect(p,x,y);collect(p,x,y);,collect(p,y,x);collect(p,y,x);,8,(6) 多项式的因式分解,调用函数factor对多项式进行因式分解.,格式: factor(p);factor(p,k);,ifactor(n);#对整数进行分解,前者在有理数域分解,后者可以在实数或复数域中分解.,例如:,factor(6*x2+18*x-24);,factor(x3+5);,factor(x3+5,real);,factor(x3+5,complex);,factor(x3+5,5(1/3);,factor(x3+5,5(1/3),(-3)(1/2);,ifactor(480);,9,1、多项式的判别式,例如：,p1:=a*x2+b*x+c;,discrim(p1,x);,p2:=a*x3+b*x2+c*x+d;,discrim(p2,x);,多项式的判别式在求根中具有重要作用, 可以使用函数,discrim得出判别式. 格式为: discrim(p,x).,7.2 多项式运算,10,2、多项式的展开,使用函数expand展开多项式.,格式: expand(p);,例如:,f1:=x2+x+1;,f2:=x+1;,f:=f1*f2;,expand(f);,f1:=3*x+4*x*y-5;,f:=f1*(-8*x2-6*y2+5*x);,expand(f);,simplify(f);,11,3、多项式的约简,调用函数normal对多项式或有理式进行化简.,格式: normal(p,expanded);#expanded是可选项.,例如:,restart:,normal(x2-(x+1)*(x-1)-1);,normal(x2-y2)/(x-y)3);,normal(f(x)2-1)/(f(x)-1);,normal(sin(x*(x-1)+x);,normal(1/x+x/(x+1);,normal(1/x+x/(x+1),expanded);,12,7.3 有理函数,1、获取有理函数的分子分母,可以调用numer和denom来获取分子和分母.,格式: numer(x); denom(x);,例如:,f:=(x2+x+1)/(x+y2);,numer(f);,denom(f);,numer(x+1/(x+1/x);,denom(x+1/(x+1/x);,13,调用convert可以将有理函数转换为不同的形式.,格式: convert(f,parfrac,x);,其中, f为x的有理函数, parfrac表示分解为部分有理式的和.,例如:,f:=(x+3)/(x2-5*x+6);,convert(f,parfrac,x);,convert(x+1)/(x-y)2,parfrac,x);,convert(x3-4*x2+3*x-1)/(x4-4*x3+6*x2-4*x+1),parfrac,x);,2、有理式转换,14,convert(float,fraction);,如:,convert(1.23456,fraction);,onvert也可以进行十进制数与其它进制数之间的转换.,如:,convert(64,binary);,convert(63,octal);,convert(65535,hex);,convert(FFFF,decimal,hex);,3、浮点数转化为有理数,15,可以利用convert进行三角表达式的转换.,例如:,f:=int(tan(x)5*sec(x)3,x);,g:=simplify(f);,convert(g,sec);,expand(%);,convert(tan(x)5+sec(x)3*sin(x),sincos);,16,7.4 一元n次方程,1、高次方程的精确解,对于次数不超过4的一元方程, 都可以得到它在复数范围内的根的表达式, 调用solve在复数范围内可以求出不超过4次的一元方程的精确解. 格式为: solve(eq,x).,例如:,solve(x2-2*x+3=0,x);,solve(a*x3+b*x2+c*x+d=0,x);,solve(3*x4-2*x3+2*x2-4*x+5=0);,evalf(%);,17,调用fsolve可以求方程的浮点解.,格式: fsolve(eqs,vars,K);,其中, eqs为方程或方程组, vars为变量集合, 可选项K表示范围.,例如:,fsolve(2*x+1=abs(2x-1),x);,eq:=tan(sin(x)-exp(-3*x)=0;,fsolve(eq,x=0.1);,fsolve(eq,x=1.4);,f1:=x2-y2=1;,f2:=y=exp(x);,fsolve(f1,f2,x,y);,2、方程的浮点解,18,solve也可以求用于解不等式或不等式组.,例如:,solve(x-1)*(x-2)*(x-3)1,x);,solve(x21,y2=1,x+y1/2,x,y);,solve(x+y+1/(x+y)=9,x);,3、不等式求解,19,用二分法求方程的根,一、提出问题,设函数f(x)在a,b上单调连续，且f(a)f(b)x3+1.1*x2+0.9*x-1.4;,plot(f(x),x=-2.2);,20,Step2: 求根的近似值.,a:=0.;b:=1.;,while abs(b-a)=10(-10) do,c:=(a+b)/2;,if f(c)* f(a)0 then,a:=c;b:=b;,elif f(c)*f(b)0 then,a:=a;b:=c;,else,a:=c;b:=c;,end if;,a=a,b=b,c=c;,end do;,通过计算，求得方程根的近似值为0. 6706573107.,21,7.5 常微分方程,Maple能显式或隐式地解析求解许多常微分方程. 主要使用函数dsolve求解.,dsolve的调用格式:,dsolve(ode,func,implicit);,例如:,dsolve(diff(y(x),x)=y(x),y(x),implicit);,dsolve(diff(y(x),x)+y(x)=x,y(x);,1、一阶常微分方程,22,例1,求方程,的通解,.,restart;,eq:=diff(y(x),x)-2*y(x)/(x+1)=(x+1)(5/2);,dsolve(eq,y(x);,factor(%);,assign(%);,lj:=seq(subs(_C1=i,y(x),i=-4.4);,plot(lj,x=-2.2,y=-10.10,color=black);,23,理论上将常微分方程分成 y,(n),=f(x), y,”,=f(x,y,), y,”,=f(y,y,) 三种类型,一般是利用变量替换化归为一阶线性微分方程求解. 但在Maple中调用dsolve求解比较方便.,2、可降阶的高阶线性常微分方程,24,例2,分别求微分方程,的通解,.,eq1:=diff(y(x),x$3)=exp(2*x)-cos(x);,eq2:=(1+x2)*diff(y(x),x$2)=2*x*diff(y(x),x);,eq3:=y(x)*diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)2=0;,dsolve(eq1,y(x);,dsolve(eq2,y(x);,dsolve(eq3,y(x);,25,3、高阶线性常微分方程,例3,分别求微分方程,的通解,.,eq1:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)-3*y(x)=0;,eq2:=diff(y(x),x$4)-2*diff(y(x),x$3)+5*diff(y(x),x$2)=0;,eq3:=diff(y(x),x$2)-5*diff(y(x),x)+6*y(x)=x*exp(2*x);,dsolve(eq1,y(x);dsolve(eq2,y(x);dsolve(eq3,y(x);,assign(%);,lj:=seq(seq(subs(_C1=3*i,_C2=3*j,y(x),i=-1.1),j=-1.1);,plot(lj,x=-3.3,y=-10.10,color=blue);,26,4、常微分方程的数值解,例4,解微分方程,restart:,eq:=diff(y(x),x)=sqrt(x2+y(x)2);,dsolve(eq,y(0)=-1,y(x);,s:=dsolve(eq,y(0)=-1,y(x),numeric);,s(0)2;,s(0.1)2;,plot(,rhs(s(x)2),x=0.1);#rhs(eq):取eq右边的项,27,例5,求满足给定初始条件的微分方程的解,restart:,eq:=diff(y(x),x$2)-x*y(x)=0;,dsolve(eq,y(0)=-1,D(y)(0)=1,y(x);,dsolve(eq,y(0)=-1,D(y)(0)=1,y(x),type=series);,幂级数解法,28,7.6 常微分方程组,例1,解微分方程组,restart;,eqs:=diff(y(x),x)=3*y(x)-2*z(x),diff(z(x),x)=2*y(x)-z(x);,dsolve(eqs,y(x),z(x);,29,例2,解微分方程组,restart;,eqs:=diff(x(t),t)=2*x(t)-y(t)-z(t),diff(y(t),t)=2*x(t)-y(t)-2*z(t),diff(z(t),t)=2*z(t)-x(t)+y(t);,dsolve(eqs,x(t),y(t),z(t);,30,