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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Copyright by Li Xinliang,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Copyright by Li Xinliang,*,计算流体力学讲义,第九讲 有限体积法（,1,）,李新亮,；力学所主楼,219,；,82543801,知识点：,1,讲义、课件上传至,(,流体中文网）,-,“流体论坛”,-,“,CFD,基础理论,”,讲课录像及讲义上传至网盘,Copyright by Li Xinliang,有限体积法的基本概念,重构和反演,迎风型有限体积法,Riemann,求解器；,Roe,格式的新理解：近似,Riemann,解,多维迎风型有限体积法,坐标旋转,Copyright by Li Xinliang,2,知识回顾,1.,差分方法的基本概念：,差分格式、修正方程、相容性、收敛性、稳定性、,LAX,等价定理,2.,精度分析、稳定性分析与分辨率分析（修正波数）,Taylor,分析,Fourier,分析,修正波数,激波捕捉格式,GVC, NND, Roe, Godnov, MUSCL, TVD, WENO,Euler (N-S),方程的通量分裂,逐点分裂、特征投影分裂 （建议使用,Roe,平均）,5.,隐格式求解的,LU-SGS,方法,要点：,a.,引入差量，方程线性化,b.,单边差分，隐式代数方程显式（推进）化,以一维为例，多维可直接推广,方法,1,：直接隐式离散,直接求解,非线性方程组，计算量大,方法,2,差量化,线性化,已知项,线化微分方程,Copyright by Li Xinliang,3,Copyright by Li Xinliang,4,求解思路：如果直接离散，得到线性代数方程组，仍需求解，计算量大（多维情况）,如果能单侧差分就好解了！,多对角方程组，不好解（多维情况）,中心（双侧）离散,如果单侧离散,单侧离散，可推进求解，免受解方程组之苦。真简单,Copyright by Li Xinliang,5,可是，,A,有正有负，无法单侧差分化,还是个三对角的,奇思妙想：如果分成两个子步，各自用单侧值，就简单多了,强行单侧差分会不稳定的,近似,LU,分解,Step 1:,近似,LU,分解,Step 2:,均为递推求解 （两次扫描），免受解方程组之苦,j -1 - j,j+1 j,以上描述适用于求解定常问题，求解非定常问题该过程可用于内迭代。,迭代收敛后,q,趋于,0,，精度由右端项决定,Copyright by Li Xinliang,6, 9.1,有限体积法入门,有限体积法主要优势： 处理复杂网格,差分法处理复杂外形,坐标变换,坐标变换函数,必须足够光滑,否则损失精度,实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难,差分法,有限体积法,优点,简单、计算量小、易于提高精度,本身包含几何信息，易处理复杂网格,不足,差分离散与几何解耦，难以处理复杂网格,复杂、不易提高精度,Copyright by Li Xinliang,7,9.1.1,有限体积法 的基本概念,实质： 把几何信息包含于离散过程中,虽然简单，但有助于建立基本概念,j-1 j j+1,j-1/2 j+1/2,1.,全离散型过程,含义：,f,在,j+1/2,点的值,（注意与差分法的区别）,在,控制体上积分,原方程,定义：,空间平均,时间平均,精确推导，不含误差,提示：,为区间内的空间及时间平均值，如果把它们理解为某点的值，会产生误差,Copyright by Li Xinliang,8,积分（精确）,重构（,Reconstruction),有限差分法的离散：数值微分过程,有限体积法的离散：数值积分过程,积分方程,离散化,反演（,evolution),(1),重构过程,A.,零阶重构，假设分片常数,j-1,B.,线性重构，假设分片线性函数,零阶重构与一阶重构示意图,j,j+1,or,or,或其他方法,C.,更高阶的重构例如,:,分片二次函数 （,PPM,）, WENO,等,重构是有限体积的,空间离散化,过程，有多种方法,Copyright by Li Xinliang,9,（,2,） 演化过程 （以线性方程为例）,需要得知时间演化信息，通常利用特征方程,若采用零阶重构,：,则：,假设时间步长足够小,则方程为：,等价于一阶迎风差分,Riemann,解,Copyright by Li Xinliang,10,若采用线性重构,若,Warming-Beam,Lax-Wendroff,0,阶重构, 1,阶精度,线性重构, 2,阶精度,一维均匀网格的有限体积法等价于有限差分法,Euler,方程：,演化过程可通过,Riemann,解或近似,Riemann,解进行,Copyright by Li Xinliang,11,2.,半离散方法,全离散： 积分方程,代数方程 （守恒性好，但复杂）,半离散： 积分方程,常微分方程 （简便，便于使用,R-K,等成熟方法）,仅空间积分,f,在,j+1/2,点的值，仍需要使用周围点 进行插值,通常无法精确计算， 可采用近似值 代替,等价于二阶中心差分,半离散,j-1 j j+1,j-1/2 j+1/2,重构,Copyright by Li Xinliang,12,9.1.2,一维,Euler,方程的,迎风型,有限体积法,j-1 j j+1,j-1/2 j+1/2,半离散,1.,重构,控制体积,j-1,j,j+1,左重构值,右重构值,选择不同的模板会得到不同的重构方案,向左偏的模板产生,向右偏的模板产生,差分法,同一点的导数可使用,向前差分,和,向后差分,，根据特征方向选择之,例如：,0,阶重构,1,阶单边重构,根据特征方向，选择左通量或右通量,途径,1,：,FVS,途径,2,：,FDS,Copyright by Li Xinliang,13,2.,分裂方法,（,1,）,:,FVS,方法 （流通矢量分裂,逐点分裂）,具体方法：,Steger-Warming,分裂,Lax-Friedrichs,分裂,Van Leer,分裂：,Liou-Steffen,分裂： （压力项与其他项分开，,AUSM,类格式的基础）,根据当地,Mach,数分裂,保证 的,Jocabian,阵特征值为正， 的为负,正通量： 向左偏斜重构； 负通量： 向右偏斜重构,偏重向上游,与迎风差分法类似： 网格基（或权重）偏重上游,差分、有限体积都可使用,一个参数，反映全部特征,Copyright by Li Xinliang,14,小知识：,Liou-Steffen,分裂,对流项,压力项,思路： 决定特征的关键参数,当地,Mach,数,超音速，,x-,方向,超音速，,x+,方向,因此，对,Mach,数进行分裂更为简洁！,显然：,参考文献：,Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, section 8.4.4,Liou: Ten Years in the making AUSM family, NASA TM-2001-210977,类似,Van Leer,分裂，但压力单独处理,M,保证光滑过渡,M=1,Copyright by Li Xinliang,15,(3) FDS,方法 （通量差分分裂,特征投影分裂）,1.,利用精确,Riemann,解,Godnov,格式,目的：,j-1 j j+1,j-1/2 j+1/2,控制体积,j-1,j,j+1,左重构值,右重构值,1,） 精确求解,Riemann,问题,2,）,精度： 取决于重构的精度 （原则上可任意阶）,差分法：,Godnov,格式使用分片常数，精度,1,阶,有限体积法：先重构，再解,Riemann,问题，可高阶,精确,Riemann,解（见本讲座第,2,讲）需迭代求解，计算量大,-,近似,Riemann,解,整体思路： 先重构,自变量,（两种方案得到 ），,再求解,Riemann,问题（或用,FVS,）得到通量的方法通常称为,MUSCL,方法。,Copyright by Li Xinliang,16,差分法与有限体积法区别与联系（二阶迎风,+FVS,为例）,差分、有限体积,差分（通常做法）：,直接插值通量,f,i+1/2,有限体积：,先插值自变量,U,，,然后计算通量,f,：,先插值自变量，再计算通量的方法，称为,MUSCL,类方法。,是有限体积法的常用方法（差分法也可以用）,单侧重构，以避免跨过激波,还可使用,FDS,方法，重构后求解,Riemann,问题,当,f=f(U),连续时，对,f,插值与对,U,插值精度相同。,（称为数值流通量）,的含义,Copyright by Li Xinliang,17,重要概念澄清：,重构与插值,A.,有限差分法：,j+1/2,切线,j-1/2,j,j-1,注意：,与,f,在,x,j+1/2,点的值含义不同！,用周围几个点的值 计算 的过程称为“,重构,”，不能理解为用 来,插值,记号 确实容易混淆，让人容易联想起 。记为 更好些,否则，最高只能达到,2,阶精度了！,是控制体内的平均值,（称为数值流通量）,的含义,Copyright by Li Xinliang,18,重要概念澄清：,重构与插值,B.,有限体积法：,j+1/2,j-1/2,确实为,f,在,x,j+1/2,点的值 ！,通常做法：,1,） 用 计算出,2,）,u,在,x,j+1/2,点的值！,关键： 是用 计算 （称为,重构,） ，而不是用 计算 （是标准的,插值,）；否则最高也只能达到,2,阶精度。,概念：,MUSCL,与非,MUSC,类方法,j+1/2,切线,j-1/2,j-1,差分,有限体积,方法,1,（非,MUSCL,类）：,直接利用周围几个点的函数值 或 ）直接计算 （或 ）,如何计算 或,？,方法,2,（,MUSCL,类）：,利用周围几个点的自变量值 （或 ）计算出 （或 ）；,然后再计算,（或 ）,当,f=f(u),是连函数时，二者精度相同,f,的误差与,u,的误差同阶,19,Copyright by Li Xinliang,20,2.,近似,Riemann,解,例：,Roe,格式,与差分法的,Roe,格式形式相同,理解： 近似,Riemann,解（,Euler,方程 常系数线性化解）,u,f(u),u,L,u,R,u,Roe,利用,Roe,平均， 刚好是左右两点间的平均增长率，实现了,常系数,线性化。,常系数双曲方程组，易解！,思路： 用平均增长率矩阵 取代瞬时增长率矩阵,A,不但实现了线性化，而且实现了常系数化。 利用二次齐函数的性质，可找到了,Roe,点（即,Roe,平均点），该点处的增长率刚好等于平均增长率。,Roe,平均,常系数化,线性化,常系数线性单波方程的,Riemann,问题,太简单了,常系数方程组的,Riemann,问题,解耦了的单波方程，有精确解,初值,21,Copyright by Li Xinliang,22,解为,线性化条件 （并利用齐函数性质）,与差分法的,Roe,格式相同,还有各种其他类型的近似,Riemann,解（今后介绍）,Copyright by Li Xinliang,23,9.1.3,多维问题的有限体积法,二维问题,一维,Riemann,问题，坐标选取不当，变为 “二维”,Riemann,问题,x,y,差分法： 独立计算,只考虑各自的特征方向,由于非线性， 实际（二维）特征方向并非,x,y,方向特征量的线性组合。 特征方向计算不严格，带来误差,差分方法：,多维情况，特征理论复杂，通常,x,y,方向独立计算,转化为,x,方向与,y,方向的两个一维问题,逐点分裂,特征投影分裂,完全按照一维情况独立处理,局部坐标旋转？ 差分算法设计造成,局部旋转,困难,差分法,的多维,处理方法,1.,小知识： 差分方法如何处理高维问题的 ？优缺点？,优点： 简单,缺点：特征方向计算不准,Copyright by Li Xinliang,24,2.,二维有限体积方法的离散过程,在以某节点为中心的,控制体,上积分,i,j,k,非结构网格的控制体,i+1,j,i-1,j,i,j+1,i,j-1,k,3,k,1,k,2,k,4,k,5,结构网格的控制体,x,y,n,体积平均,控制体边界垂直于节点连线（也可选其他方式）,垂直平分线,n,1),建立控制体,2),在控制体上积分,离散方程,重构： 由节点上平均值 给出函数分布，最终给出通量,表示第,m,个界面上的值,1,） 重构,两种不同的重构方案，向左偏及向右偏。 给出两种结果： 及,Copyright by Li Xinliang,25,i,j,i+1,j,i-1,j,i,j+1,i,j-1,n,左重构,右重构,2,） 由左右重构得到的自变量： 和 给出通量,方案,A: FVS,方案,B:,解,Riemann,问题 （常用）,3.,二维迎风型有限体积法,例如：,0,阶重构：,线性重构,:,用,i, i-1,点的值 插,i+1/2,点的值,（网格剧烈变化时，应当用实际坐标插值）,用,i, i+1,点的值 插,i+1/2,点的值,x,y,看似二维,Riemann,问题，其实是一维的，坐标旋转一下就行了,Copyright by Li Xinliang,26,x,y,x,y,（通常）进行坐标旋转,旋转,q,角后的坐标系,(x,y),性质：,Euler,方程的旋转不变性,形式上完全不变 （仅需把,u,v,x,y,换成,u,v,x,y,即可）,其中：旋转矩阵,旋转,q,角,矩阵表示,Copyright by Li Xinliang,27,i,j,i+1,j,i-1,j,i,j+1,i,j-1,左重构,右重构,局部坐标系,x,y,x,y,旋转,q,角后的坐标系,(x,y),习题： 设,n,为平行,x,轴的向量，试证明：,证明：,坐标旋转，标量不变,向量的模不变,Copyright by Li Xinliang,28,i,j,i+1,j,i-1,j,i,j+1,i,j-1,左重构,右重构,于是：,x,y,x,y,旋转,q,角后的坐标系,(x,y),其中下标,m,表示控制体第,m,个面（线）， 表示该面的面积 （长度）,于是，问题转化为求控制面上的,这个量有两个重构方案,方法,1,：,FVS:,方法,2,： 需要求解,Riemann,问题，旋转后，转化为“扩展的”,1,维,Riemann,问题,Copyright by Li Xinliang,29,解释： “扩展的”一维,Riemann,问题,x,y,x,y,旋转,q,角后的坐标系,(x,y),问题本身是一维的 ： 所有变量都只沿着,x,方向分布，沿,y,方向均匀,允许有,y,方向的速度,v (,比纯一维问题多一个变量）,v,的存在对流动的一维性质无任何影响,举例：,Sod,激波管问题（一维）。,如果在沿,y,方向匀速运动的坐标系中观察，则方程为“扩展的一维问题”，但不影响其一维性质,坐标系沿,y,方向匀速运动,x,y,可用精确,Riemann,解，也可用,Roe,等近似解,Copyright by Li Xinliang,30,二维迎风型有限体积法求解步骤,1,） 对,n,时刻的平均量 进行重构，给出控制面上的左、右重构值 ，,2,）将以上值旋转到（每个）控制面法向的局部坐标系下：,3,） 求解上述“扩展的”一维,Riemann,问题，给出后续时刻控制面上的值,4,）利用积分型方程：,计算下一时刻的平均量,i,j,i+1,j,i-1,j,i,j+1,i,j-1,左重构,右重构,0,阶重构：,1,阶重构 （线性重构）,：,更复杂的重构（,WENO,等）,下标,m,指的是第,m,个控制面上的值,Copyright by Li Xinliang,31,知识回顾：,Riemann,问题精确解,Riemann,问题,问题描述： 初始时刻，物理量分布存在,单个间断,；间断两侧物理量为,常数,。,求解思路： 采用积分方程,单个间断，且间断两侧物理量为常数情况下：,积分方程转化为,代数方程,代数方程： 质量、动量、能量守恒,计算出 ， 将 与这三个值进行比较，判断会产生的情况。具体见下图,：,Copyright by Li Xinliang,32,Riemann,问题的具体计算步骤 （全流场）,1.,判断可能会出现的情况（五种情形之一）,a.,定义函数,b.,进行判断,情况,5,情况,4,情况,3,情况,1,情况,5,情况,4,情况,2,情况,1,单调增函数，性质很好,Copyright by Li Xinliang,33,2.,求解,中心区,的压力和速度,单未知数的代数方程，迭代求解（例如,Newton,法，,F(p),性质好，求解不困难）,3.,确定,中心区,接触间断两侧的密度,以及左、右波传播的速度,a.,左波为激波的情况（情况,1,3,）,b.,左波为稀疏波的情况 （情况,2,，,4,，,5,）,中心区,接触间断,左侧,的物理量,膨胀波的波头及波尾速度,激波的传播速度,对于情况（,5,），波尾速度为：,中心区为真空，音速 无定义，改由该式计算,Copyright by Li Xinliang,34,c.,右波为激波的情况（情况,1,，,2,）,中心区,接触间断,右侧,的物理量,b.,右波为稀疏波的情况 （情况,2,，,4,，,5,）,4,.,计算稀疏波区域的值（如果有稀疏波的话）,a.,左稀疏波,b.,右稀疏波,情况,2,，,4,情况,5,：,注意： 教科书,32,页,c,的公式有误！,Copyright by Li Xinliang,35,有限体积法,“,扩展的”,Riemann,问题的计算方法 （中心线,x=0,处）,迎风型有限体积法，需要求解“扩展的”一维,Riemann,问题,x,y,物理问题分析：,所有物理量均沿,x,方向一维分布，沿,y,方向均匀分布。,仅需计算,t,时刻,x=0,处,各物理量的值,v,和,w,跟随流体运动,，相当于“,被动标量,”,穿过激波及稀疏波，,切向速度不变,Copyright by Li Xinliang,36,求解,t,时刻,x=0,处物理量的具体步骤,Step 1:,求解 得到中心区压力,Step 2:,计算中心区的速度,Step 3:,根据 及 判断会出现哪种情况（五种情况之一）,Step 4:,根据具体情况（左、右波是激波还是膨胀波）计算出中心区接触间断两侧的密度 及,Step 5:,如果中心区,x,方向速度,0,则中心线（,x=0,）处的密度及切向速度为接触间断右侧的值，否则为接触间断左侧的值。,具体公式见本,PPT33-34,页， 本页中上标“,L,”和“,R,”分别对应原先的下标“,1,”和“,2,”,x,t,v,和,w,没有给计算过程带来任何麻烦,先无视,v,和,w,的存在，求解标准,1,维,Riemann,问题。再根据,u,的符号确定中心线的,v,和,w,Copyright by Li Xinliang,37,作业,9.1,求解 “坐标旋转的,Sod,激波管问题”,x,y,物理问题描述：如右图示，有一条与,x,轴夹角,120,的直线，左右两侧充满同种介质的无粘完全气体。初始时刻，左右两侧的气体状态为：,左侧： ，右侧,试计算,t=0.14,时刻的流动分布。,计算要求：,1,） 计算域 网格,2,）初值设置如图所示；,3,）空间离散采用有限体积法计算。采用线性重构（见上页）。时间推进采用,3,阶,Runge-Kutta,方法,4),分别采用,FVS,方法及,Roe-FDS,（又称,Roe- Riemann,近似解，见本,PPT 22,页）,两种不同的方法,计算通量。,5,） 绘制出,t=0.14,时刻密度、速度,u,v,及压力的二维分布。,6,） 绘制出,t=0.14,时刻,x,轴（垂直于初始间断面，见右图）上的密度、沿,x,方向的速度及压力的一维分布，并同精确解进行比较。,x,y,
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