随机事件与概率最新课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论与数理统计,(2010级),随机事件及其运算,概率的定义,概率的性质,条件概率和乘法公式,独立性,第一章 随机事件与概率,“结冰”。向上抛一石子必然下落，,过去我们学过的微积分和线性代数就是研究,这类现象的工具。,在自然界和社会实践中，人们观察到的现象,大致可以归结为两种类型。有一类现象，在一定,的条件下必然发生(或必然不发生)，这类现象称为,确定性现象,或,必然现象,。例如，在标准大气压下，,水温达到100,C,必然,“沸腾”，,水温降至0,C,必然,等等。,不尽相同，而在一次射击前，无法预测弹着点,然而在自然界和社会中还存在着另一类现象，,在一定条件下，这些现象可能发生，也可能不,偶然性现象,或,随机现象,。,可能; 同一门炮向同一目标射击，各次弹着点,的确切位置。,发生，事先不可预言。这类现象称为,例如，扔一硬币，其结果有两种,类似的例子还可以举出许多。,概率论是研究随机现象统计规律性的,一,门学科.,在一定条件下对随机现象进行大量观察,会发现某种规律性.,概率论的应用,人工智能等等。,3、它又是上个世纪许多新兴学科的基础，,等等。,边缘科学：生物统计、统计物理、数学地质,2、概率论和其它学科结合起来产生了许多,生物遗传学、质量控制、地震、气象预报等。,1、保险业、心理学、经济管理、人口统计,、,信息学、排队论、控制论、可靠性理论、,1.1,随机事件及其运算,我们把对自然现象进行观察或进行各种,一 随机试验,科学试验，统称为,试验,.,含义广泛的术语.,在这里,试验,是一个,哪一个结果会出现.,(3),在每次试验之前，不能确定这次试验,试验之前明确知道所有的可能结果.,(2),每次试验的可能结果不止一个，并且能在,(1),可以在相同条件下重复进行.,如果某试验满足以下三个条件：,则,称为,随机试验,，,简称,试验,.,随机试验用,E,表示.,E,2,：,反面的情况.,E,1,：,例如,：,抛一枚均匀的硬币，观察出现正面,、,将一硬币抛两次，观察出现正面、,反面的情况.,在一批灯泡中，任取一只测试它的,寿命.,E,4,：,E,5,：,以上均为随机试验.,E,3,：,抛一颗骰子，观察出现的点数.,某人向100米外的靶子射击，观察击中,的环数.,二 随机事件,随机试验,E,的每一个可能结果,称为,随机事件,通常用大写字母,A,、,B,、,C.,表示.,简称,事件,.,在,E,5,中，有如下可能结果：“0环”,“1环”,. ,“10环”,但还有其他可能结果：“5环以上”，,“8环以下”.,统称为事件.,在随机试验,E,中，每一个可能出现的最简单的结果,，称为,基本事件,.,在,E,5,中，“0环”,“1环”,.,“10环”，这些都是基本事件.,复合事件,由若干个基本事件组成.,在,E,5,中，“5环以上”，“8环以下”，,这些都是复合事件.,随机试验,E,的全体基本事件组成的集合.,样本空间,或,基本事件空间,:,写出上面5个试验的基本事件空间,E,2,：,反面的情况.,E,1,：,抛一枚均匀的硬币，观察出现正面,、,将一硬币抛两次,观察出现正面、,反面的情况.,=正，反,=(正正), (正反), (反正), (反反),在一批灯泡中，任取一只测试它的,寿命,E,4,：,E,3,：,抛一颗骰子，观察出现的点数,=1, 2, 3, 4, 5, 6,t,t,0,某人向100米外的靶子射击，观察击中,的环数,E,5,：,=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,事件,A,：,事件,B,：,事件,C,：,“5环以上”,“8环以下”,“奇数环”,A,=6, 7, 8, 9, 10 ,B,=0, 1, 2, . 6, 7 ,C,=1, 3, 5, 7, 9 ,基本事件空间,的子集，称为,E,的一个,随机事件,，,简称,事件,.,事件,A,的发生,：,通常只要,A,中的一个基本事件出现，就说事件,A,发生.,空集,作为一个事件是,不可能事件.,样本空间,作为一个事件是,如：掷一颗骰子，“出现7点”就是一个不可能事件.,不可能事件,：,就是一个必然事件.,如：掷一颗骰子，“出现的点数不超过6”,在每次试验中一定会出现的事件.,在任何一次试验中都不会出现的事件.,必然事件.,必然事件,：,三 事件的关系和运算,实际问题中，通常不只讨论一个事件，,而是研,究多个事件之间的联系，,从而把握事物的本质.,A,B,维恩图,显然, 对任何事件,A,必有,，,B,A,包含事件,A,(或称事件,A,含于,B,), 记作：,若事件,A,发生必然导致事件,B,发生，则称事件,B,1 包含关系,或,A,B,若事件,A,B,且,B,A,则称事件,A,与,B,相等.,记作:,A,=,B,.,2 事件的并,(,和,),或,A,B,.,记为,A,+,B,“,两个事件,A,、,B,中至少有一个发生”,这一事件，称为事件,A,与,B,的,并,(或,和,).,A,B,A+B,对任一事件,，显然有：,A,+,A,=,A,A,+,=,A,A,+,=,“,事件,A,1,A,2,A,n,中至少有一个发生”.,“,事件,A,1,A,2,A,n,中至少有一个发生”,推广,:,A,1,+,A,2,+,A,n,+.,A,1,+,A,2,+,A,n,3 事件的交（积）,A,B,AB,记为 ：,AB,(或,A,B,),“两事件,A,、,B,同时发生” 这一事件,称为事件,A,与,B,的,交,(或,积,),显然对任一事件,A,有：,A,A,AA,=,A,=,=,A,推广,：,“,事件,A,1,A,2, ,A,n,同时发生,”,这一事件称为,A,1,A,2, ,A,n,的,积,（或,交,）.,“,n,个事件,A,1,A,2, ,A,n,同时发生,”,A,1,A,2, ,A,n,的,积,（或,交,）,这一事件称为,4 互不相容(互斥),AB,=,，,若事件,A,与,B,不能同时发生，即,则称,A,、,B,互不相容,（或,互斥,）.,则称,A,1,A,2, ,A,n,中任意两个事件都互不相容, 即:,两两互不相容（或两两互斥）,(,A,1,A,2, ,A,n, ,),推广：两两互不相容 （或两两互斥）,若事件,A,1,A,2, ,A,n,(,A,1,A,2, ,A,n, ,),5 事件的差,记为,A,B,称为事件,A,与,B,的,差,，,“,事件,A,发生而事件,B,不发生,”,A,B,A-B,这一事件,显然有,：,“,事件,A,不发生,”,称为,A,的,对立事件,6 对立事件,（,或,逆事件,）,记为,A,=,=,A,+,=,A,而且,A,B,|,|,AB,AB,2）结合律：,(,A+B,),+C,(,AB,),C,3）分配律：,A+,(,BC,),A,(,B+C,),B+A ;,=BA,=A+,(,B+C,),= A,(,BC,),=,(,A+B,),=AB,(,A+C,),;,+AC,1）交换律：,A,+,B,=,事件运算的规律:,推广：对于有限个事件恒有,4),对偶律:,(,De Morgan,律,),而,A,与,B,互不相容却不能推出,A,与,B,对立.,A,与,B,互不相容,AB,=,因为，两事件,A,与,B,对立,：,两事件对立 两事件互不相容,注:,A,+,B,=,符号,集合论,概率论,全集,基本事件空间，必然事件,空集,不可能事件,中的元素,基本事件,A,子集,事件,集合,A,的补集,事件,A,的对立事件,A,B,集合,A,是,B,的子集,事件,A,发生必然导致事件,B,发生,A,=,B,集合,A,与,B,相等,事件,A,与,B,相等,A,+,B,集合,A,与,B,的并集,事件,A,与,B,至少有一发生,AB,集合,A,与,B,的交集,事件,A,与,B,同时发生,A,B,集合,A,与,B,的差集,事件,A,发生而事件,B,不发生,AB,=,集合,A,与,B,没有公共元素,事件,A,与,B,互不相容,1.2 随机事件的概率,更重要的是研究各种事件出现的可能性大小.,某一试验重复多次时会发现，某些事件出现,的可能性大些,某些事件出现的可能性小些,某些事件出现的可能性彼此大致相同. 我们,研究随机现象,不仅要知道它可能出现哪些事件,例如, 研究某电话总机在24小时出现的呼叫,次数的可能性大小, 就可以根据要求配置一定的,线路人员等等.,保险公司了解发生意外人身事故的可能性大小,以确定保险金额.,了解某地每年最大洪水超过警戒线可能性大小，,以合理确定堤坝高度.,了解到某商场购物的顾客人数的各种可能性,大小，以合理配置服务人员.,事件,A,的,概率.,这种“事件出现的可能性大小”是事件本身,固有的属性，用一个数,P,(,A,)来作为事件,A,发生,的可能性大小的定量表示，,则,P,(,A,),就称为,简单地说，概率就是刻画事件发生的,可能性大小的数量指标.,在相同的条件下，重复进行,n,次试验 ，在这,n,次试验中，事件,A,出现的次数,n,A,称为事件,A,出现的频数，比值,称为事件,A,在这,n,次试验中出现的,频率.,一 频率,例,：,抛一枚均匀硬币100次，出现52次正面，,则,A,=,出现正面 这一事件在,100,次试验中出现的频率为,：,频率表示事件,A,发生的频繁的程度,。,=0.52,若,A,1,A,2, ,A,n,是两两互不相容的事件，,频率具有以下性质,则:,(当然还有,1) 对任何事件,A, 0,f,n,(,A,),1,2),f,n,(,)=,1,f,n,(,)=0,),证明：,2）必然事件,在每次试验中一定会发生,3）在,n,次试验中，,A,出现了,n,A,次，,B,出现了,n,B,次，由于互不相容，所以事件,A,+,B,出现的次数为：,n,A,+,n,B,1）任意事件,A,，有0,n,A,n,所以,即,n,=,n,故有,所以,故,频率,f,n,(,A,)表示事件,A,发生的频繁程度，频率大，,（抛硬币试验, 参见教材）,事件,A,发生就频繁，也就意味着,A,在试验中发,生的可能性就大，反之亦然. 因此，直观的想,法是用,频率,来表示,A,在一次试验中发生的可能,性的大小.,随着试验次数,n,的无限增加，事件,A,发生,的频率在一个常数附近摆动，并逐渐稳定于这个常数，称为,频率的稳定性.,对于每一个事件,A,都有这样一个客观存在,的常数与之对应 ，这是事件本身所具有的,一种属性.,在相同的条件下,重复进行,n,次试验,事件,A,发生的频率,f,n,(,A,) 在某常数值,p,附,近摆动, 而且,一般来说,，,n,越大，摆动的,幅度越小，则称频率的稳定值,p,为事件,A,发生的概率，记为,P,(,A,)，,即,P,(,A,) =,p,f,n,(,A,),概率的统计定义,中把频率称为概率的估计值，在实际中常把,但在实际问题中，我们无法把一个试验,无限次地重复下去，因此要获得频率的稳定值,P,(,A,)是件难事. 但在重复次数,n,较大时，,一般来说频率就非常接近概率,P,(,A,). 在统计学,频率当作概率的近似值使用.,注意,频率和概率的区别:,事件的频率和概率是度量事件出现可能性大小的两个数量指标，频率是试验值，有随机波动性.当试验次数较少时，差异很大，因此它只能近似地反映事件发生的可能性大小.,实际中，用频率近似代替概率是一个实用有效,的办法。如：合格率、废品率、升学率.,概率是个理论值,它由事件的本质所决定,只能取,唯一值,能精确地反映事件出现的可能性的大小.,二 古典概率,按照概率,的统计定义求,概率往往是行不通的,古典概型是在概率论发展的早期，在某些特,殊情况下，人们利用研究对象的物理或几何性质,所具有的对称性，确定计算概率的一种方法.,或者是很复杂的.在概率的发展历史上，人们曾,经针对不同的问题，从不同的角度给出了定义,概率和计算概率的各种方法.,试验：袋中装有编号分别为1, 2, , 10 的,十个完全相同的球，从中任取一个.,这类试验具有以下两个特点：,1、试验的样本空间只有有限个样本点，,即基本事件只有有限个.,2、试验中每个基本事件出现的可能性相等 .,把具有上述两个特点的试验模型称为,古典概率模型.,因为抽取时，这些球是完全平等的，我们,再比如，掷一枚质地均匀的硬币，由于它的对称,性，人们自然认为出现“正面”和“反面”的概率都,是,没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更,容易被取到 .也就是说，10个球中的任一个被,取出的机会是相等的，均为1/10.,对于某一随机试验,E,，如果它的,基本事件总数是有限的，且具有等可能性，则对任意事件,A,，,定义,A,的概率为:,概率的古典定义,（,Laplace,1812,年）,A,中包含的基本事件数,基本事件总数,例1,：,从编号分别为1,2,10 的十个完全相同的球中任取一个，设,B,=,“,取出的球的号数不大于3,”,A,=“,取出的球的号数为偶数,”,则：,B,=1, 2, 3,A,=2, 4, 6, 8, 10,=1, 2, .,10,例2,60只乙类，在按下列两种方法抽取中，,求事件,A,，,B,的概率.,A,:,B,:,“从100只中任取3只，3只都是乙类”,100只外型一样的三极管中有40只甲类，,“从100只中任取3只，其中2只甲类，1只乙类”,(1)每次抽取一只，测试后放回，再抽取下一只 (,有放回,抽样),(2)每次抽取一只，测试后不放回，再抽取下一,只(,不放回,抽样),解:,先求事件,A,的概率,P,(,A,),基本事件总数,n,=100,3,A,包含的,基本事件数,k,=60,3,P,(,A,)=,(2),不放回,.,n,=1009998=,P,(,A,)=,k,=605958=,(1),有放回,.,再求事件,B,的概率,P,(,B,),(1),n,=100,3,(2),n,=,例3,十个号码1，2,.,10放在一袋中，从其中,任取3个，问三个号码中大小在中间的号码恰为5的概率是多少？,解:,例3的更一般提法：一袋中有,n,个球，其中,n,1,个带有号码“1”,n,个带有号码“2”, .,n,k,个带有“,k,”,其中,n,1,+,n,+.+,n,k,=,n,从袋中任取,m,个球，求恰有,m,1,个带有号码“1” ,m,个带有号码“2”, .,m,k,个带有“,k,”的概率.,其中,m,1,+,m,+.+,m,k,=,m,超几何概型,许多问题可看作这一概型.,例4,（超几何概型）从装有6个白球和5个黑球,的口袋中随机地抽取2球，问抽到白球和黑球各,一个的概率？抽到2个白球的概率是多少？,解:,A,:“抽到白和黑各一个”,B,:“抽到2个白球”,设,例5,（麦克斯韦波尔兹曼）,设有,m,个不同的质点，每一质点等可能地落于,N,(,N,m,)个盒子中的每一个盒子里(每个盒子的容量没有限制)，求事件,A,：“某预先指定的,m,个盒子中各有一个质点的概率”,解:,基本事件总数,N,m,. A,包含的基本事件数,m,!,例6,将一颗骰子连掷6次，求这6次点数都不相同的概率.,解:,古典概率具有以下三条基本性质：,1) 对任一事件,A,，有 0,P,(,A,) 1 .,2) 对必然事件,， 有,P,(,)=1,3) 若事件,A,1,A,2, ,A,n,两两互不相容，,P,(,A,1,+,A,2,+,A,n,),=,P,(,A,1,)+,P,(,A,2,)+,P,(,A,n,),则:,特殊情况,设事件,A, B,互不相容，则,推论,P,(,A,+,B,)=,P,(,A,) +,P,(,B,),= 1,P,(,A,),“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.,在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.,需要注意的是：,三,几何概率,在古典概型中利用等可能性的概念，成功地,求可能的结果为有限. 因此，历史上有不少人,有某种等可能性的场合，这类问题一般可以通,计算了某一类问题的概率.,但是，古典概型要,企图把这种做法推广到无限多可能结果，而又,过几何方法求解.,如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达4平方公里的大陆架贮藏着石油，假定在该海域里任选一点钻探，问钻探到石油的概率是多少？,音机，想听电台报时. 求他等候不超过10分钟,例1,例2,某人午睡醒来，发现表停了，他打开收,的概率.,例3,在400 ml自来水中有一个细菌，现从中随机取出2 ml水样放在显微镜下观察，求发现细菌的概率.,在上述问题中，试验的可能结果是某区域,中的一个点，,这个区域可以是一维的，或二维或三维的，甚至可以是,n,维的，全体可能结果是无限的，因而等可能性是通过下,列方式来赋予意义的：,测度(长度、面积、体积、.) 成正比且与其位置和形状无关.,落在某区域,g,的概率与区域,g,的,设,Ag,表示“在区域,中随机地取一点，而该点落,在区域,g,内”这一事件，则,Ag,的概率定义为,g,的测度,的测度,例4,（会面问题）教材第15页,例5,（蒲丰投针问题）,平面上有一些距离为,a,的平行线，,向该平面投掷一长度为,l,(,l,0 ， 则称,条件概率,为在事件,A,发生的条件下事件,B,发生的,条件概率.,例2,掷一枚硬币6次,求“在前5次出现正面”,的条件下,“第6次出现正面”的概率。,设,A,：“前5次出现正面”,解,：,“第6次出现正面”,则,AB,表示“6次均出现正面”,因为基本事件总数,n,=2,6,P,(,AB,)=,P,(,A,)=,所以,P,(,B,|,A,)=,B,:,=,例3,A,: “抽出的数为3的倍数”,在0, 1, 2, ., 9十个数字中任取一数，设,B,: “抽出的数为偶数”,C,：“抽出的数大于8 ”,解:,P,(,A,|,B,)=,求：,P,(,A,|,B,)，,P,(,A,|,C,),P,(,A,|,C,)=1,P,(,A,)=,可以看出，,P,(,A,|,B,)=,P,(,A,),P,(,A,|,C,),P,(,A,),由条件概率的定义不能得出,P,(,A,),与,P,(,A,|,B,)有,1) 若,A,B,，则,P,(,A,|,B,),P,(,A,),2) 若,B,A,，则,P,(,A,|,B,),P,(,A,),因为,A,B=A,，所以,P,(,A,|,B,)=,P,(,A,),当,B,A,时，,P,(,A,|,B,)=1,P,(,A,),什么关系，,P,(,A,),P,(,A,|,B,)。,在下面三种特殊情况下，有以下关系：,例如，不能说,P,(,A,),P,(,A,|,B,) 或,3) 若,A,B,=,，则,P,(,A,),P,(,A,|,B,),此时,P,(,A,|,B,)=0,P,(,A,),可以证明，条件概率,P,(,B,|,A,),满足概率定义中的三个条件,设,A,是一事件，且,P,(,A,)0 ,则,(1) 对任一事件,B,，,(2),P,(,|,A,) =1,(3) 设,B,1,B,n,两两互不相容，则,P,(,B,1,+B,n,+,)|,A,=,P,(,B,1,|,A,)+ +,P,(,B,n,|,A,) + ,0,P,(,B,|,A,) 1 ;,P,(,AB,) ,P,(,A,),(1),AB,A,，,P,(,B,|,A,)=,1,而显然,0,即,0,P,(,B,|,A,),1,(2) 因为,A,=,A,，,P,(,|,A,)=,证:,(3) 因为,由,i,j,时，,B,i,B,j,=,，可知,(,B,i,A,),(,B,j,A,)=,(,i,j,),因此,既然条件概率也是一种概率，前面对概率所,证明的一些重要性质，,比如加法公式.,都适用于条件概率。,特别地,：,=1,（1）根据题意直接求;,求条件概率的方法,：,（2）根据条件概率的定义求.,对于两个事件,A,、,B,，,二 乘法公式,P,(,AB,)=,P,(,B,),P,(,A,|,B,),若,P,(,B,)0, 则有：,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),若,P,(,A,) 0 , 则有：,同样，,乘法公式可以推广到有限多个事件的情形.,乘法公式,P,(,AB,)=,P,(,B,),P,(,A,|,B,),P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),（,P,(,A,),0,),（,P,(,B,),0,),注：若,P,(,A,)，,P,(,B,),中有一个等于0，则上面两式不能同时成立。,对于3个事件,A,1,A,2,A,3,若,P,(,A,1,A,2,) 0 , 则有：,P,(,A,1,),P,(,A,2,|,A,1,),P,(,A,3,|,A,1,A,2,),P,(,A,2,|,A,1,),P,(,A,3,|,A,1,A,2,),证:,故有：,P,(,A,1,),P,(,A,1,A,2,), 0,所以：,P,(,A,1,A,2,A,3,),而,P,(,A,1,A,2,), 0,=,P,(,A,1,),因为:,A,1,A,2,A,1,，,一般地,：,对于,n,个事件,A,1,A,2,A,n,若,P,(,A,1,A,2,A,n-,1,) 0 , 则有：,P,(,A,1,A,2,A,n,),=,有,：,P,(,A,1,),P,(,A,2,|,A,1,),P,(,A,3,|,A,1,A,2,),P,(,A,n,|,A,1,A,2,A,n,-1,),P,(,A,1,),P,(,A,1,A,2,),P,(,A,1,A,2,A,3,),P,(,A,1,A,2,A,n-,1,),0,证明,：,A,1,A,1,A,2,A,1,A,2,A,3,A,1,A,2,A,n,-1,P,(,A,n,|,A,1,A,2,A,n,-1,),=,P,(,A,1,),P,(,A,3,|,A,1,A,2,),P,(,A,2,|,A,1,),例4,假设某地区位于甲、乙二河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区将被淹没.设,某时期内甲河流泛滥的概率为0.1,乙河流泛滥的概率为0.2,当甲泛滥时乙泛滥的概率为0.3,求该地区被淹没的概率？当乙泛滥时，甲泛滥的概率?,解:,设,A,: “,甲泛滥,”,B,: “,乙泛滥,”,则,A,+,B,: “该,地区被淹没,”,根据已知：,P,(,A,)=0.1,P,(,B,)=0.2,P,(,B|A,)=0.3,P,(,A+B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),P,(,AB,),=,P,(,A,)+,P,(,B,),P,(,A,),P,(,B|A,),= 0.1+0.2,0.10.3=0.27,一般情况下，,P,(,B|A,),P,(,B,), 即事件,A,的发生对事件,B,三 事件的独立性,A,与,B,是相互独立的.,1 两个事件的独立性,因此当,P,(,B,) =,P,(,B,|,A,)时，称,发生的概率是有影响的，只有当,P,(,B,)=,P,(,B,|,A,)时，,才可以认为这种影响不存在.,概率不受,A,发生这个条件的影响。,也就是说，,B,发生的,定义,：,设,A,、,B,是两个事件，若,P,(,AB,) =,P,(,A,),P,(,B,),则称事件,A,、,B,相互独立，简称,独立.,在事件,A,、,B,相互独立的情况下，乘法公式,可写成：,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),=,P,(,A,),P,(,B,),( 此处不要求,P,(,A,),0或,P,(,B,),0 ),根据定义，,和,与任何事件都独立。,定理1,: 当,P,(,A,) 0 ( 或,P,(,B,) 0 )时，,P,(,B,|,A,) =,P,(,B,) (或,P,(,A,|,B,) =,P,(,A,) ),事件,A,与,B,独立的充要条件是:,证,：充分性:,必要性：,则有：,P,(,B,|,A,) =,P,(,B,),若,A,与,B,独立，即,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),则,P,(,AB,),=,P,(,B,),定理2,若事件,A,与,B,相互独立，则下列三对事件,证,：,若,A,与,B,独立，要证,A,AB,独立,独立.,也是相互独立的.,相互独立，,由,A,，,B,的对称性可知，,将所证的结果用于,也相互独立,可知,在实际应用中，常常根据经验来判断事件是否相互独立，而不是用定义，当然，这样容易出现错误.,例5,甲、乙两人对同一目标射击，已知甲击中目标的概率是0.9，乙击中目标的概率是0.8，求目标被击中的概率。,解,：,设,A,=“甲击中目标”,B,=“乙击中目标”,=,P,(,A,)+,P,(,B,) ,=,P,(,A,)+,P,(,B,),P,(,A,),P,(,B,),=0.9,P,(,A,+,B,),=0.98,P,(,AB,),0.90.8,+0.8,因此，“目标被击中”可表示为,A,+,B,因为 2) 是1) 的逆否命题，所以2)成立。,P,(,AB,),P,(,A,),P,(,B,),所以:,P,(,A,),P,(,B,)0,而,P,(,A,)0 ,P,(,B,)0,P,(,AB,)=,P,(,),即,AB,=,， 则有,=0,故,A,、,B,不独立。,因此,例6,已知,P,(,A,)0 ,P,(,B,)0,证明 : 1）若,A,、,B,互斥，则,A,与,B,不独立；,2）若,A,、,B,独立，则,A,、,B,不互斥.,证,：,1）若,A,、,B,互斥，,定义,: 对于三个事件,A,、,B,、,C,，若下列四个等式:,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),P,(,AC,)=,P,(,A,),P,(,C,),P,(,BC,)=,P,(,B,),P,(,C,),P,(,ABC,)=,P,(,A,),P,(,B,),P,(,C,),同时成立，则称事件,A,、,B,、,C,相互独立.,A,、,B,、,C,两两独立,2、多个事件的独立性,关于任意有限个事件的独立性有：,定义,：设,A,1,A,2, ,A,n,是,n,个事件，若,对于其中任意,m,(2,m,n,)个事件,成立，则称事件,A,1,A,2, ,A,n,相互独立.,(*)式共代表了,(*),2,n,n,1,个等式,事实上：,个等式,共有,C,n,2,个等式,共有,C,n,3,个等式,共有,个等式,总共有：,事件的独立性是概率论中的一个重要的概念. 在实际问题中，往往是根据经验来判断事件是否独立,而不是用定义.,定理3,若,A,1,A,2, ,A,n,相互独立，则它们中的,任意,m,(2,m,n,)个事件也一定是相互独立的.,特别地,，若,A,1,A,2, ,A,n,相互独立，则它们之中,任意两个事件都相互独立(两两独立)，反之,未必成立.,定理4,设,n,个事件,A,1,A,2, ,A,n,相互独立，则把它们中的任意,m,(1,m,n,)个事件换成各自事件的逆事件，则所得的,n,个事件也相互独立.,A,1,A,2,A,n,独立,A,1,A,2,A,n,两两独立,还可以得到，,由独立事件决定的事件也独立,.,例如,若,A,1,A,2, ,A,6,相互独立，则下面三个事件,B,1,=,A,1,+,A,2,也独立,B,2,=,A,3,A,4,B,3,=,A,5,A,6,这在直观上很显然，但证明较麻烦.,若,B,3,=,A,4,A,5,A,6,，则,B,2,B,3,就不一定独立，因为都与,A,4,有关.,例7,设有四个同样的球，其中三个球上分别,标有数字1 , 2 , 3. 剩下的一个球上同时标有,1、2、3 三个数字，从四个球中任取一个,（假设取到各球是等可能的）,1,令 ：,A,i,=“ 取出的球上标有数字,i,”,2,3,123,(,i,= 1，2，3),P,(,A,1,),P,(,A,3,) =,P,(,A,2,),P,(,A,3,) =,即,A,1,、,A,2,、,A,3,两两独立,。,但,P,(,A,1,A,2,A,3,),所以,A,1、,A,2、,A,3,不相互独立,。,P,(,A,1,A,2,)=,P,(,A,1,A,3,)=,P,(,A,2,A,3,)=,P,(,A,1,A,2,),P,(,A,1,),P,(,A,2,) =,P,(,A,1,),P,(,A,2,),P,(,A,3,),1,2,3,123,从四个球中任取一个,=,P,(,A,2,),P,(,A,1,),=,P,(,A,1,A,3,),=,P,(,A,2,A,3,),=,P,(,A,3,),例8,设每门炮击中飞机的概率为P=0.004, 求250门炮同时进行一次射击时，击中飞机的概率.,解:,令,A,:“击中飞机”,B,i,:“第,i,门炮击中飞机”,(1 ,i,250),P,(,B,i,)=0.004,=(0.996),250,0.37,P,(,A,)=1,0.63,小概率事件的现实意义,要以99%的概率击中飞机，需要多少门炮？,(10.004),n,=(0.996),n,=1 0.99,即(0.996),n,=0.01,问:,设需要,n,门炮,则有,例9,有2,n,个元件，每个元件的可靠性均为,r,解:,令:,A,:“系统1正常工作”,B,:“系统2正常工作”,则,A =,(,A,1,A,2,A,n,),+,(,B,1,B,2,B,n,),B=,(,A,1,+B,1,)(,A,2,+ B,2,),(,A,n,+B,n,),(0,r,2,r,n,所以系统2比系统1可靠性大,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,综合运用,乘法公式,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),P,(,A,)0,加法公式,1.5 全概率公式与贝叶斯公式,一 全概率公式,A,1,A,2,A,n,两两互斥,例,有三个盒子，分别编号为1 ,2, 3，1号盒装有1个红球4个白球，2号盒装有2个红球3个白球，3号盒装有3红球。某人从三盒中任取一盒，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.,解,:设,则：,B,P,(,B,),1,2,3,B,=取得红球,且,A,1,B、A,2,B、A,3,B,两两互斥,+A,2,B,+A,3,B,= A,1,B,i,=1, 2, 3,=,P,(,A,1,B,),+,P,(,A,3,B,),+,P,(,A,2,B,),A,i,=,球取自,i,号盒子,A,1,，,A,2,，,A,3,构成,一个完备事件组,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就,得到在概率计算中常用的,全概率公式.,对和式中的每一项,运用乘法公式得,P,(,B,)=,P,(,A,1,B,)+,P,(,A,2,B,)+,P,(,A,3,B,),1,2,3,B,=取得红球,A,i,=,球取自,i,号盒子,完备事件组,：,若事件,A,1,A,2,A,n,两两互斥，并且,例,= 0, 1, 2, 9,A,2,A,1,A,3,A,4,A,5,A,6,A,3,= 7, 8, 9,A,2,= 2 , 4 , 6,A,1,= 0, 1, 3, 5,则称,A,1,A,2,A,n,为,的,一个,有限剖分,则,A,1,A,2,A,3,为一个完备事件组,(也称为,完备事件组,).,若,A,i,(,i=,1,2,.),A,i,A,j,=,(,i,j,),且,则称,A,1,A,2, . ,A,n,.,为,的一个,可列无限剖分.,定理1,设事件,A,1,A,2, ,A,n,为一个完备事,件组，且,P,(,A,i,) 0 (,i=,1, 2,n,),则对任一,事件,B,，有,称此公式为,全概率公式.,=,P,(,A,1,),P,(,B,|,A,1,),+,P,(,A,2,),P,(,B,|,A,2,),+ +,P,(,A,n,),P,(,B,|,A,n,),P,(,B,),A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,A,6,B,A,1,A,2,A,n,两两互斥,证明,：,因为,又因为,所以,对和式中的每一项,运用乘法公式得,则,B,发生的概率与,P,(,BA,i,),有关，其概率为：,每一原因都可能导致,B,发生，故,B,发生的,概率是各原因引起,B,发生概率的总和，即,P,(,BA,i,),全概率公式的直观意义：,=,P,(,A,i,),P,(,B,|,A,i,),(,i=,1, 2,n,),全概率公式：,某一事件,B,的发生有各种可能的“原因”,A,i,(,i=,1, 2, ,n,),若,B,是由原因,A,i,所引起的，,例1,设1000张彩票中有20张可以中奖，依次抽取二张，求第二张中奖的概率.,解:,设,A,：“第二张中奖”.,B,1,:,“第一张中奖”.,B,2,:“第一张没中奖”.,显然，,B,1,B,2,=,，,B,1,+,B,2,=,根据全概率公式：,例2,甲、乙、丙三人向同一飞机射击，三人,射中的概率分别是0.4, 0.5, 0.7. 若只一人射中，,解:,设,A,：“飞机被击落”.,B,0,: “无人射中”,B,1,: “只一人射中”,B,2,: “只二人射中”,B,3,: “三人全射中”,C,1,: “甲射中”,C,2,: “乙射中”,C,3,: “丙射中”,飞机被击落的概率为0.2; 若二人射中，飞机,被击落的概率为0.6; 若三人射中，飞机必被击落.,求飞机被击落的概率.,显然，,B,0,+,B,1,+,B,2,+,B,3,=,，,且两两互不相容,根据全概率公式：,=0.36,=(1,0.4,)(1,0.5,)(1,0.7,)=0.09,=0.41,=0. 14,P,(,A,|,B,0,)=0,P,(,A,|,B,1,)=0.2,P,(,A,|,B,2,)=0.6,P,(,A,|,B,3,)=1,经过计算，,P,(,A,)=0.458,B,F, 且,B,A,i,全概率公式对于可列无限剖分，且,P,(,A,i,)0的情形也是成立的。此时有,全概率公式的条件还可改为：,设,A,1,A,2, .,A,n,.,.,为有限或可列个互不相容的事件,若,P,(,A,i,)0,i=,1, 2,.,则有,注1.,2.,再由有限可加性或完全可加性，可得,且,证明,：,由条件可知,例3,某商店库存100台相同型号的冰箱，其中,有60台是第一家工厂生产的，25台是第二家,工厂生产的， 15台是第三家工厂生产的。已知,这三家工厂产品的不合格率分别为0.1, 0.4, 0.2.,一顾客从这批冰箱中任取1台，问取出的是,不合格,冰箱的概率,。,显然,A,1,，,A,2,，,A,3,构成一个,完