第二讲线代数运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 线性代数运算,一,.,矩阵的特征值与特征向量,定义：设,A,为,n,阶矩阵， 是一个数，若存在,n,阶非零向量 ，使得,则称 是,A,的一个特征值， 称为矩阵,A,对应于特征值 的特征向量,.,注意,:,一个特征值可以有无穷多个特征向量，但一个特征向量只对应唯一的一个特征值，即特征值是由特征向量唯一确定的,.,在后续的课程中，我们将介绍特征值与特征向量在经济分析中的作用,.,1,例,1.,计算矩阵 的特征值,解：设 为,A,的特征值，是对应于 的特征向量,此线性齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式的值为零，由,2,在,MATLAB,中计算矩阵,X,的特征值与特征向量的方法如下：,V,D = EIG(X),produces a diagonal matrix D of eigenvalues and a full matrix V whose columns are the corresponding eigenvectors so that X*V = V*D.,D,是由矩阵,X,的特征值组成的对角矩阵，,V,的每一列是对应于特征值的特征向量,.,例,2,求矩阵 的特征值与特征向量,解：,A=4,6,0;-3,-5,0;-3,-6,1;V,D=eig(A),3,V =0 0.5774 -0.8944,0 -0.5774 0.4472,1 -0.5774 0,D =1 0 0,0 -2 0,0 0 1,即 对应的两个特征向量为：,而 对应的一个特征向量为：,对应的全部特征向量为：,而 对应的全部特征向量为：,4,例,3.,求矩阵,B,，,BB,的特征值、特征向量,解：,B=3,0,0;0,2,0;1,1,1,D1,V1=eig(B),D,V=eig(B*B),D= -0.2953 -0.3048 -0.9054,-0.4954 0.8592 -0.1277,0.8169 0.4109 -0.4048,V= 0.7024 0 0,0 4.9564 0,0 0 10.3412,5,例,4.,将矩阵,A,的行向量与列向量标准化,解：,A=1,2,3;4,5,6;7,8,0;B=normr(A)，C=normc(A),B =0.2673 0.5345 0.8018,0.4558 0.5698 0.6838,0.6585 0.7526 0,C =0.1231 0.2074 0.4472,0.4924 0.5185 0.8944,0.8616 0.8296 0,二,.,向量的标准化,1.Matlab,中将矩阵的行向量、列向量单位化的命令：,normr(A)，normc(A),6,三,.,求线性方程组,AX,=,b,的解,1.,若矩阵,A,可逆，则,X=Ab,例,7,.,解线性方程组,解：,A=2,3,5;3,6,8;6,5,4; b=12;34;43;,det(,A,)=-29,矩阵,A,可逆，于是,X=Ab,ans = 0.2759,12.3793,-5.1379,检验：,A*X,ans = 12.0000,34.0000,43.0000,7,2.,求齐次线性方程组,AX=0,的非零解,Matlab,中,Z,=null(,A,r,),就是求,AX,=0,的基础解系，其中,Z,的列向量即为所求基础解系,例,8.,求方程组的通解：,format rat,%,指定有理式格式输出,Z=null(A,r),%,求解空间的有理基,Z =2 5/3,-2 -4/3,1 0,0 1,解：,A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3;,故所求通解为：,8,化成行简化阶梯形求,AX=b,的解,Matlab,中的命令为：,C,=,A,b, %,增广矩阵,C,.,D,=rref(,C,) %,将,C,化成行最简化阶梯形,则,D,的最后一列元素就是所求的解,.,例,9 .,求线性方程组,AX,=,b,的解,其中,A,=2,3,5;3,6,8;6,5,4,，,b,=12;34;43.,解：,C=A,b,；,D=rref(C),；,D =,1 0 0,0.2759,0 1 0,12.3793,0 0 1,-5.1379,9,四,.,特殊矩阵及其应用,E = eye(n):,表示,n,维单位矩阵, E = eye(m,n):,表示主对角元素为,1,其余元素为零的 矩阵,.,例如：,eye(3)=,2. A = ones(n,m),：表示元素全为,1,的,nm,矩阵,3. A = zeros(n,m),：产生,nm,维零矩阵,4. A = rand(n,m):,产生,nm,维随机矩阵（元素在,0,1,之间）,10,例,10.,下表是全国,5,个主要湖泊的实测数据,指标,湖泊,总磷（,mg/L,）,耗氧量,(mg/L),透明度,(m),总氮,(mg/L),杭州西湖,130,10.30,0.35,2.76,武汉东湖,105,10.70,0.40,2.0,青海湖,20,1.4,4.5,0.22,巢湖,30,6.26,0.25,1.67,滇池,20,10.13,0.50,0.23,试用矩阵,A,表示上表所示的矩阵，,2.,计算每个指标与该指标平均值之差的绝对值,.,11,解：,A=130,10.3,0.35,2.76;105,10.7,0.4,2;,20,1.4,4.5,0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23;,mean(A)=61.0000 7.7580 1.2000 1.3760,各指标的平均值为：,生成一个,5-by-4,的矩阵,B,，各行都是,mean(A):,B=ones(5,1)*mean(A),然后得到所求矩阵,C,为：,C=abs(A-B)= 69.0000 2.5420 0.8500 1.3840,44.0000 2.9420 0.8000 0.6240,41.0000 6.3580 3.3000 1.1560,31.0000 1.4980 0.9500 0.2940,41.0000 2.3720 0.7000 1.1460,为什么？怎样生成?,12,生成一个,5-by-4,的矩阵,B,，各行都是,mean(A),还有如下方法,：,B=a(ones(5,1),:),，其中,a=mean(A),练习：将各指标与该指标的最大值相减，然后再比上该指标的极差,.,提示：,max(A):,表示矩阵,A,中各列向量的最大值；,min(A):,表示矩阵,A,中各列向量的最大值；,range(A)= max(A)- min(A):,表示各列极差,.,13,在,MATLAB,中将原始数据进行变换的命令还有：,zscore(A) %,将,A,的各列减去各列的均值，再比上各 列的标准差；,例,11.,将例,10,的各指标见该指标的均值，再比上各指标的标准差；,方法,1.,A,=13010.300.352.76,10510.700.402.0,201.44.50.22,306.260.251.67,2010.130.500.23;,B=(A-ones(5,1)*mean(A)./(ones(5,1)*std(A);,方法,2.,D=zscore(A);,14,本次课学习的,MATLAB,命令一览表,命令,功能,V,D = EIG(X),求矩阵,X,的特征值与特征向量,normr(A),将矩阵,A,的行向量单位化,normc(A),将矩阵,A,的列向量单位化,Z,=null(,A,r,),求,AX,=0,的基础解系,(Z,的列向量,),rref(,C,),将,C,化成行最简化阶梯形矩阵,ones(n,m),表示元素全为,1,的,nm,矩阵,eye(n),产生,n,阶单位矩阵,zeros(n,m),产生,nm,维零矩阵,15,命令,功能,max(A),计算矩阵,A,的各列元素的最大值,min(A),计算矩阵,A,的各列元素的最小值,range(A),计算矩阵,A,的各列元素的极差,sum(A),计算矩阵,A,的各列元素的和,abs(A),将矩阵,A,中各元素取绝对值,eye(n),产生,n,阶单位矩阵,作业：,1.,求矩阵,A,的特征值、特征向量；,2.,计算,A,中各行向量夹角余弦、及各种距离，判别那两行最接近,3.,将,A,的各元素减去各行的均值再比上各行的方差,16,