Matlab在微积分中的应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,*,*,Matlab,在微积分中的应用,高等数学最基本的概念集中在极限、导数、积分、微分等几个部分，本章主要介绍Matlab在这几方面的应用,1,一、极限、导数与微分,1、极限,limit（expression，var）,该格式将对符号表达式中的变量var进行其趋于0时的求极限运算。,Ex：sys x y a,f=sin(x+2*y),limit(f,y),2,如果对系统的默认变量求极限时，也可不说明变量名。,limit(f),当需要求变量var在趋近于a时的值时，可用如下表达式：,limit(expression,var,a),3,2、导数与微分,函数f(x,y,z,)在某一点（x,0,y,0,z,0,）的增长率即为此函数在该点的导数。对一元函数来说，严格定义如下：,可以用前面讲的limit命令来求各种函数的导数，但利用导数的基本概念，可以轻松地进行计算。,4,diff命令,（1）函数f(x)=log(x) (即lgx)的求导,diff（f）,（2）求函数的高阶导数,diff（f，n）,（3）多元函数的求导,diff（function，variable,n）,其中n为求导阶数,（4）对抽象函数的求导,5,二、积分,1、不定积分,int(f),int(f,var),Ex: syms x y z;,int(sin(x*y+z),ans=-cos(x*y+z)/y,如果对z积分，应在int命令后说明：,int(sin(x*y+z)，z),6,2、定积分与广义积分,在Matlab中只要在int命令中加入积分限，就可求得函数在积分上下限间的积分值：,int（function,var,积分下限,积分上限）,Ex: syms x y,ansa=int(cos(x),0,pi/6);,ansb=int(xy,y,0,pi/6);,7,当积分限由某一具体数值变为正负无穷时，定积分便转变为广义积分，也只需将积分限变为无穷，就可以得到相应函数的广义积分值,8,Ex：求函数f(x)=1/(x +2x+3),g(x)=1/(x +2x-3)在负无穷到正无穷的积分,syms x,f=1/(x2+2*x+3);,g=1/(x2+2*x-3);,intf=int(f,-inf,inf);,intg=int(g,-inf,inf),ezplot(f,-10,10);,ezplot(g,-10,10);,2,2,9,g(x)在数轴上有不可积的奇点,10,三、化简、提取与替换代入,1、化简,（1）pretty,如A为待转化格式的代数式，命令pretty（A）即可将A由机器格式转化为手写格式，而且在转化过程中不会对A式进行任何化简或展开,11,（2）Matlab的化简命令,降幂排列法（collect）,展开法（expand）,重叠法（horner）,因式分解法（factor）,单一化简（simplify）,不定化简（simple）,12,降幂排列法（collect）,collect(A),collect(A,name_of_varible),展开法（expand）,将代数式中所有的括号打开，将变量释放出来，但得出的结果并不进行任何整理和幂次排列，只将其凌乱的堆在一起,13,重叠法（horner）,重叠法使一种很特别的代数式的整理化简方法。它的化简方法是将代数式尽量化为ax(bx(cx(zx+z)+y)+)+b)+a,的形式。,horner（A）,14,因式分解法（factor）,因式分解法是化简方法中最常用的一种方法，它的目的就是将代数式A化为由x的一次项为单位的连乘积的形式。,factor（A）,15,单一化简（simplify）,在Matlab中，单一化简是指代数式在考虑了求和、积分、平方运算法则，三角函数、指数函数、对数函数、Bessel函数、hypergeometric函数、garmma函数的运算性质，经计算机比较后转化的一种认为相对简单的形式。此种转化只列出结果，用户并不知道这种形式是经何种变换后得到的。但在普通的化简中，单一化简法倒不失为一种简便快捷的化简方法。,16,不定化简（simple）,综合了前面几种化简方法的优点，但也略显笨拙。因为它不仅将前面的每一种化简方法都试了一遍，还尝试了4、5种转化方法，最后还一一将这些结果列了出来。列出的结果往往多的超出3、4屏，用户可细细观察挑选,17,2、提取与替换代入,提取（subexpr）,在进行繁琐的数学运算中，经常会碰到类似这样的情况：得到的方程的解中，有几个非常长的因子在解中出现很多遍，不管是在纸上还是在屏幕上，它不仅使式子过长变得难看，而且在转抄或粘贴时非常容易出错。,18,Y,SIGMA=subexpr(X,SIGMA)或Y,SIGMA=subexpr(X,SIGMA),式中各参数含义如下：,X：待整理的代数式或代数式的矩阵,SIGMA：在整理过程中提出的各种因子将以矩阵的格式保存在名为SIGMA的变量中,Y：经提取各种因子后，整理完毕的代数式或其矩阵将被保存于Y矩阵中,19,代入（subs）,在Matlab中，将一代数式代入另一式中的操作命令名为subs,ss=subs(S,OLD,NEW),S：代数式名,OLD：代数式S中的将要被替换的旧变量名,NEW：将要替换OLD的新变量或代数式,ss：替换后的新代数式,20,四、级数求和,1、symsum(s),s为待求和的级数的通项表达式,命令symsum(s)的功能是求出s关于系统默认变量如k的由0到k-1的有限项的和。如不能确定s的默认变量，则可用findsym(s)命令来查的,symsum(s,v),v为求和变量。求和将v等于1求至v-1,21,五、二重积分,在一个面上积分是二重积分的本质。只要能明确的将积分面表达出来并恰当转化成int命令中所需的积分限的形式，二重积分的结果就得到了。,现在的重点是根据画出的积分平面的外形，正确的定出两组积分限。在此将用ezplot命令画出积分平面外形。,22,Ex：计算函数f=x /y 在区域D上的积分，其中D为直线y=2x,y=x/2,y=12-x围成的区域,1.划分积分区域,syms x y,f=x2/y2;,y1=2*x;,y2=x/2;,y3=12-x;,ezplot(y1),hold on,ezplot(y2),hold on,ezplot(y3,-2 15),2,2,23,3条直线相应区域即为积分区域,24,2.确定积分限,pointA=fzero(2*x-x/2,0),pointB=fzero(2*x-(12-x),4),pointC=fzero(12-x-x/2,8),求得结果为：,pointA=0,pointB=4,pointC=8,即xA=0,xB=4,xC=8,25,3.积分运算,A1=int(f,y,x/2,2*x),A2=int(f,y,x/2,12-x),B1=int(A1,0,4),B2=int(A2,4,8),Answer=B1+B2,26,六、符号方程与方程组的求解,1、线性方程组linsolve,X=linsolve(A,B),A必须至少是行满秩,2、非线性方程组和超越方程,(1)solve(E),solve(E,var),E为符号方程,Var为代求符号变量,27,(2)a1,a2,an=solve(E1,E2,En),a1,a2,an=solve(E1,E2,En,var1,var2,varn),28,3、方程的数值求解方法,（1）一元方程转化的函数，其零点的求法用fzero命令,z=fzero(fun,x),z=fzero(fun,x,tol),z=fzero(fun,x,tol,trace),29,（2）非线性方程组的求解fsolve,X=fsolve(functions_name,X0),其中functions_name是预先以m函数格式写入Matlab的函数组的函数名。X0是当函数组均等于零时对各变量的解的估计。,30,1.求函数y=sin3x/tg5x在x=0处的极限,2.求函数y=1/x -3x+3的50阶导数,3.求(2-sinx)/sin x的不定积分,4.求函数f(x,y,z)=x +y z 在区域D上的积分，区域D为D=(x,y,z)|x +y +z 1,5.对方程解进行替换代入,方程解为：,t=sovle(a*x6+b*x2+c),6.级数求和(3n+1)(z-1) zC,n=1,7.求解方程组：,x+y+z=0,x +yz+x=10190,x/y+z/y+y/x+y/z=16327/225,2,2,2/3,1/2,2/5,2,2,2,2,n,31,补充作业,32,33,34,35,