1_5全概率与贝叶斯公式

山东农业大学信息学院,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,上页,下页,目录,.5,全概率公式与贝叶斯公式,一、全概率公式引入,四、贝叶斯公式及其应用,二、全概率公式推导,三、全概率公式应用,全概率公式与贝叶斯公式,一、全概率公式问题引入,引例,1.,设甲袋有,8,个白球,7,个红球，乙袋有,5,个白球,3,个红球，现从,甲袋中任取,2,球放入乙袋，再从乙袋中任取,2,球，求从乙袋取出,2,个红球的概率。,引例,2.,设仓库中共有,10,箱产品，其中甲乙丙三厂各有,5,、,3,、,2,箱，,且已知甲乙丙三厂的次品率分别为,10%,、,15%,、,20%,，现从中任,取,1,箱，再从该箱中任取,1,件产品，求取得次品的概率。,小结：,诸如此类的概率都是比较难求的。给人的感觉是，问题太复杂，不知该从哪里下手。,复杂的问题能否简单化呢？,question,问题,思想：分块、化整为零,设,为样本空间，若事件,1,2,n,满足：,1,，,2,，,，,n,两两不相容，即,则称,1,2,n,为,样本空间,的一个,划分,想法,将,B,分解到,1,2,n,上计算然后求和,全概率公式与贝叶斯公式,一、全概率公式问题引入,样本空间的划分,A,A,A,1,A,2,A,3,A,n,通常要求,A,B,设试验的样本空间为,，,设事件,1,，,2,，,，,n,为样本空,间,的一个划分，且,(,i,)0,i,=1,2, ,，,n,则对任意事件，有,A,1,A,2,A,3,A,n,B,因为 （,i,j,）,按概率的可加性及乘法公式有,故,=,（,ij,），,二、全概率公式推导,证明：,三、全概率公式应用,例,1.,设甲袋有,8,个白球,7,个红球，乙袋有,5,个白球,3,个红球，现从甲,袋中任取,2,球放入乙袋，再从乙袋中任取,2,球，求从乙袋取出,2,个,红球的概率。,解：,设,1,从甲袋取出,2,个红球,从甲袋取出,2,个白球,3,从甲袋取出,1,个白球,1,个红球, B=,从乙袋取出,2,个红球,。,1,3,两两互斥，且,1,3,所以,P(,),P(,1,)P(,|,1,),P(,)P(,|,),P(,3,)P(,|,3,),例,2.,设袋中有,12,个乒乓球，,9,个新球，,3,个旧球第一次比赛,取,3,球，比赛后放回；第二次比赛再任取,3,球，求第二次比赛,取得,3,个新球的概率,解：,A,i,=,第一次比赛恰取出,i,个新球,（,i,=0,1,2,3 ),B=,求第二次比赛取得,3,个新球,显然,A,0,+A,1,+A,2,+A,3,为必然事件，由全概率公式得,三、全概率公式应用,例,3.,两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为,0.04,，第二台,的废品率为,0.07,，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件,是第二台加工零件的,2,倍，现任取一零件，问是合格品的概率为,多少？,解：,令,A,i,=,零件为第,i,台机床加工的, (,i,=1,2),即,A,1, A,2,为一完备事,件组,B,=,取到的零件为合格品,，由全概率公式得：,三、全概率公式应用,练习：,某人去某地,，乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为,0.3,，,0.2,，,0.1,，,0.4,，迟到的概率分别为,0.25,，,0.3,，,0.1,，,0,，求他迟,到的概率,解：,设,A,1,乘火车来,，,A,2,乘轮船来,，,A,3,乘汽车来,，,A,4,乘飞机来,，,B,迟到,。,易见：,A,1,+,A,2,+,A,3,+,A,=,，,由全概率公式得,=0.30.25,0.,0.3,0.,0.1,0.40,=0.145,四、贝叶斯公式及其应用,引例,.,设仓库中共有,10,箱产品，其中甲乙丙三厂各有,5,、,3,、,2,箱，,且已知甲乙丙三厂的次品率分别为,10%,、,15%,、,20%,，现从中任,取,1,箱，再从该箱中任取,1,件产品，若取得的产品为次品，问该,产品是甲厂生产的概率是多少？,说明：,本,例,不是求取得的产品为正品、次品问题，而是在明确知道产品品质的情况下，确定“货出谁家”的问题。,分析：,设,A,1,=,甲厂生产的产品,，,A,2,=,乙厂生产的产品,，,A,3,=,丙厂生产的产品,，,B=,取得次品,。,故求事件的概率为，,P(A,1,|B),。,1.,问题引入,于是 （,j,=1,，,2,，,，,n,）,由条件概率的定义及全概率公式,四、贝叶斯公式及其应用,2.,公式推导,贝叶斯公式,例,4.,对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良好时，产品,的合格率为,90%,，而当机器发生某一故障时，其合格率为,30%,。,每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为,75%,，试求某日,早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率。,解,:,设,A,1,=,机器调整良好,A,2,=,机器调整不好,B,=,产品合格,。,已知,P,(,A,1,)=0.75,，,P,(,A,2,)=0.25,；,P,(,B,|,A,1,)=0.9,，,P,(,B,|,A,2,)=0.3,需要求的概率为,P,(,A,1,|,B,),。,由贝叶斯公式得，,P(A,1,),P(A,2,),通常称为,验前概率，,P(A,1,|B),P(A,2,|B),称为,验后概率,。,3.,应用举例,解：,设,A,1,=,灯泡是甲厂出产的,，,A,2,=,灯泡是乙厂出产的,，,A,3,=,灯泡是丙厂出产的,，,B=,买到一个次品灯泡,。,由题设知,P(A,1,)=0.25,，,P(A,2,)=0.35,，,P(A,3,)=0.4,，,P(B|A,1,)=0.05,，,P(B|A,2,)=0.04,，,P(B|A,3,)=0.02,。,由全概率公式得,=0.250.05+0.350.04+0.40.02=0.0345,由贝叶斯公式得,类似可得,P(A,2,|B)=0.4058,，,P(A,3,|B)=0.2319,显然，是乙厂出产的可能性大！,例,5.,某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占,25%,，乙厂占,35%,丙厂占,40%,，且各厂的次品率分别为,5%,，,4%,，,2%,。如果消费者已经买到一个次品灯泡，问是哪个厂出产的可能性大？,例,6.,对目标进行三次独立射击，设三次命中率分别是,0.4,，,0.5,，,0.7,已知目标中一弹、二弹、三弹被击毁的概率分别是,0.2,，,0.6,和,0.8,求（）炮击三次击毁目标的概率；,（）已知目标被击毁，求目标中二弹的概率,解,:,设,A,i,=,目标中,i,弹,（,i,0,，,1,，,2,，,3,），,B=,目标被击毁,，,C,i,=,第,i,次击中目标,(,i,1,，,2,，,3,）。,由题意，,C,1, C,2, C,3,相互独立，,P(C,1,)=0.4, P(C,2,)=0.5, P(C,3,)=0.7,所以：,(1,-0.4),(1,-0.5),(1,-0.7)=,0.09,0.4,(1,-0.5),(1,-0.7),(1- 0.4) 0.5,(1,-0.7),(1- 0.4)(1- 0.5)0.7=0.36,=0.41,=0.14,例,6.,对目标进行三次独立射击，设三次命中率分别是,0.4,，,0.5,，,0.7,已知目标中一弹、二弹、三弹被击毁的概率分别是,0.2,，,0.6,和,0.8,求（）炮击三次击毁目标的概率；,（）已知目标被击毁，求目标中二弹的概率,P(B|A,0,)=0, P(B|A,1,)=0.2,P(B|A,2,)=0.6, P(B|A,3,)=0.8,由全概率公式得：,= 0.090,0.360.,0.410.6,0.140.,0.43,(2),由贝叶斯公式得：,作业：,25,页,14,；,15,；,16,；,17,补充题,设甲袋有,a,个白球，,b,个黑球，乙袋有,c,个白球,d,个黑球现从甲袋任取个球放入乙袋，再从乙袋任取球，求从乙袋取出个白球的概率,设、三车间生产同一种产品，产量各占,25,、,35,、,40,，次品率分别为,5,、,4,、,6,，现从中任取件产品，已知取得的是次品，问它是、车间生产的概率分别是多少？,玻璃杯每箱,20,只，假设各箱中有,0,1,2,只残次品的概率分别为,0.6, 0.3, 0.1.,一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意,取一箱，而顾客开箱随机地察看只，如果无残次品，则买下,该箱玻璃杯，否则退回，试求：,(1),顾客买下该箱玻璃杯的概率；,(2),在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率,托马斯,贝叶斯,(,Thomas Bayes ,1701,1761),英国牧师、业余数学家。 生活在,18,世纪的,贝叶斯生前是位受人尊敬英格兰长老会牧师，为,了证明上帝的存在，他发明了概率统计学原理，,遗憾的是，他的这一美好愿望至死也未能实现。,贝叶斯思想和方法对概率统计的发展产生了深远的影响。今天，贝叶斯思想和方法在许多领域都获得了广泛的应用。,从二十世纪,2030,年代开始,概率统计学出现了,“,频率学派,”,和,“,贝叶斯学派,”,的争论，至今，两派的恩恩怨怨仍在继续。,我们的课程主要采用,“,频率学派,”,的观点。,