第四节定积分的应用08824

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三章一元函数积分学,第一节不定积分,第二节定积分,第三节反常积分,第四节定积分的应用,一、微元法,二、平面图形的面积,三、旋转体的体积,四、定积分在医药学上的应用,五、连续函数的平均值,六、平面曲线弧长,七、变力沿直线所作的功,八、旋转体的侧面积,1,一、微元法,将实际问题转换成定积分定义中的“,分割、,近似代替、求和、取极限,”的方法，称为,微元法,。,返回,其具体操作为：,(1),在,a,b,中的任意一个小区间,x,x+dx,上，,以均匀,变化近似代替非均匀变化,，,列出,所求量的微元,：,dA=f,(,x,),dx,(2),对上式从,a,到,b,积分，即得所求量的定积分表,达式,2,一、微元法,（,曲边梯形的面积A）,由连续曲线,y=f,(,x,)0与直线,x=a、x=b、y=,0,围成的平面图形，称为,曲边梯形,3,一、微元法,（,曲边梯形的面积A）,由连续曲线,y=f,(,x,)0与直线,x=a、x=b、y=,0,围成的平面图形，称为曲边梯形,微元法,x,面积微元,4,y,x,以,二、平面图形的面积,由曲线,dx,上减下,围成的,平面图形的面积,，可用,微元法求得：,和直线,在,a,b,内任取小区间,，该小区间上,所对应的窄条面积近似等于以,为高、,为底,故所求面积微元为,的窄条矩形面积，,f,1,(,x,),f,2,(,x,),y,x,5,二、平面图形的面积,同理可得，由曲线,y,x,右减左,和直线,为,围成的平面图形的面积,6,二、平面图形的面积,（例题）,例1.,求由曲线 围成图形的面积.,解：(1)求交点作图,(2)求面积,y,x,7,二、平面图形的面积,（例题）,例2.,求椭圆的面积.,y,x,(2)求面积,解：(1)作图,8,二、平面图形的面积,（例题）,例3.,求由曲线围成图形的面积.,解：(1)求交点作图,y,x,(2)求面积,9,三、旋转体的体积,由曲线,y,x,的体积,，也可用微元法求解:,围成的平面图形绕,x,轴旋转一周而成的,旋转体,和直线,及直线,在,a,b,内任取小区间,，该小区间上所,对应的小旋转体的体积,为半径、,以,为高的小圆柱体的体积，,故所求体积微元为,近似等于以,10,三、旋转体的体积,同理，由曲线 和直线,及直线 围成的平面图形绕,y,轴旋转一周而成,的旋转体的体积为,y,x,11,三、旋转体的体积,（例题）,例1.,求椭圆的,y,x,y,x,(2)求体积,解：(1)作图,12,三、旋转体的体积,（例题）,例2.,由曲线和直线围成的图形,绕,y,轴旋转一周所得体积.,(1)求交点作图：,y,x,(2),13,三、旋转体的体积,（例题）,例3.,由曲线围成的图形,绕,x,轴旋转一周所得体积.,(1)作图：,y,x,(2),14,练习题,y,x,跳过练习,15,练习题答案,16,练习题,y,x,跳过练习,17,练习题答案,18,设有半径为,R,，长为,L,的一段刚性血管，两端,的血压分别为,p,1,和,p,2,在血管的横截面上距血管,中心,r,处的血流速度为，,求在单位时间内流过该横截面的血流量,Q,.,用微元法表示：,四、定积分在医药学上的应用,1. 血管稳定流动时的血流量,dr,R,r,19,四、定积分在医药学上的应用,2. 染料稀释法确定心输出量,Q,心输出量是指每分钟心脏泵出的血液容积,，,在生理学实验中常用染料稀释法测定把,M,0,mg,染料注入受试者静脉或心脏右侧，染料将随血液,循环通过心脏到达肺部，然后再返回心脏进入动,脉系统一般在30s内染料就会从动脉中流完,自染料注入后便开始对外周动脉血液中的染,料浓度进行30s连续监测，得到,动脉血液中的染料,浓度,c,=,c,(,t,),0,t,30,及,30s内动脉血液中染料的平均,浓度,20,四、定积分在医药学上的应用,3. 垃圾对水源污染的蓄积作用,垃圾的有毒物质从埋藏点逐渐向水源扩散，,埋藏一个月后有毒物质开始浸入水源当水中有,毒物质的浓度达到10个单位时，该水就不能饮用,若已知有毒物质的浸入速率为,求该水源还能饮用多久？,设该水源还能饮用,T,个月，,则由,可得,21,五、连续函数的平均值,在实际中经常要计算函数的平均值，积分,中值定理给出了计算,连续函数平均值,的公式：,例1.,解：,22,五、连续函数的平均值,例2.,解：,23,六、平面曲线弧长,曲线,y,=,f,(,x,) 在区间,a, b,上的弧长：,y,x,ds,dx,dy,故,因,24,七、变力沿直线所作的功,设物体在变力,F,(,x,)的作用下，沿,x,轴从,x=a,移动到,x=b,在,a,b,内任取一点,x,，把,x,处的变力,近似看作小区间,x,x+dx,上的常力，得到所做功的,微元,则所求,变力做的功,为,其中，变力,F,(,x,)是位移,x,的函数,25,七、变力沿直线所作的功,例.,已知某弹簧每拉长0.02米要用9.8牛顿的力，,求把该弹簧拉长0.1米所作的功.,由实验知道，弹簧拉伸所需的力,F,(,x,)与伸长,量,x,成正比，即,26,八、旋转体的侧面积,由曲线和直线 及,直线围成的平面图形绕,x,轴旋转一周而成,的旋转体的侧面积：,因,故,y,x,27,