第五部分收敛性和稳定性

内江师范学院数学与信息科学院,吴开腾,制作,引子,微分方程在离散为差分方程来求解，当步长 时，存在着差分方程的解 能否收敛到微分方程的准确解 的问题，这就是差分方法的,收敛性问题,。以及在差分方程的求解过程中，存在着各种计算误差，这些误差如舍入误差等引起的扰动，在误差传播过程中，可能会大量积累，以至于“淹没”了差分方程的真解，这就是差分方法的,稳定性问题,。,第五部分 收敛性和稳定性,例如 初值问题,的准确解为,上述结果合理吗？因而有必要研究算法的收敛性和稳定性。,如果用欧拉格式、Runge-Kutta和Adams格式求解，取步长为 得到 的近似解如下表所列,一、收敛性,1、定义,对于任意节点的 ，如果数值解 当,（同时 ）时趋向于准确解 ，则称该方法是,收敛的,。,2、欧拉格式的收敛性分析,定理,如果初始条件是准确的，则欧拉格式是收敛的。,3、收敛的意义,收敛性是保证一个算法有效性的重要特征。量化就是,收敛速度（阶）或局部截断误差。,即：对 ，如果 ，有,二、稳定性,1、定义,对于存在正常数 和对于每个 存在一个正常数 ，使得当初值和右端的扰动满足,时，原方程与扰动方程的解对一切 满足估计式,则称该格式是,稳定的。,或者：,如果一种差分方法在节点值 上大小为 的扰动，在以后各节点值 上产生的偏差均不超过 ，则称这种方法是,稳定的。,2、条件稳定和绝对稳定,如果一个算法的稳定是在一定条件下才成立，则称这种稳定是,条件稳定,。譬如，步长的选取以保证格式收敛的稳定性。,如果一个算法的稳定是任何条件下都成立，则称这种稳定是,绝对稳定。,3、稳定的意义,稳定性是判别一个算法,可用与否,的重要条件，在此基础上构造快捷（,收敛速度快！,）的方法才是追求的目标。详细分析在此省略。,