饮酒驾车问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,饮酒驾车,建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型,团队成员：魏凤佳、邵娟娟、张程,题 目,据报导，,2003,年全国道路交通事故死亡人数为,10.4372,万，其中因饮酒驾车造成的占有相当大的比例。,针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局,2004,年,5,月,31,日发布了新的,车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验,国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于,20,毫克百毫升，小于,80,毫克百毫升为饮酒驾车（原标准是小于,100,毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或等于,80,毫克百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于,100,毫克百毫升）。,大李在中午,12,点喝了一瓶啤酒，下午,6,点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨,2,点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？,问 题,1.,对大李碰到的情况做出解释；,2.,在喝了,3,瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：,1),酒是在很短时间内喝的；,2),酒是在较长一段时间（比如,2,小时）内喝的。,3.,怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。,4.,根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？,参考数据,1.,人的体液占人的体重的,65%,至,70%,，其中血液只占体重的,7%,左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。,2.,体重约,70kg,的某人在短时间内喝下,2,瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到数据如下：,时间,(,小时,),0.25,0.5,0.75,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,酒精含量,30,68,75,82,82,77,68,68,58,51,50,41,时间,(,小时,),6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,酒精含量,38,35,28,25,18,15,12,10,7,7,4,假 设,1.,假设喝啤酒后，啤酒中的酒精全部进入胃肠（含肝脏），然后经过胃肠渗透到体液。,2.,假设酒精从胃肠向体液的转移速度，与胃肠中的酒精浓度（或含量）成正比。,3.,假设体液中的酒精消耗（向外排出、分解或吸收）的速度，与体液中的酒精浓度（或含量）成正比。,4.,对问题一，假设大李在下午,6,点接受检查，之后由于停车、等待等原因耽误了一定时间,T0,（这里不妨设,T0=0.5,小时），即大李第一次检验到第二次喝酒之间间隔为半小时。,5.,对问题一，假设大李在两次喝酒时都是将酒瞬时喝下去并立即进入胃肠中，没有时间耽搁。,6.,假设酒在很短时间内喝完即将酒瞬时喝下去并立即进入胃肠中，没有时间耽搁。,7.,假设酒在较长一段时间内喝时是匀速喝下去。,8.,假设体液的密度为,1,千克,/,升,.,一个人血中酒精含量取决于他的饮酒量、体内原有的酒精含量以及喝酒方式等。有科普知识知道，酒精是经胃肠（主要是肝脏）的吸收与分解进入体液的，酒精从胃肠（含肝脏）向体液转移情况如图所示：,f(t,) k12 k21,k11,胃 肠,体液,图,1,返回,返回,符号说明,:,k11,：酒精从胃肠渗透到（除体液外）其它地方的速率系数,;,k12,：酒精从胃肠进入体液的速率系数；,k21,：酒精在体液中消耗（向外排除或分解或吸收）的速率系数；,f(t,):,酒精进入胃肠的速率；,x,：胃肠中的酒精含量；,y,：体液中的酒精含量；,a,：每瓶酒中的酒精含量；,N,：饮酒的瓶数；,V,： 人体体液的体积；,t,： 时间；,对问题一建立模型及求解,一：建立模型,根据假设的条件及图,1,可以看出：,x1(t),的变化率由从胃肠进入体液的酒精,-k11x1,和从胃肠渗透到（除体液外）其它地方的酒精,-k12x1,组成；,y1(t),的变化率是由从胃肠进入体液的酒精,k12x1,与体液中消耗（向外排出、分解或吸收）的酒精,-k21y1,组成。所以，可以建立以下微分方程：,(1),返回,如图,1,）大李在中午,12,点喝一瓶啤酒时，即在,t=0,时胃肠中的酒精量,x1,（,0,）为一瓶酒中的酒精,a,与饮酒瓶数,N,的乘积，而此时体液中的酒精量,y1(0),为零，所以初始条件为：,体液中酒精浓度为：,求出,N=1,时 的值，判断,c(6)20,是否成立,(3),返回,(2),2,）,大李第二次喝酒时胃肠和体液中已经有酒精，所以在第二次喝酒即,t=0,时胃肠中的酒精量,x2(0),为,N,瓶酒中的酒精质量,Na,与第一次喝酒后残留在胃肠中的酒精质量,x1,（,T1),之和，而此时体液中的酒精质量,y1(0),为第一次喝酒后残留在体液中的酒精质量,y1(T1),。因此大李第二次喝酒的模型如下：,根据题意判断 是否成立。,二,.,对问题一求解,微分方程：,（,4,）是可分离变量的微分方程，（,5,）是一阶线性非齐次微分方程，通过求解，得出它满足初始条件,：,-,（,4,）,-,（,5,）,上述方程的特解为：,，,令,， ，,，,根据题目所给的饮两瓶酒的数据，此时,N=2,，据高斯,-,牛顿算法可得：,， ，,利用非线性最小,二乘法拟合见,图,2.,0 2 4 6 8 10 12 14 16,t,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,图,2,将以上数据代入问题一的模型中，可求得大李在中午,12,点饮一瓶啤酒，即,N=1,时，,到下午,6,点第一次检查时体液中的酒精含量,(,即血液中的酒精含量,),：,所以大李通过,第一次检查。,大李第二次喝酒模型的方程解为,：,考虑到大李在下午,6,点接受检查，之后由于停车等待等原因耽误了一定时间，假设大李从第一次检验到第二次喝酒之间间隔,0,5,小,时，代入数据计算可得第二次检验时，大李血液中酒精含量为：,20,2448(,毫克百毫升,),。这就解释了大李在第一次喝酒通过检查，第二次喝同样的酒且经过更长的时间检查却被定为饮酒驾车的情况，因为第二次喝酒时有第一次喝酒的残留量。,问题二,在喝了,3,瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下答：,1,）酒是在很短时间内喝的,短时间内喝下的模型，已在问题一中得到求解，即,向上述两式中代入具体数据得喝三瓶啤酒需,12.25,小时，半斤白酒需,13.6,小时内驾车就会违反新标准。,问题二,:,(2),在喝了,3,瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：,酒是在较长一段时间（比如,2,小时）内喝的。,问题二（,2,）的分析：,对于第二问，,x(t,),的变化率由从胃肠进入体液的酒精,k12x,，从胃肠渗透到,(,除体液外,),其它地方的酒精,-k11x,以及酒精进入胃肠的速率,f(t,),组成。,y(t,),的变化率由从胃肠进入体液的酒精,k12x,与在体液中消耗,(,向外排出、分解或吸收,),的酒精,-k21y,组成。在饮酒期间,(0tT).,假设酒精进入胃肠的速度是匀速的，则酒精进入胃肠的速率为,f(t,)=Na/T,，饮酒后，无酒精进入胃肠，所以,f(t,)=0,，因此，建立微分方程模型如下,：,如图,因在,t=0,时胃肠中的酒精质量,x(0),和体液中的酒精质量,y(0),都为零。,故初始条件为,体液,(,或血液,),中酒精的浓度为：,问题二即求满足,f(t)20,的时间,t,范围,在一个较长时间内喝下的微分方程中，,f(t,),是个分段函数，所以需要分段求解，我们将其转化为两个微分方程：,微分方程组,(6),的解为：,微分方程组,(7),的解为：,再代入具体参数值进行计算可得多少时间内驾车违反新规定，列表如下：,3,瓶啤酒,(500ml,，,5,。,),半斤白酒,(38,。,),短时问内喝完,12,25,小时,13,6,小时,2,小时内喝完,13,28,小时,14,63,小时,问题三：怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高,?,问题三分为两种情况：第一种情况是酒在很短的时间内喝的，第二种情况是酒在较长一段时间内喝的。,第一种情况：酒在很短的时间内喝的，要求血液中酒精含量最高的时间，即求体液中酒精含量函数,y(t,),的最值点。用极值与最值的关系，因最值存在，且驻点唯一，故可通过求解驻点得到。即求满足,y(t,)=0,的时间,t,。其中,y(t,),满足以下微分方程,(1),及初始条件,(2),，,(3),。,初始条件（,2,）（,3,）,方程（,1,）,第一种情况是酒在很短的时间内喝下的，在问题一中已经求得结果,：,令,y=0,，可得,可见无论喝多少酒，体液中酒精的含量达到最高所用的时间均为,1.3255,小时,图像,3,曲线分别表示喝,1,瓶、,2,瓶。,5,瓶啤酒体液中酒精的含量走势图,2,4,6,12,8,14,10,16,1,0,8,9,6,7,10,5,4,3,2,10,9,10,8,9,10,7,8,9,10,5,7,8,9,10,6,5,7,8,9,10,4,6,5,7,8,9,10,3,4,6,5,7,8,9,10,2,3,4,6,5,7,8,9,10,1,2,3,4,6,5,7,8,9,10,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,10,2,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,10,4,2,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,10,6,4,2,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,10,8,6,4,2,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,10,10,8,6,4,2,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,10,12,10,8,6,4,2,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,14,12,10,8,6,4,2,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,16,14,12,10,8,6,4,2,0,1,2,3,4,6,5,7,8,9,问题三 估计血液中酒精含量什么时间内最高,第一种情况：酒是在很短的时间内喝完的,第二种情况：酒是在很长的一段时间内喝完的,酒精在人体内的代谢图,酒精进入人体后的代谢情况、,f(t,) k12,k21,k11,问题四,问题三,胃肠,体液,其中,初始条件为：,x(0)=0,，,y(0)=0,返回,模型三求解：,酒是在较长的时间内喝的，体液中酒精含量的表达式为分段函数。,0tT,Na,酒精含量在什么时间内最高？则,喝酒的时间,Ti,（,i=1,2,、,8,）,喝酒所用,时间（小时）,酒精含量达到最高点时间,1,1.9139,2,2.6510,3,3.4835,4,4.3713,5,5.2917,6,6.2329,7,7.0880,8,8.1530,t,1,2,3,4,5,6,7,8,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,c,图中点组成的图形表示持续喝酒时体液中酒精含量的变化，曲线表示喝完酒后体液中酒精含量的变化,问题四：如果天天喝酒，是否还能继续开车,设：每天喝酒,N,瓶，第,i,次饮酒与第,i+1,次饮酒的时间间隔为,Ti,？与问题一相似！,返回,第二天体液中酒精含量的微分方程,第,N,天体液中酒精含量满足微分方程,求出,模型四求解：,根据 表达式均为等比数列，通过求极限使模拟结果尽可能的接近现实,假设：司机的体重为,70kg,每天喝一次酒，每次喝酒时间固定，且短时间内喝完，每天喝的酒量一致，将数值代入表达式可得：,Thank You !,