第二节正项级数及其审敛法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,教学内容: 正项级数的定义及其审敛方法,教学重点: 比较判别法及比值判敛法,教学手段：,多媒体课件和面授讲解相结合,教学难点: p-级数 的敛散性,教学时数: 2学时,第二节,正项级数及其审敛法,1,若级数 的通项,则称 为正项级数,.,正项级数 收敛的充分必要条件是 有界,.,定理,1,例1 证明级数 是收敛的,.,证,即 有界,故级数 收敛,.,2,定理,2 (,正项级数的比较判别法,),设 项级数,且,.,则,(1),若级数 收敛,则级数 也收敛,.,(2),若级数 发散, ,则级数 也发散,.,例,2,讨论,p- 级数 的敛散性,解,当 时, ,而 是发散的,故 发散,.,当,p1时，,3,是公比为 的几何级数,它是收敛的,由,正项级数的比值判别法知,此时 是收敛的,.,综上,:p-,级数,(p0),当 时,发散,;,当,p1,时,收敛,.,譬如,:,级数 级数,它是收敛的,;,级数 是,p=2,的,p-,级数,它是收敛的,.,例,3,判断级数 的敛散性,.,解,因 是收敛的,故 是收敛的,.,例,4,判断级数 的敛散性,.,解,4,级数 与级数 具有相同的敛散性,是 发散,的,因此级数 是发散的,.,例,5,判断级数 的敛散性,.,解,级数 是收敛的,.,因此 是收敛的,.,例,5,判断级数 的敛散性,.,定理,3 (,比值判别法,),设,为正项级数,若,则,(i)当 时,级数 收敛,.,(i),(ii),当 时,(,或,),级数 发散,.,(iii) 当 时,级数 的敛散性不定,.(,此法则失效,).,注当正项级数的通项 中包含 或 时,常常用比值判别法审敛.,5,例6,判断 的敛散性,.,解,通项,所以该级数是发散的。,例7,证明级数 对任何,x0,都是收敛的,证,x0,，级数 是正项级数。,6,所以级数 对任何,x0,都是收敛的。,定理,4,（根值判别法）设有正项级数 ，若 ，则,（,i,）当,0l1,时，级数 发散,（,iii,）当,l =1,时，级数 可能收敛也可能发散。,例8,判断级数 的敛散性。,解 是收敛的,注,当级数的通项 中含有,n,次方幂时，常常考虑使用根值判别法。,7,