大学物理真空中的静电场

Xian,Jaotong,University,第,7,章 真空中的静电场,本章内容：,7. 1,电荷 库仑定律,7. 2,电场 电场强度,E,7. 3,电通量 高斯定理,7. 4,静电场的环路定理 电势能,7. 5,电势 电势差,7. 6,等势面,*,电势与电场强度的微分关系,7. 7,静电场中的导体 电容,7. 8,静电能,7.1,电荷 库仑定律,7.1.1,.,电荷,1.,正负性,2.,量子性,3.,守恒性,在一个,孤立系统,中总电荷量不变,4.,点电荷,带电体的大小、形状可以忽略,把带电体视为一个带电的几何点,(,一种理想模型,),7.1.2.,库仑定律,在真空中两个静止点电荷之间的静电作用力与这两个点电荷所带电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线。,电荷,q,1,对,q,2,的作用力,F,21,电荷,q,2,对,q,1,的作用力,F,12,真空中的介电常数,(1),库仑定律适用于真空中的点电荷；,(2),库仑力满足牛顿第三定律；,(3),电荷之间距离小于 时,库仑定律仍保持有效,.,至于,大距离方面,虽然未作过实验验证,但也并没有特殊的理由,预料在大距离情况下库仑定律将失效,.,讨论,氢原子中电子和质子的距离为,解,例,此两粒子间的电力和万有引力。,求,两粒子间的静电力大小为,两粒子间的万有引力为,7.2,电场,电场强度,E,7.2.1.,电场,场,的概念,超距,作用,电场的特点,:,(1),对位于其中的带电体有力的作用,(2),带电体在电场中运动,电场力要作功,7.2.2.,电场强度,E,检验电荷,带电量足够,小,质点,=,=,在,电场中：,电荷,电荷,电荷,电荷,电场,电场中某点的电场强度的大小等于单位电荷在该点受力的大小，其方向为正电荷在该点受力的方向。,7.2.3.,电场强度叠加原理,点电荷产生的场,定义：,点电荷系：,点电荷系在某点,P,产生的电场强度等于各点电荷单独在该,点产生的电场强度的矢量和。这称为,电场强度叠加原理。,连续分布带电体,:,:,电荷,线密度,:,电荷,面密度,:,电荷,体密度,P,P,r,求电偶极子在中垂线上一点产生的电场强度。,例,解,a,P,x,y,O,它在空间一点,P,产生的电场强度。,（,P,点到杆的垂直距离为,a,）,解,d,q,r,由图上的几何关系,2,1,例,长为,L,的均匀带电直杆，电荷线密度为,求,无限长直导线,讨论,圆环轴线上任一点,P,的电场强度,R,P,解,d,q,O,x,r,例,半径为,R,的均匀带电细圆环，带电量为,q,求,由于圆环上电荷分布关于,x,轴对称,(1),当,x =,0,（即,P,点在圆环中心处）时，,(2),当,xR,时,可以把带电圆环视为一个点电荷,讨论,求面密度为,的,圆板轴线上任一点的电场强度,解,P,r,x,O,例,R,杆对圆环的作用力,q,L,解,O,x,R,例,已知圆环带电量为,q,，,杆的线密度为,，长为,L,求,例,解,相对于,O,点的力矩：,(1),力偶矩最大,力偶矩为零,(,电偶极子处于稳定平衡）,(2),(3),力偶矩为零,（电偶极子处于非稳定平衡）,求电偶极子在均匀电场中受到的力偶矩。,讨论,7.3.1,.,电,场,线（电,力,线）,反映电场强度的分布,任何两条电,场,线不会在没有电荷的地方相交,起始于正电荷（或无穷远处），终止于负电荷（或无穷远处）,7.3,电通量 高斯定理,电场线的特点,:,场强方向沿电场线,切线方向，,场强大小取决于电场线的,疏密,静电场的电场线不会形成闭合曲线,d,N,7.3.2,.,电通量,穿过任意曲面的电,场,线条数称为电通量。,1.,均匀场中,d,S,面元的,电,通量,矢量面元,2.,非均匀场中曲面的,电,通量,(2),电通量是代数量,穿出为正,穿入为负,3.,闭合曲面电,通量,方向的规定：,(1),穿出、穿入闭合面电力线条数之差,(3),通过闭合曲面的电通量,说明,7.3.3,.,高斯定理,q,在,任意闭合面内，,e,与曲面的形状和,q,的位置无关的，只,与,闭合,曲面,包围的电荷电量,q,有,关。,1.,点电荷,q,q,穿过球面的电力线条数为,q/,0,穿过闭合面的电力线条数仍为,q/,0,q,在球心处，,r,球面电通量为,电通量为,+,q,q,在闭合面外,2.,多个电荷,q,1,q,2,q,3,q,4,q,5,穿出、穿入的电力线条数相等,任意闭合面电通量为,反映静电场的性质,真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以,(,不连续分布的源电荷,),(,连续分布的源电荷,),有源场,电荷就是它的源。,意义,是所有电荷产生的,;,e,只与内部电荷有关,。,3.,高斯定理,与电荷量，电荷的分布有关,与闭合面内的电量有关,与电荷的分布无关,(2),(3),净电荷,就是电荷的代数和,(4),利用高斯定理求解特殊电荷分布电场的思路,(1),静电场的高斯定理适用于一切静电场；,说明,分析电荷对称性；,根据对称性取高斯面；,根据高斯定理求电场强度,。,均匀带电球面，总电量为,Q,，,半径为,R,电场强度分布,Q,R,解,取过场点,P,的同心球面为高斯面,P,对,球面外一点,P,:,r,根据高斯定理,+,+,+,+,+,+,例,求,r,E,O,对球面内一点,:,电场分布曲线,例,已知球体半径为,R,，,带电量为,q,（,电荷体密度为,）,R,+,+,+,+,解,球外,r,均匀带电球体的电场强度分布,求,球内,R,+,+,+,+,r,电场分布曲线,R,E,O,r,解,电场强度分布具有面对称性,选取一个圆柱形高斯面,已知,“,无限大,”,均匀带电平面上电荷面密度为,电场强度分布,求,例,根据高斯定理有,已知,“,无限长,”,均匀带电直线的电荷线密度为,+,解,电场分布具有轴对称性,过,P,点作高斯面,例,距直线,r,处一点,P,的电场强度,求,根据高斯定理得,P,7,.4,静电场的环路定理 电势能,单个点电荷产生的电场,b,a,L,与路径无关,O,q,0,q,0,7.4.1.,静电力的功 静电场的环路定理,1.,静电力的功,q,0,电场力做功只与始末位置有关，与路径无关,，,所以静电力,是,保守力,，,静电场是,保守场,。,任意带电体系产生的电场,在电荷系,q,1,、,q,2,、,的电场中，移动,q,0,，静电力所作功为,:,a,b,L,q,0,q,0,结论,在静电场中，沿闭合路径移动,q,0,，,电场力作功,L,1,L,2,2.,静电场的环路定理,a,b,q,0,(1),环路定理要求电力线不能闭合。,(2),静电场是,有源,、,无旋场,，可引进,电势能,。,讨论,7.4.2.,电势能,电势能的差,自,a,点移至,b,点过程,中电场力所做的功。,定义：,q,0,q,0,q,0,在电场中,a,、,b,两点,电势能之差，,电势能,取电势能零点,W,“,b,”,= 0,等于把,q,0,q,0,在电场中某点,a,的电势能：,(1),电势能应属于,q,0,和产生电场的,源电荷,系统所共有。,(3),选电势能零点原则：,(2),电荷在某点电势能的值与电势能零点,有关,而两点的差值与电势能零点,无关,实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。,当,(,源,),电荷分布在,有限范围内,时，一般选,无穷远,处。,无限大带电体，,势能零点一般,选在有限远处一点。,说明,如图所示,在带电量为,Q,的点电荷所产生的静电场中，有一带电量为,q,的点电荷,解,选,无穷远为电势能零点,b,a,c,Q,q,在,a,点和,b,点的电势能,求,例,选,C,点为电势能零点,两点间的电势能差为：,7,.5,电势 电势差,电势定义,电势差,移动,单位正电荷,自该点,“势能零点”过程中电场力作的功 。,移动,单位正电荷,自,a,b,过程中电场力作的功。,7.5.1.,电势 电势差,a,r,q,点电荷的电势,点电荷系的电势,P,7.5.2.,电势叠加原理,对,n,个点电荷,:,在,点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷,单独,存,在时，在该点产生的电势的代数和。这称为,电势叠加原理,。,对,连续分布的带电体：,结论,均匀带电圆环半径为,R,，电荷线密度为,。,解,建立如图坐标系，选取电荷元,d,q,例,圆环轴线上一点的电势,求,R,P,O,x,d,q,r,半径为,R,，,带电量为,q,的均匀带电球体,解,根据高斯定律可得：,求,带电球体的电势分布,例,+,+,+,+,+,+,R,r,P,对球外,一点,P,：,对球,内一点,P,1,：,+,+,+,+,+,+,R,P,1,求电荷线密度为,的无限长带电直线空间中的电势分布,解,取无穷远为势能零点,例,取,a,点为电势零点,a,点距离直线为,x,a,(,场中任意一点,P,的电势表达式最简捷,),X,O,P,离带电直线的距离,x,p,a,x,a,取,7.6,等势面,*,电势与电场强度的微分关系,7.6.1.,等势面,电场中电势相等的点连成的面称为等势面。,等势面的性质,:,(1),(2),电力线指向电势降的方向,(3),等势面的疏密反映了电场强度的大小,等势面,7.6.2.,电势与电场强度的关系,取,两个相邻的等势面，把点电荷从,P,移到,Q,，,电场力做功为：,电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方向上电势的变化率,某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就是电势与电场强度的微分关系。,在,直角坐标系中：,Q,o,R,r,x,求半径为,R,带电量为,Q,(,电荷无规则分布,),的细圆环轴线上任,意一点的,电势,和,电场强度,按轴线的,分量,x,例,解,P,7.7,静电场中的导体 电容,7.7.1.,导体的静电平衡,1.,静电平衡,导体内部和表面上任何一部分都没有宏观电荷运动，我们就说导体处于,静电平衡状态,。,2.,导体静电平衡的条件,导体表面,(1),从电场角度,(2),从电势角度,导体是等势体,表面是等势面,导体的静电平衡,(1),静电平衡导体的内部处处不带电,证明：,在导体内任取体积元,由高斯定理,体积元任取,导体静电平衡时，电荷只能分布在导体表面！,3.,静电平衡导体上电荷的分布,导体中各处,如果有空腔,且空腔中无电荷,则,如果有空腔,且空腔中有电荷,则,电荷只能分布在外表面！,在内外表面都分布有电荷！,+,q,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,导体上的电荷重新分布,-,-,-,+,+,+,(2),静电平衡导体表面附近的电场强度与导体表面电荷的关系,设导体表面电荷面密度为,设,P,是导体外,紧靠导体表面,的一点,相应的电场强度为,确定电场强度,E,和电荷密度,的关系,:,+,+,+,+,d,s,+,+,+,+,为导体表面附近的场强，是所有电荷产生的合场强,.,(,为导体外法线方向,),孤立,导体,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,尖端放电,导体球,孤立带电,(4),静电屏蔽,(,腔内、腔外的场互不影响,),由实验可得以下,定性,的结论：,在表面凸出的尖锐部分,(,曲率是正值且较大,),电荷面密度较大，在比较平坦部分,(,曲率较小,),电荷面密度较小，在表面凹进部分带电面密度最小。,A,B,C,(3),处于静电平衡的孤立带电导体电荷分布,已知导体球壳,A,带电量为,Q,，,导体球,B,带电量为,q,(1),将,A,接地后再断开，电荷和电势的分布；,解,A,与地断开后,A,r,R,1,R,2,B,-,q,电荷守恒,(2),再,将,B,接地，电荷和电势的分布。,A,接地时，内表面电荷为,-,q,外表面电荷设为,例,求,(1),B,球球心处的电势,A,r,R,1,R,2,B,-,q,设,B,上的电量为,根据孤立导体电荷守恒,(2),电容只与导体的几何因素和介,质有关，与导体是否带电无关,7.7.2.,孤立导体的电容,单位,:,法拉,( F ),孤立导体的电势,孤立导体的电容,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,Q,u,E,求,半径为,R,的孤立导体球的电容,.,电势为,电容为,R,通常，由彼此绝缘相距很近的两导体构成电容器。,极板,极板,+,Q,-,Q,u,使两导体极板带电,两导体极板的电势差,7.7.3.,电容器的电容,电容器的电容,电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位置以及极板间介质。,d,u,S,+Q,-Q,(1),平行板电容器,电容器电容的计算,(2),球形电容器,R,1,+Q,-Q,R,2,a,b,(3),柱形电容器,R,1,R,2,l,7.8,静电能,以平行板电容器为例，来计算电场能量。,设在时间,t,内，从,B,板向,A,板迁移了电荷,在将,d,q,从,B,板迁移到,A,板需作功,极板上电量从,0 ,Q,作的总功为,A,B,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,忽略边缘效应，对平行板电容器有,能量密度,不均匀电场中,（,适用于所有电场,）,已知均匀带电的球体，半径为,R,，,带电量为,Q,R,Q,从球心到无穷远处的电场能量,解,r,求,例,取,体积元,