从银行贷款问题看非光滑分析理论的应用

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,从银行贷款问题 看非光滑分析理论的应用,2024/9/13,1,大背景,时至今日，我国进入世界贸易组织,WTO,已经五周年，我国金融业与国际接轨的宽限期已经结束，温家宝总理最近签署了有关开放外资银行经营人民币业务的法令。,由于我国长期实行计划经济，在很长的时期里，银行的功能实际上充当了财政的出纳，而自身的经济效益反而放到次要地位。银行在信贷业务方面长期积累的的呆帐、坏帐比例曾一度达到国际上公认的“技术性破产”水平。自从改革开放以来，银行系统的体制改革,至少是在形式上，已经步入了商业化轨道。,经过最近几年的试点，,2005,年1月6日，国务院公布了中国建设银行和中国银行实施股份制改造试点，并注资450亿美元，集中消化了两行财务上的历史包袱，迈开了股份制改造、将两行办成现代商业银行改革的实质性步伐。此后，工行和建行也陆续跟进。,2024/9/13,2,问题的提出,无庸讳言，商业银行的所有经营活动都是以经济效益为第一优先考虑的。银行的经济效益的主体部分是通过存、贷利率差实现的。因此，如何向客户,(,企业和个人,),发放贷款，使之获得最大收益就成为一个热点研究课题。我们在这里提出一条思路,：使用,最优化方法,。这里介绍的方法，有可能制作成软件包，成为投资决策系统的一部分。,问题：某银行有一笔总额为,a,的资金，将其贷给,n,个客户，假设第,i,个客户获得的贷款金额为,x,i,。,如何安排这些,x,i,，,可以使,银行获得最大经济效益？,2024/9/13,3,建立数学模型,如果第,i,个客户用贷款,x,i,去从事生产、经营活动，所获收益为,R,i,(,x,i,)，,则银行的决策者面临如下的非线性最优化问题：,2024/9/13,4,目标函数的凹性假设,在模型,(,P),中，可行集显然是凸集；然而，要求,目标函数是凹函数，我们需要一个合理的假设。,假设：客户的收益与贷,款金额成正比，或者客,户的收益与贷款金额间,存在某种饱和趋势（分,别如右图的半直线和曲,线）。,这两种情况都决定了函,数,R,i,(,x,i,),是凹的,。,x,i,R,i,(,x,i,),O,2024/9/13,5,凸规划,这样一来，我们的非线性规划模型,(,P),是一个凸规划问题（可行集为凸集，极大化一个凹目标函数）。,理论上，我们的银行放款问题已经,完满解决：求解一个,非线性凸规划问题！,然而，在实践中，我们面临两大难题：一方面，每个客户的收益函数,R,i,(,x,i,),银行方很难掌握；另一方面，当客户数量,n,较大时，计算量是难以忍受的。,2024/9/13,6,分散化,银行的决策者使用利率杠杆，将,“权力”下放，实现“分散化”处理的目的。设银行贷款利率为,*,，对于每个客户，他们只需按自己的效益最大化原则来决定自己的贷款金额。,这样，刚才的问题分散化为,n,个独立的最优化问题,(,模型中的,*,实际上是,(1+,*,),：,2024/9/13,7,困 难,这些问题的个数虽多，但都是单变量,凸规划问题，且每个问题都由一个企业来解。因此，实际上问题已经大大简化。,现在的新问题在于：提出怎样的利率,*,，使得这笔资金仍能达到最优分配，即仍能达到总收益最大这一目标？,从直观上可以看出，如果,*,定得过高，企业都不大愿意贷款，资金得不到充分利用；但如果定得过低，又会使企业贷款欲望膨胀，,对于单个客户，他们不会考虑银行资金总额的限制，因此，有可能突破总金额,a,的上限。,2024/9/13,8,分散化参数：,Lagrange,乘子,不过，银行方可以动用利率杠杆，既控制客户的贷款欲望，又使资金充分利用。,下面我们断言：满足要求的（最优）利率,*,，正是不等式约束,等价地,的,Lagrange,乘子。,2024/9/13,9,问题,(,P),的部分无约束化,撇开一些简单的变换，可以看出如果,*,是对应于约束条件 的,Lagrange,乘子,*,，则问题,(P),等价于下面的问题(,P,L,),：,这里的,L,(,x,*,),是问题,(P),的部分,Lagrange,函数,(,注意：问题,(P),是极大化目标函数，因此，,L,(,x,*,),的后一项是减号,),。,2024/9/13,10,资金的“影子价格”,(,P,L,),的目标函数：,正是将约束条件 取消后对原问题,(P),的目标函数的惩罚,(,也就是罚函数,),。事实上，破坏约束条件后， 是正项，,*,越大，,(,P,L,),的最优目标值越小。,而,Lagrange,乘子,*,则是因为破坏约束条件应付出的单位代价（这就是资金的“影子价格”）。,2024/9/13,11,如何求最优利率,*,？,因为,(,P,L,),(P)，,所以不要指望通过,(,P,L,),来,求,*,。,我们将模型,(,P,L,),中的,*,看成,变量,0，则对任意固定的,(,P,L,),的解是：,这个解实际上是,惩罚单位为时，原问题,(,P,L,),的近似解(此时的,不一定是问题,(,P,L,),的,*,)。,2024/9/13,12,如何求最优利率,*,？续,1,要使约束条件 全部起作用，应,该使,惩罚项达到最大,(,相当于违反交,通规则的罚款，你罚到他倾家荡产,),！,观察 的表达式，要使,惩罚项,就应该使,2024/9/13,13,如何求最优利率,*,？续,2,综上分析，求,*,的问题，归结为求解关于决策变量的一个带非负约束的极小化问题：,2024/9/13,14,如何求最优利率,*,？续,3,注意到 是凹函数， 是仿射函数，因而,仍然是凹函数。于是上确界,存在，且是关于变量,的仿射函数。因而，问题,(,P,),是一个单变量凸规划问题，理论上是容易求解出,*,的。,2024/9/13,15,还有困难,细心的听众一定可以看出，问题,依然含有,银行方很难掌握的,每个客户,的收益函数,R,i,(,x,i,)。,进一步的简化，需要用到不可微优化和数学规划扰动问题理论方面的知识。,2024/9/13,16,凸规划问题的扰动问题,考虑凸规划问题,(P),：,记,a,=,(,a,1,a,p,),T,，,b,=,(,b,1,b,q,),T,，称,为问题,(P),的扰动问题，,记为,(p,a,b,),。,2024/9/13,17,扰动问题解函数的凸性,对于扰动问题,(p,a,b,),，我们记它的,(,最优目标,),值为,V,=,V,(,a,b,),。显然，可以将其看成是扰动向量,(,a,b,),的函数。我们有如下的重要定理,定理,：设,f,，,g,1 ,g,p,为线性空间,X,上的凸函数,h,1 ,h,q,为,X,上的仿射函数,V,=,V,(,a,b,),为问题,(p,a,b,),的值，那么,V,是,R,p,R,q,上的凸函数。,证明,1.doc,2024/9/13,18,函数,V,=,V,(,a,b,),的获得,注意到,函数,V,=,V,(,a,b,),是,扰动问题,(p,a,b,),的,(,最优目标,),值，而,问题,(p,a,b,),实际上是参数规划，参数为,(,a,b,),R,p,R,q,。由此可见，获得,V,(,a,b,),的解析表达式并非易事,。,操作性较强的办法是取足够多的参数,(,a,b,),，求解相应的,(P,a,b,),。用数理统计中的非线性回归分析,(,曲线拟合,),获得,V,=,V,(,a,b,),的估计,。,2024/9/13,19,凸函数的次微分,设,X,为,Hausdorff,拓扑向量空间，,X,*,为,X,的拓扑对偶空间，,f,:,X,R,为,X,上的凸函数，集合,称为,f,在,x,X,处的次微分，,称为,f,在,x,X,处的次梯度。,特别，当,f,是可,微函数时，次梯度就是通常的梯度或导数，次微分就是这个梯度或导数组成的单元集。,2024/9/13,20,凸规划扰动问题最优解,V,=,V,(,a,b,),的凸性和次可微性定理,进一步，我们还有：,定理：设问题 的,Lagrange,乘子存在，且,为 的,Lagrange,乘子的全体（注意： 不一定是单元集）。那么,V,=,V,(,a,b,),是,R,p,R,q,上的真凸函数，且它在 处次可微，其次微分为：,证明,2.doc,2024/9/13,21,方向可导,设,X,为拓扑向量空间，,f,:,X,R,+,为,X,上的真凸函数。,方向导数：如果极限,存在，则称,f,在,x,处沿方向,h,是方向可导的，,且称 为,f,在,x,处沿方向,h,的方向导数 。,2024/9/13,22,G,teaux,可导,设,f,:,X,R,+,为,X,上的任意函数。如果对于,x,int(dom,f,),，刚才定义的 对任何方向,h,都存在，且存在,x,*,X,*,，满足,则称,f,在,x,处,G,teaux,可导，,x,*,称为其,G,teaux,导数，并记作,x,*=,f,(,x,),。,2024/9/13,23,G,teaux,可导的条件,充分条件：设,f,是拓扑向量空间,X,上的真凸函数，且,f,在,x,dom,f,处连续。如果,对任何方向,h,X,都存在，则,f,在,x,处是,G,teaux,可导的。,充要条件：,设,f,是拓扑向量空间,X,上的真凸函数，且,f,在,x,dom,f,处连续。则,f,在,x,处,G,teaux,可导当且仅当 为单元集。,显然，对于,(,多元,),实值可微函数,f,(,x,),，总是,G,teaux,可导的。,2024/9/13,24,V,=,V,(,a,b,),的,G,teaux,可导性,凸规划扰动问题最优解,V,=,V,(,a,b,),的凸性和次可微性定理对于解决我们的问题特别重要，因为由它和,G,teaux,可导的,充要条件,可以得到如下的,(,证明,3.doc,),推论,：如果问题 有唯一的,Lagrange,乘子 ，那么,V,在 处,G,teaux,可导，即,2024/9/13,25,回到问题,(,P,),的求解,(1),令,如果各个企业的,总收益,与,资金总量,的,关系是已知的，则函数,f,(,),是关于变量,的已知（凸）函数。于是，我们想求解的问题,(,P,),化为求解单变量凸规划问题,(P),推导,4.doc,2024/9/13,26,说 明,对于地区或行业，各个企业的,总收益,与贷出,资金总量的,关系通常是由金融专家们按金融学和统计数据测算出来的。在数学上，使用的方法多为数理统计中的非线性回归分析,(,曲线拟合,),。,2024/9/13,27,回到问题,(,P,),的求解,(2),利用刚才讨论的结果，我们要求解扰动问题,(P,a,),：,设,(P,a,),的最优解为,V,=,V,(,a,),。,使用前面提到的推论：当问题,(P,a,),有唯一的,Lagrange,乘子 时，我们要求的最优利率,可以按,来计算。,2024/9/13,28,结 论,由刚才的讨论我们知道，问题,(,P,),的求解,竟然转变为求解扰动问题,(P,a,),，在获得最优解的表达式,V,=,V,(,a,),后，再利用刚才的极限式，可以获得最优利率 。,综上，我们最终知道：最优利率,*,的计算是容易的；而且所需的信息量比求解原问题，包括最原始的大规模非线性规划问题,(P),和后来的分散化问题,(,P,i,),以及,关于决策变量的一个带非负约束的极小化问题,(,P,),，都要,少得多。,2024/9/13,29,多目标的情形,标量,a,可以推广到向量,a,= (,a,1,a,2,a,p,),T,。,这样，可供投入的不仅有资金，还有各类生产资料，其总量分别为：,a,1,a,2,a,p,。单目标,非线性规划,问题,(,P),可以推广为,多目标非线性规划问题,(,MP)。,在有限维欧氏空间中，几乎同样的推导，可以获得关于,多目标非线性规划问题,(,MP),的,一批平行的结果。,这时,多目标非线性规划问题,(,MP),的,Lagrange,乘子变,成,向量：,*,= (,*,1,*,2,*,p,),T,。,它们分别代表相应的生产资料（包括资金）的“影子价格”。,对于决策问题，,多目标非线性规划问题,(,MP),的用途更为广泛。,2024/9/13,30,The End,谢谢大家！,2024/9/13,31,