第二节QR分解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节,QR,分解,QR,分解也称为正交三角分解,矩阵,QR,分解是一种特殊的三角分解，在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要作用。,主要内容：,1矩阵的,QR,分解-,Schmidt,正交化方法,2矩阵的,QR,分解-,Householder,变换、,Givens,变换,QR,分解定理,任意一个满秩实(复）矩阵,A，,都可,唯一地分解,A = QR ，,其中,Q,为,正交（酉）矩阵，,R,是具有正,对角元的上三角矩阵。,由于,x,1,x,2, ,x,n,线性无关，将它们用,Schmidt,正交,证明,设,A,是一个实满秩矩阵,A,的,n,个列向量为,x,1,x,2, ,x,n,定义:设,如果存在,n,阶酉矩阵,Q,和,n,阶上三角矩阵,R，,使得,则,称之为,A,的,QR,分解或酉三角分解,当 时，则称为,A,的正三角分解,化方法得标准正交向量,e,1,e,2, ,e,n,其中,从而有,由此得,式中,D=R,1,R,-1,仍为具有正对角元的上三角矩阵。由于,即,D,为正交矩阵，因此,D,为单位矩阵（正规上三角为对角阵）,故,说明：1若不要求,R,具有正对角元，则,A,的不同,QR,分解仅在正交矩阵的列和上三角矩阵,R,的对应行相差模为1的因子。,该,定理的证明过程给出了利用,Schmidt,正交化方法求可逆矩阵,QR,分解的方法。,例 求矩阵,A,的,QR,分解,解,2若,A,为满秩复矩阵，则存在酉矩阵,Q,与复非,奇异上三角矩阵,R，,使,A = QR,将 正交化,整理得,令,则,例1：利用,Schmidt,正交化方法求矩阵的,QR,分解,设,则,线性无关，首先将它们正交化得：,再,单位化,：,于是：,从而,Householder,变换,O,+,O,则,记,即：该变换将向量 变成了以 为法向量的平面的对称向量 。,Householder,变换又称为反射变换或镜像变换，有明显的几何意义。在 中，给定一个向量,，令,表示,关于平面,（以 为法向量）,的反射变换所得像，如图所示，,定义 设 是一个单位向量，令,则称,H,是一个,Householder,矩阵或,Householder,变换。,性质5.1.1 设,H,是一个,Householder,矩阵，则,（1）,H,是,Hermite,矩阵， ；,（2）,H,是酉矩阵， ；,（3）,H,是对合矩阵， ；,（4）,H,是,自逆矩阵,（5）,diag,(,I,H,),也是一个,Householder,矩阵;,（6）,det,H,= -1。,其中 为实数。,定理,设 是一个单位向量，则对于任意的,当 时，取单位向量 使,存在,Householder,矩阵,H，,使得,证明 当,x=0,时，任取单位向量,则,则,所以,当 时，取,由于,推论1 对于任意的 ，存在,Householder,矩阵,H，,使,其中 为实数。,推论2 对于任意的 ，存在,Householder,矩阵,H,上述结论表明，可以利用,Householder,变换将任意向量,化为与第一自然基向量 平行的向量（共线）,。,，其中,使得,得,例2 用,Householder,变换将向量,化为与 平行的向量。,因此,解 由于,为了使,为实数，取,令,则,也,可取 或,说明,1 将矩阵,A,按列分块 ,取,利用,Householder,矩阵求矩阵的,QR,分解的步骤：,则,2 将矩阵 按列分块，,取,则,其中,则,A=QR,依次进行下去，得到第,n-1,个,n,阶的,Household,矩阵,H,n,-1,，,使得,3因 为自逆矩阵，令,例2：已知矩阵,利用,Householder,变换求,A,的,QR,分解,因为,记,令,则,从而,记,则,令,记,则,取,则,Givens,变换,x,2,y,x,O,我们知道，平面坐标系 中的旋转角为,变换可表示为,T,是正交矩阵，称为平面旋转矩阵。,将其推广到一般的,n,维酉空间中，,可以得到初等旋转变换，也称为,Givens,变换。,定义,设,记,n,阶矩阵,由 所确定的线性变换称为,Givens,变换或初等旋转变换。,称 为,Givens,矩阵或初等旋转矩阵；,容易验证，,Givens,矩阵是,酉矩阵,，且 。,定理,对于任意向量 ，存在,Givens,变换 ，使得 的第,l,个分量为0，第,k,个分量为非负实数，其余分量不变。,证明 记,由,Givens,矩阵的定义可得,当 时，取,c,=1,s,=0，,则,T,kl,=,I,此时,当 时，取,结论成立。,则,与第一自然基向量,推论,给定一个向量 ，则存在一组,Givens,矩阵,， 使得,称为用,Givens,变换化向量,证明 设,由上述定理存在,Givens,矩阵,使得,共线。,依此继续下去，可以得出,对于 又存在,Givens,矩阵 ，使得,例3 用,Givens,变换化向量 与第一自然基向量共线,解 由于,取,则构造,Givens,矩阵,对于,由于,取,则,利用,Givens,矩阵求矩阵的,QR,分解的步骤：,先将矩阵,A,按列分块，,1 对于,存在一组,Givens,矩阵,于是,使得,又存在一组,Givens,矩阵,使得,2 将矩阵 按列分块,3令,。,依次进行下去，得到,因此,其中，,则A=QR,说明,：,利用,Givens,矩阵进行,QR,分解，需要作 个初等,旋转矩阵的连乘积，,当,n,较大时，计算量较大，因此,常用镜像变换来进行,QR,分解,