matlabMATLAB的数值计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二讲 MATLAB的数值计算, matlab,具有出色的数值计算能力，占据世界上数值计算软件的主导地位,1,数值运算的功能,创建矩阵,矩阵运算,多项式运算,线性方程组,数值统计,线性插值,函数优化,微分方程的数值解,2,一、命令行的基本操作,创建矩阵的方法,直接输入法,规则：, 矩阵元素必须用, ,括住, 矩阵元素必须用逗号或空格分隔,在, ,内矩阵的行与行之间必须,用分号分隔,3,矩阵元素可以是任何matlab表达式 ，可以是实数 ，也可以是复数，复数可用特殊函数I，j 输入,a=1 2 3;4 5 6,x=2 pi/2;sqrt(3) 3+5i,矩阵元素,4,符号的作用,逗号和分号的作用,逗号和分号可作为指令间的分隔符，matlab允许多条语句在同一行出现。,分号如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。,5,注意：只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。,变量名尽可能不要重复，否则会覆盖 。,当一个指令或矩阵太长时，可用,续行,6,冒号的作用,用于生成等间隔的向量，默认间隔为1。,用于选出矩阵指定行、列及元素。,循环语句,7,2.用matlab函数创建矩阵,空阵 matlab允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。,rand 随机矩阵,eye 单位矩阵,zeros 全部元素都为0的矩阵,ones 全部元素都为1的矩阵,8,还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵、对角矩阵、范德蒙等矩阵的创建，就不一一介绍了。,注意：,matlab严格区分大小写字母,，因此,a,与,A,是两个不同的变量。,matlab函数名必须小写,。,9,3. 矩阵的修改, 直接修改,可用,键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改,。 指令修改,可以用A(,)= 来修改。,10,例如,a=1 2 0;3 0 5;7 8 9,a =1 2 0,3 0 5,7 8 9,a(3,3)=0,a =1 2 0,3 0 5,7 8 0,还可以用函数,subs修改，matlab6.0还可用find函数修改。,11,把matlab工作空间中一些有用的数据长久保存下来的方法是生成mat数据文件。,save 将工作空间中所有的变量存到,matlab.mat,文件中。,二、数据的保存与获取,默认文件名,12,save data,将工作空间中所有的变量存到,data.mat,文件中。,save data a b ,将工作空间中a和b变量存到,data.mat,文件中。,下次运行matlab时即可用load指令调用已生成的mat文件。,13,load ,load data ,load data a b ,mat文件是标准的二进制文件，还可以ASCII码形式保存。,即可恢复保存过的所有变量,14,矩阵加、减（,）运算,规则：, 相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。, 允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。,三、矩阵运算,15,2. 矩阵乘（,）,运算,规则：,A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数,标量可与任何矩阵相乘。,a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;b=1;2;3;c=a*b,c =14,32,23,16,d=-1;0;2;f=pi*d,f = -3.1416,0,6.2832,矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵逆的运算，在matlab中有两种矩阵除运算,17,a p a 自乘p次幂,方阵,1的整数,3. 矩阵乘方 an,ap,pa,对于p的其它值,计算将涉及特征值,和特征向量，如果p是矩阵，a是标量,ap使用特征值和特征向量自乘到p次,幂；如a,p都是矩阵，ap则无意义。,18,a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a2,ans =30 36 42,66 81 96,102 126 150,当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。,19,a0.5,ans =,0.4498 + 0.7623i 0.5526 + 0.2068i 0.6555 -0.3487i,1.0185 + 0.0842i 1.2515 + 0.0228i 1.4844 - 0.0385i,1.5873 - 0.5940i 1.9503 - 0.1611i 2.3134 + 0.2717i,20,inv 矩阵求逆,det 行列式的值,eig 矩阵的特征值,diag, 对角矩阵, 矩阵转置,sqrt 矩阵开方,4. 矩阵的其它运算,21,5.矩阵的一些特殊操作,矩阵的变维,a=1:12;b=,reshape,(a,3,4),c=zeros(3,4);c(:)=a(:),矩阵的变向,rot90,:旋转;,fliplr,:上翻;,flipud,:下翻,矩阵的抽取,diag,:抽取主对角线;,tril,: 抽取主下三角;,triu,:抽取主上三角,矩阵的扩展,22,关系运算,关系符号,意义,=,=,=,小于,小于或等于,大于,大于或等于,等于,不等于,23,数组运算指元素对元素的算术运算，,与通常意义上的由符号表示的线性代数,矩阵运算不同,数组加减,(.+,.-),a.+b,a.- b,5. 矩阵的数组运算,对应元素相加减（与矩阵加减等效）,24,2. 数组乘除(,，./，.）,a,b a,，b两数组必须有相同的行,和列两数组相应元素相乘。,a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;,b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;,a.*b,ans =,2 8 18,4 15 30,49 72 90,25,a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;,b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;,a*b,ans =,25 37 46,55 85 109,85 133 172,26,a./b=b.a,a.b=b./a,a./b=b.a 都是b的元素被a的对应元,素除,a.b=b./a 都是a的元素被b的对应元,素除,例: a=1 2 3;b=4 5 6; c1=a.b; c2=b./a,c1 = 4.0000 2.5000 2.0000,c2 = 4.0000 2.5000 2.0000, 给出a,b对应元素间的商.,27,3. 数组乘方(.) 元素对元素的幂,例:,a=1 2 3;b=4 5 6;,z=a.2,z =,1.00 4.00 9.00,z=a.b,z =,1.00 32.00 729.00,28,matlab语言把多项式表达成一个行向量，,该向量中的元素是按多项式降幂排列的。,f(x)=a,n,x,n,+a,n-1,x,n-1,+a,0,可用行向量 p=a,n,a,n-1, a,1,a,0,表示,poly ,产生特征多项式系数向量,特征多项式一定是,n+1,维的,特征多项式第一个元素一定是,1,四、 多项式运算,29,例:,a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;,p=poly(a),p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00,p是多项式,p(x)=x,3,-6x,2,-72x-27,的matlab描述方法，我们可用：,p1=poly2str(p,x), 函数文件，显示,数学多项式的形式,p1 =x3 - 6 x2 - 72 x - 27,30,2.roots 求多项式的根,a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a),p =,1.00 -6.00 -72.00 -27.00,r=roots(p),r = 12.12,-5.73 显然 r是矩阵a的特征值,-0.39,31,当然我们可用poly令其返回多项式形式,p2=poly(r),p2 =,1.00 -6.00 -72.00 -27.00,matlab规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。,32,3.,conv,convs,多项式乘运算,例:a(x)=x,2,+2x+3; b(x)=4x,2,+5x+6;,c = (x,2,+2x+3)(4x,2,+5x+6),a=1 2 3;b=4 5 6;,c=conv(a,b)=conv(1 2 3,4 5 6),c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00,p=poly2str(c,x),p = 4 x4 + 13 x3 + 28 x2 + 27 x + 18,33,4.deconv多项式除运算,a=1 2 3;,c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00,d=deconv(c,a),d =4.00 5.00 6.00,d,r=deconv(c,a),余数,c除a后的整数,34,5.多项式微分,matlab提供了polyder函数多项式的微分。,命令格式：,polyder(p): 求p的微分,polyder(a,b): 求多项式a,b乘积的微分,p,q=polyder(a,b): 求多项式a,b商的微分,例：,a=1 2 3 4 5; poly2str(a,x),ans = x4 + 2 x3 + 3 x2 + 4 x + 5,b=polyder(a),b = 4 6 6 4,poly2str(b,x),ans =4 x3 + 6 x2 + 6 x + 4,35,五、代数方程组求解,matlab中有两种除运算左除和右除。,对于方程ax+b，a 为a,nm,矩阵，有三种情,况：, 当n=m时，此方程成为“恰定”方程, 当nm时，此方程成为“超定”方程, 当nm时，此方程成为“欠定”方程,matlab定义的除运算可以很方便地解上,述三种方程,36,1.恰定方程组的解,方程ax+b(a为非奇异),x=,a,-1,b,矩阵逆,两种解:,x=inv(a),b 采用求逆运算解方程,x=ab 采用左除运算解方程,37,方程ax=b,a=1 2;2 3;b=8;13;,x=inv(a)*b,x=ab,x = x =,2.00 2.00,3.00 3.00,=,a x = b,例: x,1,+2x,2,=8,2x,1,+3x,2,=13,38,2.超定方程组的解,方程 ax=b ,mn时此时不存在唯一解。,方程解 (a a)x=a b,x=(a,a),-1,a b 求逆法,x=ab matlab用最小二乘法找一,个准确地基本解。,39,例: x,1,+2x,2,=1,2x,1,+3x,2,=2,3x,1,+4x,2,=3,a=1 2;2 3;3 4;b=1;2;3;,解1,x=ab,解2,x=inv(a,a),a,b,x = x =,1.00 1.00,0 0.00,=,a x = b,40,3.欠定方程组的解,当方程数少于未知量个数时,即不定,情况,有无穷多个解存在。,matlab可求出两个解：,用除法求的解x是具有最多零元素的解,是具有最小长度或范数的解，这个解是基于伪逆pinv求得的。,41,x,1,+2x,2,+3x,3,=1,2x,1,+3x,2,+4x,3,=2,a=1 2 3;2 3 4;b=1;2;,x=ab x=pinv(a),b,x = x =,1.00 0.83,0 0.33,0 -0.17,=,a x = b,42,六、微分方程求解,微分方程求解的仿真算法有多种，常用的有Euler（欧拉法）、Runge Kutta(龙,格-库塔法。,Euler法称一步法，用于一阶微分方程,43,当给定仿真步长时：,所以,y,n+1,= y,n,+ hf (x,n,y,n,) n=0,1,2,y(x,0,)=y,0,44,Runge Kutta法,龙格-库塔法：实际上取两点斜率,的平均 斜率来计算的，其精度高,于欧拉算法 。,龙格-库塔法：ode23 ode45,k,1,=hf(x,n,y,n,),k,2,=hf(x,n,+h,y,n,+k),45,例：,x+(x,2,-1)x+x=0,为方便令x,1,=x，x,2,=x分别对x,1,x,2,求一,阶导数，整理后写成一阶微分方程组,形式,x,1,=x,2,x,2,=x,2,(1-x,1,2,)-x,1,建立,m,文件,解微分方程,46,建立m文件,function xdot=wf(t,x),xdot=zeros(2,1),xdot(1)=x(2),xdot(2)=x(2)*,(1-x(1)2)-x(1),给定区间、初始值;求解微分方程,t0=0; tf=20; x0=0 0.25;,t,x=ode23(wf, t0, tf, x0),plot(t,x), figure(2),plot(x(:,1),x(:,2),47,命令格式:,) T,Y = ODE23(ODEFUN,TSPAN,Y0,建立m文件,function dxdt=wf(t,x),dxdt=x(2);x(2)*(1-x(1)2)-x(1);,求解微分方程,t,x=ode23(wf,0 30,0 0.25);,plot(t,x);,figure(2),plot(x(:,1),x(:,2),48,49,七、函数优化,寻优函数：,fmin 单变量函数,fmins 多变量函数,constr 有约束条件,无约束条件,50,例1：f(x)=x,2,+3x+2在-5 5区间的最小值,f=fmin(x2+3*x+2,-5,5),例2：f(x)=100(x,2,-x,1,2,),2,+(a-x,1,),2,在x,1,=a, x,2,=a,2,处有最小值,function f=xun(x,a),f=100*(x(2)-x(1).2).2+(a-x(1).2;,x=fmins(xun,0,0, , ,sqrt(2),),51,八、数据分析与插值函数,max 各列最大值,mean 各列平均值,sum 各列求和,std 各列标准差,var 各列方差,sort 各列递增排序,52,九、拟合与插值,1. 多项式拟合,x0=0:0.1:1；,y0=-.447 1.978 3.11 5.25 5.02 4.66 4.01 4.58 3.45 5.35 9.22;,p=polyfit(x0,y0,3),p = 56.6915 -87.1174 40.0070 -0.9043,xx=0:0.01:1;yy=polyval(p,xx);,plot(xx,yy,-b,x0,y0,or),53,2.插值,插值的定义是对某些集合给定的数据点之间函数的估值方法。,当不能很快地求出所需中间点的函数时，插值是一个非常有价值的工具。,Matlab提供了一维、二维、 三次样条等许多插值选择,54,table1 ,table2 ,intep1 ,interp2 ,spline ,利用已知点确定未知点,粗糙 精确,集合大的 简化的,插值函数,55,小 结,本节介绍了matlab语言的数值运算,功能，通过学习应该掌握：,如何创建矩阵、修改矩阵,符号的用法,矩阵及数组运算,多项式运算,线性方程组与微分运算,56,