第04章 恒定电流的磁场

电磁场与电磁波理论基础,第四章 恒定电流的磁场,恒定电流的磁场,第四章,4.1,恒定磁场的实验定律,4.2,恒定磁场的散度和通量,4.3,恒定磁场的环量和旋度,4.4,矢量磁位,4.5,磁偶极子,4.6,物质的磁特性,4.7,恒定磁场的基本方程,4.8,恒定磁场的边界条件,4.9,电感,4.10,磁场能量,4.1,恒定磁场的实验定律,一、安培定律,如图,4-1,所示，在真空中有两个载有电流分别为,I,1,和,I,2,的回路（,l,1,）和（,l,2,），在两电流回路上取电流元,I,1,d,l,1,和,I,2,d,l,2,，则电流元,I,1,d,l,1,对,I,2,d,l,2,的作用力为,图,4-1,两电流回路间的作用力,式中,R=r,2,-r,1,是两电流元之间的距离矢量，,a,R,是距离矢量的单位矢量。 亨,/,米（,H/m,）,.,（,4-1,）,称为真空中的磁导率。,如果求两个电流回路之间的作用力，积分得到,此式称之为,安培定律,。,（,4-2,）,二、毕奥,-,萨伐尔定律,为简便起见，依据安培定律逐步推导出,毕奥,-,萨伐尔定律,。,将式（,4-2,）改写成另外一种形式为,（,4-3,）,式中括号中的积分取决于回路,l,1,的电流分布及源点,r,1,到场点,r,2,之间的距离矢量,R,，而与电流回路,l,2,无关，故可定义另外一个矢量为,（,4-4,）,该矢量称之为,磁通密度矢量或磁感应强度矢量,。由于矢量,B,与下标无关，取掉下标，并用带撇的符号表示源点处的参量，上式改写为,（,4-5,）,该式称之为毕奥,-,萨伐尔定律。式中,B,、,d,l,和,a,R,三者相互垂直，并遵循右手关系，见图,4-2,所示。,图,4-2,电流回路在空间产生的场,如果电流分布不是线电流，而是体电流分布,J,V,(r),和面电流分布,J,S,(r,),，则有,（,4-6,）,（,4-7,）,根据式（,4-5,）、（,4-6,）或（,4-7,）可直接计算任意线电流分布、体电流分布和面电流分布在空间产生的磁场矢量,B,。,例,4.1,一长度为,2,l,的直导线放置于自由空间，导线通电流,I,，求在空间产生的磁场矢量,B,。,图,4-3,载流直导线产生的磁场,由图,4-3,的几何关系，得到,解,选择柱坐标系，通电导线沿,z,轴对称于,XY,面放置，如图,4-3,所示。场点坐标为,源点坐标为,线电流元,。由式（,4-5,），得到,P,点的磁通密度矢量,B,为,求导，有,代入得到,如果通电导线为无限长，则,1,0,，,2,，代入上式，得到无限长载流直导线在空间产生的磁场,B,为,此式表明，沿,Z,轴放置的载流直导线产生的磁场,B,的矢量线是闭合线，闭合线是以直导线为轴，以,为半径的同心圆，方向为,e,，矢量线的方向与电流方向成右手关系,如图,4-4,所示。,图,4-4 B,线示意图,4.2,恒定磁场的散度和通量,一、磁通密度矢量的散度,磁通密度矢量,B,的散度可以从毕奥,-,萨伐尔实验定律直接推导。,（,4-8,）,并利用矢量恒等式,（,4-9,）,由式（,4-6,），有,由于,（,4-10,）,由于,J,V,(r),是源点的函数，而算子“”是对场点求微分运算，因此有,得到,（,4-11,）,（,4-12,）,利用矢量恒等式,有,（,4-13,）,（,4-14,）,此式表明，,磁通密度矢量的散度恒为零，亦即磁通密度矢量,B(r),不存在标量源。,二、恒定磁场通量,根据矢量场通量的定义，磁通密度矢量,B,的通量定义为,（,4-15,）,式中,S,为张在有向闭合曲线,l,上的开曲面，如图,4-5,所示。如果选择曲面,S,为闭合面，则穿过闭合面的磁通量为,图,4-5,磁通量的计算,（,4-16,）,应用高斯散度定理，并利用公式（,4-14,），有,式中,V,为闭合面,S,所包围的体积。,（,4-17,）,式（,4-17,）表明，穿过任意闭合面的磁通量为零，换句话说，磁力线永远是连续的，这就是磁通连续性原理。,4.3,恒定磁场的环量和旋度,一、环量,由磁通连续性原理可知，磁通密度矢量,B,对任意闭合面的积分恒为零。但磁通密度矢量,B,的环量并不处处为零，证明如下：,例,4.1,中得到位于,Z,轴的无限长载流导线的磁通密度矢量,B,为,（,4-18,）,图,4-6,电通密度的环量计算,如果若,I,不在,l,内,如图,4-6,所示，则有,（,4-20,）,如果在闭合回路内包含两个无限长载流导线,I,1,和,I,3,，而,I,2,不包含在回路内，如图,4-6,所示，则有,（,4-21,）,由图可知,若,I,在,l,内,磁通密度沿闭合回路的积分为,（,4-19,）,由以上特殊情况的讨论，推而广之得到恒定磁场的磁通密度矢量的环量为,（,4-22,）,该式就是,真空中的安培环路定理,，表明在真空中磁通密度矢量沿任一回路的环量等于真空磁导率乘以与该闭合回路相铰链的电流的代数和 。,二、旋度,根据斯托克斯定理（见式（,1-91,），把式（,4-22,）左端线积分转化为面积分，有,（,4-23,）,又式（,4-22,）右端项可写为,（,4-24,）,因而，有,（,4-25,）,式中积分曲面,S,是张在闭合曲线,l,上的任意曲面，积分相等，必有被积函数相等，即,（,4-26,）,此式是,真空中安培环路定律的微分形式,，,表明磁场是有旋场，电流是激发磁场的旋涡源。,例,4.2,一个在圆环上密绕,N,匝的线圈,(,也称之为环形螺线管,),通有电流,I,，如图,4-7,所示，圆环的内、外半径分别为,a,和,b,。试求螺线管内、外的磁场,B,。,解,由于电流分布具有对称性，螺线管内的场分布沿,e,方向具有均匀分布的特点。根据安培环路定理：,图,4-7,圆环形螺线管,（,1,）在,a,的区域，取一闭合积分路径，由于不会有电流穿过该闭合回路，显然,B=0,。,半径为,的闭合回路所包围的总电流的代数和为,NI,，由安培环路定理得到,因此，得到,（,2,）在,a,b,的区域，在螺线管内构造一圆形闭合积分路径,l,，在路径,l,上磁场大小相同，方向与积分回路方向,e,相反，因而有,4.4,矢量磁位,一、矢量磁位,由式（,4-14,）可知，,磁场的散度处处为零,。利用矢量恒等式（,4-13,），则磁通密度矢量,B,可表示为某一矢量,A,的旋度，即,B=A,(4-27),该矢量称之为矢量磁位。在国际单位制中，,A,的单位为韦伯,/,米（,Wb/m,）。,但是由例,1.11,可知，对于任意标量场，梯度的旋度恒为零。所以式（,4-27,）并不能唯一的确定矢量磁位,A,。原因如下，假设矢量,A,是标量场,的梯度和矢量,A,之和，即：,(4-28),该式同样满足式（,4-14,）和式（,4-27,）。但,A,矢量的散度为,(4-29),但是，很显然矢量,A,和,A,的散度并不相等。为了克服这种不唯一性，在恒定磁场中，最简单的选择是取,（,4-30,）,再将式（,4-12,）与式（,4-27,）进行比较可得,（,4-31,）,该式称之为,库仑规范,。,上式就是电流体密度分布,J,V,(r),在空间任一点,r,处产生的磁矢量位的计算公式。,与此相对应，就可以得到面电流分布和线电流分布矢量磁位的计算公式分别为,（,4-32,）,（,4-33,）,与静电场中引入电位一样，矢量磁位的引入提供了一种间接计算磁通密度矢量,B,的方法，相对于用比奥萨伐尔公式计算,B,简单得多。,二、矢量泊松方程,利用式（,4-26,）和（,4-27,），可以推出,（,4-34,）,由矢量恒等式,（,4-35,）,和库仑规范条件 ，得到,（,4-36,）,上式就是矢量磁位所满足的,矢量泊松方程,。在直角坐标系下，上式的求解就等同于下面式子求解：,（,4-37,）,如果已知电流密度分布的情况，微分方程（,4-37,）的解为,（,4-38,）,式（,4-38,）也可写成矢量形式,（,4-39,）,由上面的推导知道，矢量泊松方程的解形式与由毕奥,-,萨伐尔定律推导出的矢量磁位形式相同。除毕奥,-,萨伐尔定律和安培环路定理之外，矢量磁位提供了第三种计算磁场的方法。安培环路定理计算磁场，仅适用于电流分布具有几何对称性的简单情况。与毕奥,-,萨法尔定律计算磁场相比较，通常计算矢量磁位更容易，因为式（,4-39,）的积分较式（,4-6,）的积分容易得多。,4.5,磁偶极子,如图,4-8,所示，一微小电流圆环通电流为,I,，圆环半径为,a,，下面求解在,r,a,的情况下，磁矢量位和磁通密度矢量。,图,4-8,磁偶极子,(a),(b),(4-40),又因为,（,4-41,）,求解方法,采用球坐标系，电流环放置于,XY,平面内，圆环中心与坐标原点重合。由于电流环电流分布具有对称性，因而磁场分布也具有对称性，根据式（,4-33,）可知，磁矢量位仅有 分量， 和 分量为零。据此可将待求场点选在,YZ,平面内，并不失一般性。在,YZ,平面内任取一场点,P,( ),，在电流环上任取一源点,Q,( ),，过源点,Q,的电流元表示为,（,4-42,）,（,4-43,）,（,4-44,）,因为,r,a,，取近似，有,（,4-45,）,再把式（,4-40,）和式（,4-45,）代入线电流分布矢量磁位的公式（,4-33,），得到,（,4-46,）,再积分，得到：,（,4-47,）,取空间任一点，有,（,4-48,）,取场点坐标,=,/2,，代入得到,（,4-49,）,最终，得到矢量磁位在球坐标系下的表达式为,（,4-50,）,如果有,S,=,a,2,，,p,m,=,I,S,，,S,为张在微小电流环上的平面，,S,的方向与电流的方向成右手关系，则微小电流环矢量磁位可以表达为,（,4-51,）,于是，得到微小电流环的磁通密度矢量为,（,4-52,）,实际上，实验研究表明，一根微小的永久磁针周围的磁场分布与微小电流环周围的磁场分布是相同的。因此，可以把永久磁针看作是两端有正、负磁荷,q,m,的磁偶极子，正、负磁荷相距,d,，磁矩为,p,m,=,q,m,d,。二者等效即为正、负磁荷的磁矩与微小电流环的磁矩等效。,相比之下，可以看出式（,4-52,）与静电场中电偶极子电场的表达式（,2-23,）之间具有对偶性，仅仅需要将式（,2-23,）中的 换成 ，,p,e,换成,p,m,，,E(r),就变成,B(r),。这样的话，微小电流环就可以等效为一个磁偶极子，磁偶极矩为,p,m,=IS,。微小电流环的磁力线分布如图,4-8(,b,),所示。,4.6,物质的磁特性,一、介质的磁化和磁化强度,在磁性介质中，分子中的电子以恒速绕原子核作圆周运动形成分子电流，相当于一个微小的电流环，如图,4-9,所示 。,这个微小电流环可等效为磁偶极子，其磁偶极矩的表达式为,图,4-9,分子磁偶极矩,(4-53),式中,I,a,为分子电流，,S,为分子电流圆环的面积，,其方向,n,与分子电流的绕行方向成右手关系。,就一般介质而言，在没有外磁场时，介质内部各分子磁矩的取向随机分布，磁矩的矢量和为零，对外 不显磁性，如图,4-10(,a,),所示。,图,4-10,介质的磁化,(a),(b),(c),当有外磁场存在时，介质内部分子磁矩沿外磁场方向排列，如图,4-10(,b,),所示，这种有序排列会在介质内部产生一附加场。,磁偶极子的有序排列类似于电偶极子在电介质中的有序排列，但有区别。电偶极子的有序排列总是使电场减弱，而磁偶极子的有序排列则使磁场增强。,对于均匀介质来说，磁介质内部磁偶极子的有序排列会在介质的表面产生面电流分布，如图,4-10(,c,),所示，这种电流称之为束缚电流,。,(4-54),为了定量描述磁介质在外场作用下磁化程度的强弱，引入磁化强度矢量,M,。定义磁化强度矢量为磁介质中单位体积内分子磁矩的矢量和，即,如果,M0,，表明介质被磁化。,为了方便描述起见，在此引入一新的物理量，磁场强度矢量,H,。在真空中，磁场强度矢量与磁通密度矢量的关系定义为,(4-55),由于介质的磁化是由外加磁场引起的，因此，外磁场,H,必然与磁化强度矢量,M,存在关系，最简单的是线性关系，即,(4-56),其中 是一个无量纲的量，称之为,介质的磁化率,。对于抗磁性介质和顺磁性介质，在给定温度的情况下， 是一个常数，线性关系成立。,顺磁介质的,为正，抗磁介质的,为负。,但对于,铁磁性物质,则不同，外磁场强度矢量与磁化强度矢量是非线性关系，而且存在磁滞现象。对于非均匀磁介质，磁化率是空间坐标的函数，而对于各向异性介质，磁化率取张量形式。,当外加磁场,H,时，介质因磁化产生的磁通密度矢量为,(4-57),磁介质内的总磁通密度矢量为,(4-58),式中,第一项代表外磁场的贡献，第二项代表介质磁化的贡献。,(4-59),如果把式（,4-56,）代入上式，可得,记,称之为介质的磁导率，,r,=1+,m,称之为介质的相对磁导率,，则有,(4-60),(4-61),此式表明，磁化强度矢量与外磁场成线性关系，则磁介质中的磁通密度矢量也与外场成线性关系。,显而易见，磁场强度矢量,H,与介质无关。,为了方便比较，表,4-1,列举了磁性介质抗磁性、顺磁性和铁磁性的一些简单特性和参数。,抗磁性,顺磁性,铁磁性,永久磁偶极矩,无,有，很弱。,有，很强。,主要磁化机理,电子轨道磁矩,电子自旋磁矩,磁畴,感应磁场的方向,（相对于外磁场）,反向,同向,磁滞,常见介质举例,铁、钴、镍。,m,的典型值,r,的典型值,-10,-5,1,10,-5,1,m,1,，磁滞,r,1,，磁滞,铋、铜、金刚石、金、铅、水银、银、硅。,铝、钙、铬、锰、铌、铂、钨。,表,4-1,磁性介质的性质及参数,二、介质磁化产生的矢量磁位,由式（,4-51,）可知，对于放置于空间任一点的磁偶极子，磁矢量位表示为,(4-62),现设一磁介质体积为,V,，表面面积为,S,，在外场的作用下被磁化，其内部和介质表面产生束缚电流分布，如图,4-11,所示。,图,4-11,介质磁化,产生 的磁矢量位,根据上述分析，磁介质内的束缚电流分布可等效为在真空中体积,V,内磁偶极子分布，束缚电流产生的附加磁场实质上就是磁偶极子分布产生的磁场。在介质内取一体积微元,dV,，则体积微元中包含的磁偶极矩的矢量和为,当,dV,0,时，可把磁偶极子的矢量和等效为一新的磁偶极子,由式（,4-62,），可得该磁偶极子在空间任一点,P,产生的磁矢量位为,(4-63),V,内所有磁偶极子产生的磁矢量位则为上式的积分，即,(4-64),利用关系式,(4-65),(4-67),有,(4-66),和矢量恒等式,(4-68),则,矢量磁位可写成,(4-70),有,代入式（,4-68,），得到,再利用矢量恒等式,(4-69),(4-71),式中,n,为闭曲面,S,的外法线单位矢量。,(4-73),这些电流不同于自由电流，形成电流的电荷被束缚在介质内部，所以称之为,束缚电流密度,。,(4-72),把式（,4-71,）与式（,4-31,）和式（,4-32,）进行比较，可知,由此可以看出，,介质被磁化后产生的磁效应相当于在,V,内有体电流分布 和在介质表面,S,上有面电流分布,。,特别强调的是，,关系式（,4-74,）和（,4-75,）仅仅表明源点坐标之间的关系，与场点坐标无关，而当磁化强度矢量与磁场矢量发生关系时，磁化强度矢量以相同坐标点给出，则关系式（,4-74,）和（,4-75,）也应该把式中的,r,换成,r,时，“,”,就改为“”，则有,(4-75),(4-74),为了与自由电流相区别，束缚电流体密度和束缚电流面密度分别记为,(4-76),(4-77),(4-78),利用式（,4-74,）和式（,4-75,），式（,4-71,）可改写为,式（,4-78,）是,介质被磁化后，体束缚电流和面束缚电流产生的矢量磁位。,如果要计算空间中的,总磁场分布,，还,必须考虑自由体电流密度,J,V,和自由面电流密度,J,S,分布产生的矢量磁位，然后把束缚电流产生的磁场与自由电流产生的磁场进行矢量叠加。,(,把束缚电流当自由电流看待！,),三、磁介质中的安培环路定律,真空中存在自由电流密度分布,J,V,(r),，也存在磁介质，磁介质在外磁场的作用下磁化，内部产生磁化电流,J,Vm,(r),，则真空中的安培环路定律，除了考虑自由电流,I,外，还必须考虑磁化电流,I,m,，有,(4-79),(4-81),(4-80),式中,应用斯托克斯定理，有,(4-82),(4-83),式中,S,是张在,l,上的开曲面，,S,的外法线矢量与有向闭合曲线,l,成右手关系。,上式代入式（,4-79,），得到,即,(4-84),(4-85),利用式（,4-58,），有,这就是,磁介质中的安培环路定律，表示磁介质中磁场矢量的环量。,要特别强调的是,：,式（,4-85,）右,端项仅仅是自由电流，而不包括束缚电流，这就给磁场的计算带来很大的方便。,利用式（,4-80,）和斯托克斯定理，安培环路定律可写成,(4-86),则有,(4-87),这就是与式（,4-85,）对应的安培环路定律的微分形式，,表明磁场的旋度源仅是自由体电流密度，而与束缚电流体密度和束缚电流面密度无关。,解,由例,4.1,可知，无限长载流导线周围的磁场分布为圆形的闭合线，因此可用安培环路定律求解。,例,4.3,一根无限长的细载流导线被一半径为,a,、磁导率为,的圆柱体所包围，柱外为自由空间，导线通电流为,I,，如图,4-12,所示。试求空间各处的,B,、,H,和,M,，以及磁介质中的束缚电流密度。,图,4-12,例,4.3,题图,当,0,a,时，由式（,4-85,），有,得到,根据式（,4-61,），得,当,a,时，有,由式（,4-58,），得,由于磁化强度矢量仅有,M,分量，由式（,4-76,），得到,表明在磁介质内，束缚体电流密度为零。,又根据式（,4-77,），得到,表明束缚电流密度矢量沿,-e,z,方向，那么，束缚电流也沿,-e,z,方向。由于内表面的束缚面电流密度不便于计算，但可以计算内表面上出现的束缚电流,I,m,根据式（,4-76,），有,此式表明束缚面电流密度不为零。束缚面电流仅分布于磁介质表面，对于无限长的圆柱体磁介质，表面由紧接无限长导线的内表面和半径为,a,的外表面构成，内表面的外法线单位矢量为,-e,，外表面的外法线单位矢量为,e,。由此可得外表面的束缚电流面密度为,圆柱体内表面束缚电流沿,e,z,方向。根据式（,3-6,），由,J,Sm,计算可得圆柱外表面束缚电流与内表面束缚电流大小相等，方向相反。,在圆柱体内选择一圆形闭合回路，得到,4.7,恒定磁场的基本方程,描述恒定磁场的通量、散度和环量、旋度，可总结归纳如下：,（,4-88,）,（,4-89,）,以及反映介质磁特性的物质方程,（,4-90,）,这就是描述恒定磁场的基本方程。,4.8,恒定磁场的边界条件,一、法向分量的边界条件,如图,4-13,所示，在磁导率分别为,1,和,2,的两介质分界面上做一小的圆柱闭合面，,图,4-13 B,的法向边界条件,圆柱面的上底面在介质,1,中，下底面在介质,2,中，两底面平行于分界面，两底面的面积为,S,。圆柱面的侧面高为,h,。,n,为,P,处分界面的单位法线矢量。,写成分量形式，有,（,4-93,）,此式表明，,磁通密度矢量,B,穿过分界面时，法向分量是连续的。,即,（,4-92,）,（,4-91,）,应用式（,4-88,）的第一式,由于,S,很小,近似认为在,S,上,B,的大小相等和方向相同,当,h,0,时,得到,图,4-13 B,的法向边界条件,二、切向分量的边界条件,如图,4-14,所示，在磁导率分别为,1,和,2,的两介质分界面上做一小的闭合回路,l,闭合回路的短边为,h,长边为,l,长边平行于界面并分别置于界面两侧。,图,4-14 H,的切向边界条件,n,为,P,处分界面的单位法线矢量，,l,0,为在,P,处平行于界面的单位法向矢量。应用式（,4-88,）的第二式，由于,l,很小，近似认为在,l,上,H,的大小相等和方向相同，当短边,h,0,时， 得到,积分的贡献也为零。因此，如果分界面上自由电流面密度分布,J,S,，则,式中,nl,0,为面元,S,的单位法线矢量。代入上式，有,l,0,是,P,点处界面切向单位矢量。又,式中,I,为张在闭合回路,l,上的面元,S,中所通过,的自由,电流。自由电流有体电流分布和界面,上的面电流分布,，,当,h0,时，即使两介质中存在体电流分布，,对环量,有,因此，有,利用矢量恒等式,（,4-94,）,得到,此式，表明磁场强度矢量,H,的切向分量在介质分面,两侧是不连续的。如果无自由面电流,分布，即,J,S,=0,，,则有,（,4-95,）,写成分量形式为,（,4-96,）,当,J,S,=0,时，由于,B=,H,，由式（,4-93,）和式（,4-96,）,可推导出磁场矢量经过分界面时的折射关系为,（,4-97,）,此式表明：（,1,）如果,2,=0,，则有,1,=0,，即磁场垂直穿过两磁介质分界面时，磁场的方向不发生改变，且其数值相等；（,2,）如果,2,1,，且,2,90,0,，则,1,0,，,意即,磁场由铁磁体介质进入一个非磁性介质时，磁场几乎总是垂直于铁磁体介质的表面，这一特点与静电场垂直于理想导体的表面类似。,例,4.4,设在,X,0,的半空间充满磁导率为,的均匀磁介质，,X,0,的半空间为真空，在两介质分界面上镶嵌有一根无限长细载流导线通电流为,I,，如图,4-15,（,a,）所示。求两介质中的磁场强度以及磁化电流的分布。,图,4-15,例,4.4,题图,（,a,）,(b),解,载流导线无限长，磁场强度,H,仅有,e,分量，场分布具有柱对称性，且磁场分布均匀。假设在两半空间磁场强度的分量分别为,H,1,和,H,2,，根据安培环路定律，有,且在两半空间有,利用边界条件（,4-93,）式，得,有,联立求解，得到,又根据式（,4-56,）知，在磁介质中，磁化强度矢量,M,也仅有,e,分量，利用式（,1-89,），由式（,4-76,）可得,此式表明磁介质内没有体束缚电流分布。,对于两介质分界面是由,YZ,平面和细导线镶嵌于,磁介质中的半圆柱面构成，见图,4-15,（,b,）。对,于磁介质的表面，其外法线单位矢量为,n,。由式,（,4-77,）可得,由此可知，镶嵌于磁介质内的细载流导线与磁介质的半圆柱接触面上存在磁化电流。磁介质的影响用磁化电流,I,b,代替，应用真空中的安培环路定律，有,由于两介质中的,B,相同，则得,磁化电流的方向与自由电流方向相同。,图,4-16,螺线管磁场分布示意图,在电容器的两极板间可以储存电场能量，而电感器是与电容器相对偶的器件，电感器能够存储磁场能量。电感器最简单的例子就是线圈，线圈通常用导线绕制在圆柱芯上构成，这种结构也称之为,螺,线管,。螺线管的圆柱芯可,以是空气，也可以是磁介,质。当螺线管通电流,I,时，,在螺线管内、外就存在磁,场分布，如图,4-16,所示。,4.9,电感,根据比奥,-,萨伐尔定律可知，在线性介质中一个电流回路在空间任一点产生的磁通密度矢量的大小,B,与该电流回路通过的电流,I,成正比，因而，,穿过该回路的磁通量也与回路电流成正比。,（,4-98,）,一回路的磁链,与回路本身通过的电流,I,之比定义为回路的自感,L,，,即,如果回路是由一根导线密绕成,N,匝构成，则穿过回路的总磁通（也称,磁链,）等于单匝磁通的,N,倍。由此可以引入自感的概念。,一、自感,例,4.5,空间放置两根无限长平行细导线，导线半径为,a,，轴间距为,D(D,a),，如图,4-17,所示。求平行双导线单位长度的自感。,图,4-17,平行线传输线,解,设双导线通过的电流均为,I,，方向相反。在,D,a,的条件下，电流可看作是线电流分布。由安培环路定律，两导线间,XZ,平面上的磁场分别为,在,XZ,平面上的总磁场为,在两导线间取一平面,S,，则通过,S,的磁链为,由此得到单位长度上的自感为,显然，两无限长平行直导线间的自感仅与两导线间的距离、导线的半径和真空磁导率有关，而与电流无关。,二、互感,互感是用来描述两个导电结构之间的磁耦合,。,（,4-99,）,图,4-18,两线圈间的互感,最简单的例子就是两个回路,l,1,和,l,2,的磁耦合,如图,4-18,所示，两个线圈的面积分别为,S,1,和,S,2,第一个线圈通电流,I,1,I,1,产生的磁场,B,1,在线圈,2,中引起的磁通为,假设线圈,2,有,N,2,匝，并且以完全相同的方式与,B,1,耦 合，则,B,1,穿过线圈,2,的磁链（即总磁通）为,（,4-100,）,定义,（,4-101,）,为两个回路间的互感。同样，如果回路,l,2,中通电流,I,2,，,I,2,所产生的磁场,B,2,穿过线圈,1,的磁链为,（,4-102,）,互感为,（,4-103,）,可以证明,线圈,1,和线圈,2,之间的相互感应系数相等，,（,4-104,）,图,4-19,圆环形螺线管变压器,即,互感的单位与自感相同。,互感是变压器的重要参数,在变压器中，通常有两组或多组线圈共同绕在同一个磁芯上，图,4-19,是具有两组线圈的环形螺线管变压器实例。,互感可取正,也可取负,;,正负取决于两回路的电流方向。,图,4-20,给出的是两回路间互感取值的说明，图,4-20(a),两回路产生的磁场,B,1,、,B,2,在回路,2,中,方向相反,互感取负值,而图,4-20(b),两回路产生的磁场,B,1,、,B,2,在回路,2,中,方向相同,互感取正值,。可见回路不变,回路中的电流改变方向时,互感也改变符号。,（,a,）,B,1,、,B,2,在回路,2,中方向相反 （,b,）,B,1,、,B,2,在回路,2,中方向相同,图,4-20,互感正负取值的说明,例,4.6,有一长方形线框与双线传输线在同一平面内，线框两长边与传输线平行，如图,4-21,所示，求传输线与线框之间的互感,。,解,由例,4.1,可知，两无限长传输线周围磁场分布分别为,图,4-21,长方形线框与双线,传输线之间的互感,两传输线在矩形线框中产生的磁场为,通过矩形回路的磁连（即磁通）为,所以得到两传输线与矩形线框之间的互感为,此例说明，,互感的大小不仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和介质的电导率，还与两传输线与线框的相对位置有关。,4.10,磁场能量,电场具有能量，同样磁场也具有能量。,磁场能量也是在建立磁场过程中由外源提供并储存于磁场中。,磁场能量和电场能量都是势能，势能的建立与过程无关，仅仅与最后的状态有关。,下面从单个线圈的储能过程出发给出磁场能量的表达式。,（,4-105,）,考虑一个,N,匝线圈与电源相连接，线圈通过电流为,i,(,t,),。当电流变化时，线圈两端产生的感应电动势为,此处负号 “,一,” 表示当电流增加时，电动势阻止电流的增加。,磁通量,是电流,i,(,t,),的函数，为了维持电流的增长，电源就要消耗能量，在,dt,的时间内，电源做功为,（,4-106,）,由式（,4-98,）知，对于线性电路，有,（,4-107,）,则得到电源做的总功为,（,4-108,）,上式中,L,为线圈的自感，,I,为线圈最后建立的电流，假设线圈初始能量为零。式（,4-108,）就表示储存在线圈中的磁场能。,如果考虑长直螺线管的情况，自感的表达式为,（,4-109,）,螺线管内磁场的表达式为,（,4-110,）,将式（,4-109,）和式（,4-110,）代入式（,4-108,）,得到,（,4-111,）,因为上式中,V,=,Sl,是螺线管的内部体积。利用,B,=,H,，,（,4-112,）,由此得到,单位体积的磁场能量为,（,4-113,）,虽然式（,4-113,）是由螺线管推导出来的，但,对于任何处于磁场,B,中的线性各向同性介质都是适用的。,对于空间任一点的磁场能量密度写成矢量形式为,（,4-114,）,有,上式中能量密度的单位为焦耳,/,米,3,(J/m,3,).,式,(4-114),也表明,磁场能量是以磁场的形式储存于空间,而不是以电流的形式储存于空间,.,式,(4-114),不仅适用于恒定磁场，也适用于时变磁场。,例,4.7,设同轴电缆内导体的外半径为,a,，外导体的内半径为,b,，两导体间介质的磁导率为,，计算长为,l,的一段同轴电缆中的磁场能。,解,利用安培环路定律可得同轴电缆介质中的磁场强度的大小为,式中,为柱坐标系下的极径。又,B,=,H,，根据式（,4-113,），得到,