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单击此处编辑母版标题样式,微积分,(,第三版,),教学课件,首页,上一页,下一页,结束,首页,上一页,下一页,结束,微积分,(,第三版,),教学课件,单击此处编辑母版标题样式,一、集合的概念,二、集合的表示法,三、全集与空集,四、子集,五、集合的运算,六、集合运算律,七、集合的笛卡尔乘积,1.1,集合,一、集合的概念,集合是具有某种属性的事物的全体,构成集合的事物或,对象称为集合的元素,.,集合举例,:,例,1.,1980,年,2,月,1,日在北京市出生的人,.,例,2.,彩电,电冰箱,录像机,.,例,3.,x,2,-,5,x,+,6,=,0,的根,.,例,4.,全体偶数,.,例,5.,直线,x,+,y,-,1,=,0,上所有的点,.,通常用大写字母A、B、C等表示集合, 用小写字母a、b、,c等表示集合的元素.,如果a是集合A的元素, 那么记作aA, 读作a属于A; 如果a不,是集合A的元素, 那么记作aA, 读作a不属于A.,由有限个元素构成的集合称为有限集合,由无限多个元,素构成的集合称为无限集合,.,一、集合的概念,集合是具有某种属性的事物的全体,构成集合的事物或对象称为集合的元素,.,二、集合的表示法,列举法,:,按任意顺序列出集合的,所有元素,并用花括号,括起,来,.,例,1.,由,a,、,b,、,c,、,d,四个,元素组成的集合,A,可表示为,A,=,a,b,c,d,.,例,2.,由,x,2,-,5,x,+,6,=,0,的根所,构成的集合,B,可表示为,B,=,2, 3.,描述法:,设P(a)为某个与a有关的,条件或法那么, A为满足P(a)的,一切a构成的集合, 那么记为,A=a|P(a).,例3. 由x2-5x+6=0的根所,构成的集合B可表示为,B=x|x2-5x+6=0.,例4. 全体偶数构成的集,合可表示为,D=x|x=2n, n为整数.,三、全集与空集,全集,:,由所研究的所有事物构成的集合称为全集,记为,U,.,全集是相对的, 一个集合在一定条件下是全集, 在另一条,件下就可能不是全集.,例如, 讨论的问题仅限于正整数, 那么全体正整数的集合为,全集; 讨论的问题包括正整数和负整数, 那么全体正整数就不是,全集.,空集,:,不包含任何元素的集合称为空集,记作,.,例,.,x,2,+,1,=,0,的实数根构成的集合为空集,.,三、全集与空集,全集,:,由所研究的所有事物构成的集合称为全集,记为,U,.,四、子集,定义1.1 如果集合A的每一个元素都是集合B的元素, 即,“如果aA, 那么aB, 那么称A为B的子集. 记为AB或BA, 读作A,包含于B或B包含A.,例1. 设N表示全体自然数的集合, F表示全体有理数的集,合, 那么有NF.,例2. 设A=1, 2, 3, 4, 5, B=1, 3, 5, 那么BA.,定义1.2 设有集合A和B, 如果BA且AB, 那么称A与B相等,记作A=B.,例3. 设A=x|x为大于1小于4的整数, B=x|x2-5x+6=0,那么A=B.,四、子集,定义1.1 如果集合A的每一个元素都是集合B的元素, 即“如果aA, 那么aB, 那么称A为B的子集. 记为AB或BA, 读作A包含于B或B包含A.,关于子集有以下结论:,(1) AA;,(2) A;,(3)如果AB, BC, 那么AC.,定义1.2 设有集合A和B, 如果BA且AB, 那么称A与B相等, 记作A=B.,四、子集,定义1.1 如果集合A的每一个元素都是集合B的元素, 即“如果aA, 那么aB, 那么称A为B的子集. 记为AB或BA, 读作A包含于B或B包含A.,五、集合的运算,定义,1.3,设有集合,A,和,B,由,A,和,B,的所有元素构成的集合,称为,A,与,B,的并,记为,A,B,.,即,A,B,=,x,|,x,A,或,x,B,.,A,B,定义,1.4,设有集合,A,和,B,由,A,和,B,的所有公共元素构成的,集合称为,A,与,B,的交,记为,A,B,即,A,B,=,x,|,x,A,且,x,B,.,五、集合的运算,定义,1.3,设有集合,A,和,B,由,A,和,B,的所有元素构成的集合称为,A,与,B,的并,记为,A,B,.,即,A,B,=,x,|,x,A,或,x,B,.,A,B,A,B,集合的并与交有以下性质:,(1) AAB, BAB;,ABA, ABB.,(2),对任何集合,A,有,A,=,A,A,U,=,U,A,A,=,A,;,A,=,A,U,=,A,A,A,=,A,.,五、集合的运算,A,B,A,B,例1. 设A=1, 2, 3, 4, B=3, 4, 5, 6, 那么,如果AB=, 那么称A、B是别离的.,A,B,A,B,例4. 如果A为奇数集合, B为偶数集合, 那么,A,B,A,B,例3. 设A=x|-1x1, B=x|x0, 那么,表示会英语且会日语的人的集合,.,表示会英语或会日语的人的集合,例2. 设A为某单位会英语的人的集合, B为会日语的人的,集合, 那么,=,3, 4.,=,1, 2, 3, 4, 5, 6,A,B,A,B,A,B,A,B,=,x,|0,x,1.,=,x,|,x,-,1,=,.,=,x,|,x,为奇数或偶数,定义,1.5,设有集合,A,和,B,属于,A,而不属于,B,的所有元素构,成的集合称为,A,与,B,的差,记为,A,-,B,.,即,A,-,B,=,x,|,x,A,且,x,B,.,例5. 设A=1, 2, 3, 4, B=3, 4, 5, 6, 那么,A,-,B,=,1, 2.,A,-,B,补集有以下性质:,定义,1.5,设有集合,A,和,B,属于,A,而不属于,B,的所有元素构成的集合称为,A,与,B,的差,记为,A,-,B,.,即,A,-,B,=,x,|,x,A,且,x,B,.,A,-,B,例6. 设参加考试的学生为全集U. 如果A表示及格的学生,集合, 那么A表示不及格的学生集合.,补集有以下性质:,定义,1.5,设有集合,A,和,B,属于,A,而不属于,B,的所有元素构成的集合称为,A,与,B,的差,记为,A,-,B,.,即,A,-,B,=,x,|,x,A,且,x,B,.,六、集合运算律,(1),交换律,:,A,B,=,B,A,A,B,=,B,A,(2),结合律,:,(,A,B,),C,=,A,(,B,C,),(,A,B,),C,=,A,(,B,C,),(3),分配律,:,(,A,B,),C,=,(,A,C,),(,B,C,),(,A,B,),C,=,(,A,C,),(,B,C,),(4),摩根律,:,七、集合的笛卡尔乘积,将两个元素,x,和,y,按前后顺序排列成一个元素组,(,x,y,),称,为二元有序数组,.,(,x,y,),与,(,y,x,),是两个不同的二元有序数组,.,类似地,有三元有序数组,(,x,y,z,),n,元有序数组,(,a,1,a,2,a,n,).,定义,1.7,设有集合,A,和,B,.,x,A,y,B,所有二元有序数组,(,x,y,),构成的集合称为集合,A,与,B,的笛卡尔乘积,记为,A,B,.,即,A,B,=,(,x,y,)|,x,A,y,B,.,类似地,可以定义,A,B,C,=,(,x,y,z,)|,x,A,y,B,z,C,.,例1. 设A=1, 2, 3, 4, B=2, 3, 那么,AB=(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 2),(4, 3).,例2. R为全体实数的集合, 那么笛卡尔直角坐标系的坐标平,面可记作,RR=(x, y)|xR, yR.,七、集合的笛卡尔乘积,
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