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Click to edit master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,第八课,期权定价模型,1,期权定价中的难点,债券和股票的估价：贴现现金流,期权的估价,-,DCF,不适用,-,给定到期日标的资产价格的分布，可以很 容易地计算期权在到期日的收益,-,难于估计折现率,2,二项式期权定价模型,要对期权进行定价，我们需要知道标的资产价格如何变动,简单但非常有力的一个模型是二项式模型,-,在每个（很短）的时间间隔期末，股票价格只能 有两个可能的取值,-,当时间间隔足够短，这是很好的近似,-,有利于解释期权定价模型背后所包含的原理,-,可以用于对象美式期权这样的衍生证券进行定价,3,单期二项式模型,收益率被定义为价格的相对数,期望收益率,= 1.1,期望方差,= 0.09,$140,$80,$100,今日,1 年,概 率,4,通过复制来给期权定价,为了给衍生证券定价，可以构造一个股票和无风险投资的组合来复制该衍生证券在到期日的收益,这个组合称为合成的衍生证券,要使无套利成立，这个组合的价值必须等于交易的衍生证券的价格,组合的合成等同于对冲,5,无套利原则与对衍生证券的定价,今日,到期日,交易的衍生证券,合成的衍生证券,收益相同,交易的衍生证券的价值= 合成的衍生证券（组合）的价值,6,单期：给欧式看涨期权定价,欧式看涨期权：,$40,今日,1 年,概率,7,组合,(,合成看涨期权,) =,股票,+,无风险资产,组合复制了该期权在,到期日,的收益,1.10 =,今天的,$1,投资在,1,年后的财富,解方程组得到,的负号意味者,借入,8,无套利要求,含义：,p,的值从未使用过,期望收益率无关紧要,!,9,单期二项式期权定价的一般化,今日,1 年,概率,10,该组合复制了该看涨期权在到期日的收益,解方程组得到：,，和,无套利要求：,11,风险中性定价,很自然,可以被解释为是股票价格上涨的概率,(,风险中性概率,或,等价鞅测度,),可以被解释为是该看涨期权在到期日的收益,该期权的价值是它在到期日的期望收益按无风险利率折成的现值,在,下,12,Delta,对冲组合,的符号为正，意味着投资,由 股股票和一个看涨期权空头构成的组合等价于无风险投资,该组合经常被称为无风险对冲组合，,(,delta),被称为套头比（,hedge ratio,）,13,Black-Scholes,期权定价模型,期权价格和股票价格依赖于同一种不确定性来源,无风险的对冲组合可以用股票和期权来构造,无风险组合必然获得无风险利率,这导致了,Black-,Scholes,偏微分方程,(,PDE),14,Black-Scholes,模型的假设,完美的资本市场，没有套利机会,价格的瞬间变动服从波动率为常数的几何布朗运动,短期利率已知，并且不随时间发生变化,在期权的有效期内，标的股票不发放股利,15,股票价格的动态过程,连续时间模型,假设股票价格服从几何布朗运动（,GBM）,其中：,：,期望收益率,：,波动率,(,假设为常数,),：,标准,Wiener,过程,16,离散时间近似,Z,为,Wiener,过程，则,其中,是,n(0,1),分布的一个随机实现, 任意互不重叠的两期的 的取值相互独 立,17,Wiener,过程的特征,的均值为0,的方差为,T-t,的标准差为,18,股票收益率的特征,从时间,t,到,T,收益率的均值为,从时间,t,到,T,收益率的方差为,从时间,t,到,T,收益率的标准差为,收益率的分布： ，其中,19,股票收益率的分布,股票价格服从对数正态分布，即：,20,Black-Scholes,偏微分方程的导出,构造一个组合,，该组合的构成如下：, 1单位衍生证券的空头, 股股票多头,21,组合,的价值为：,在跨度为 的短期内，它的价值的变动为：,22,因为该组合的收益率没有不确定性，所有它必须等于无风险利率。因此,从上述两个方程，就可以得到,Black-,Scholes,偏微分方程：,23,该偏微分方程不包括,！,投资者的偏好不起作用！,任何其价格依赖于标的股票价格的衍生证券都满足上述偏微分方程,不同的衍生证券，其价值取决于上述微分方程的边界条件,对于欧式看涨期权，边界条件为,对欧式期权解上述偏微分方程，就得到,Black-,Scholes,期权定价模型,24,Black-Scholes,公式,式中，,是标准正态分布的累积概率分布函数,25,Black-Scholes,模型在风险中性定价下的导出,利用,风险中性,概率算出期权在到期日的期望收益,用,无风险利率,对期望收益进行折现,26,欧式看涨期权的价值由下式给出：,由下式给出,进行一些简单的代数运算就可以得到,Black-,Scholes,公式,27,期权价格的决定因素,正的变化,看涨期权,看跌期权,股票价格,S,执行价格,X,波动率,距离到期日的时间,无风险利率,r,现金股利,d,28,Black-Scholes,公式的应用, ,年,（按连续复利计息）,以及,29,那么,30,Delta,对冲,Delta (,),：,期权价格对标的资产价格的变化比率,对于欧式看涨期权,对于欧式看跌期权,31,估计历史波动率,在间隔为 年的期间观测到,计算连续复利,估计波动率,(,标准差,),每年的波动率：,32,隐含波动率,期权的隐含波动率是指让根据公式计算得到的期权价格与市场价格相等的波动率，即,期权价格与隐含波动率之间存在着一一对应,在柜台市场（,OTC,），,交易者和经纪商经常不是报货币价格而是报隐含的收益率,隐含波动率给出了市场总体对未来标的股票在期权有效期内的平价波动率的一致估计（预期）,隐含波动率是前瞻性的,33,公司负债与股东权益,股东权益相当于拥有一个以,D,为执行价格的对于公司价值,V,的看涨期权,E,V,D,34,公司负债与股东权益,公司债权人相当于拥有一个面值为,D,的无风险债券和同时出售一个执行价格为,D,的看跌期权,V,D,V,D,35,实物期权,投资,：,有权选择投资时机,，获得投资回报，但是没有必须投资的义务。初始投资额就是执行价格，投资在未来产生的现金流就是资产价格,与传统,NPV,分析的关键区别：,-,不确定性（风险）是有价值的！,-,管理弹性（,Managerial flexibility,）,战略工具，但是大多数情况下难以准确估价,36,实物期权的主要类型,等待以在将来投资（看涨期权）,放弃（看跌期权）,弹性（看涨期权）,后续投资（看涨期权）,37,等待期权,(1),传统的,NPV,：,要么现在投资，要么永不投资,但第三种选择是等待以在将来投资,期权价值,内在价值,(,IV) +,时间价值,(,TV),TV =,能够等待的价值,38,等待期权,(2),决策法则,传统的,NPV,接受项目，如果,NPV 0,，,即,IV 0,实物期权,接受项目，如果,NPV ,期权价值,风险更大的项目,期权价值更高,39,等待期权,(3),：例子,石油公司获得某区块的,5,年期开采权,NPV ,期权价值,41,弹性期权,汽车制造商在数个国家都有生产设备,双燃料锅炉，可以选择烧油还是烧煤,比较一家大型电厂与两家或更多的小型电厂,42,后续期权,初始投资产生了后续项目的投资机会,例子：,R&D,在新兴市场特别是发展中国家的投资,决策法则,:,NPV +,后续期权的价值, 0,43,实物期权与金融期权之间的对应,实物期权,金融期权,期望现金流的现值,股票价格,获得项目资产所需的投资,执行价格,决策可以延迟的时间长度,距到期日的时间长度,货币的时间价值,无风险利率,现金流的不确定性,收益率的波动率,44,关于实物期权的进一步阅读材料,Martha Amram and Nalin Kulatilaka,Real Options: Managing Strategic Investments in an Uncertain World, Harvard Business School Press, 1999,Lenos Trigeorgis,Real Options: Managerial Flexibility and Strategy in Resource Allocation, MIT Press, 1996,Avimash Dixit and Robert Pindyck,Investment under Uncertainty, Princeton University Press, 1994,45,
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