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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三、四章内容提要,典型例题分析,思考题与练习题,数值分析,典型例题,II,2/16,一、,解线性方程组直接法,=,=,顺序消元法,、,列主元法,、,追赶法,矩阵的直接分解、对称矩阵的,LU,分解,二、,向量和矩阵的范数,向量范数、算子范数、三种矩阵范数、矩阵的条件数,三、,解线性方程组迭代法,Jacobi,迭代、,Seidel,迭代、,SOR,迭代、迭代收敛性、初等变分原理、最速下降法、共轭梯度法*,定理,3.1,约化主元,a,k,+,1,k,+1,(,k,), 0 (,k,=0,1,n-,1),的充分必要条件是 矩阵,A,的各阶顺序主子式不为零.,3/16,消元法,使用的条件,定理,4.2 :,设,x,*,为方程组,Ax=b,的解,若,|,B|,1 ),L,1,=1,U,1,=,a,11,求,的,LU,分解,.,Ex4,.,设,n,阶矩阵,A,是严格主对角占优矩阵。,高斯消元法一步后,A,约化为,证明,A,2,也是,严格主对角占优,矩阵,。,Ex5,.,设,A=,(,a,ij,),n,n,为可逆下三角矩阵,，,证明,A,-1,仍为下三角矩阵。,证明:,设,当,i,j,时,a,ij,的,代数余子式,A,ij,= 0,故,A,的伴随矩阵,的右上角元素均为零,所以,A,的逆矩阵仍是下三角阵,Jacobi,迭代法的迭代矩阵,8/16,Gauss-Seidel,迭代法的矩阵,:,B,G-S,=,(,D L,),-1,U,Ax,=,b,将,矩阵分裂,:,A = D U L,B,J,= D,-1,(,U+L,),特征多项式与特征方程,:,|,I D,-1,(,U+L,)| = |,D,-,1,|,D ,(,U+L,) |,|,D ,(,U+L,) | = 0,特征多项式与特征方程,:,|,I ,(,D L,),-1,U,| = |(,D L,),-,1,|,(,D L,), U,|,|,(,D L,), U,| = 0,9/16,Ex6.,若,A,是严格主对角占优矩阵,，,求证解方程组,AX=b,的高斯-赛德尔迭代法收敛,。,证,：,高斯-赛德尔迭代矩阵为,(,D L,),-1,U,该矩阵的特征方程为,|,(,D L,), U,| = 0,行列式对应的矩阵为,当,|,| 1,时,，,利用,A,矩阵的主对角占优性质，得,故,C,(,),也是严格主对角占优矩阵。由于严格主对角占优矩阵的行列式不为零，故,不是特征方程,C,(,),=,|,(,D L,), U,| = 0,的根。所以当,A,是严格主对角占优矩阵时,(,D L,),-1,U,的特征值必然满足,：,|,| 1,，,从而高斯-赛德尔迭代矩阵谱半径小于1，迭代法收敛。,10/16,11/16,Ex7,.,设,A,是一个可逆矩阵，矩阵序列满足,X,k,+,1,=,X,k,(2,I A,X,k,),，（,k,=0,，,1,，,2,，）,证明:当 时,证明：由,X,k,+,1,=,X,k,(2,I A,X,k,)，,得,I ,AX,k,+1,=,I A,X,k,(2,I A,X,k,)= (,I A,X,k,),2,于是,I ,AX,k,=(,I A,X,k,-,1,),2,=(,I A,X,k,-,2,),22,= ,12/16,Ex8,设,A,R,n,n,为对称正定矩阵,定义,|,x |,A,=,证明,|,x |,A,是,R,n,上的一种向量范数。,13/16,Ex 9,.,统计三对角方程组法高斯消元法的工作量。,Ex10,.,设,A=,(,a,ij,),n,n,为可逆上三角矩阵，证明,A,-1,仍为上三角矩阵。,Ex11,.,求上三角矩阵的逆阵,Ex12,:,求矩阵的,2,-,范数,以及,2-,范数意义的条件数,14/16,Ex13,.,有方程组,Ax = b,其中,A,为对称正定阵,且有迭代公式,讨论使迭代序列收敛的,的取值范围,.,15/16,Ex14,证明,n,阶,矩阵,的,特征值为,(,k =,1,2,n,),Ex15,求,n,阶矩阵,的,特征值,(1),A,1,=,B,(,I + R + R,2,+ )；,(2),任意给定,n,阶矩阵,X,0,由迭代格式,X,k,+,1,=,X,k,R + B,(,k =,0，1，2， ),产生的矩阵序列,X,k,收敛到矩阵,A,-1,；,(3),对矩阵序列,X,k,，,有误差估计式,16/16,ex16,:,设,A,是,n,阶可逆矩阵,有,A,的一个近似逆,B,令,R=I AB,如果,|,R,|,q,1 ，,试证明,
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