行列式定义性质与计算课件

山东农业大学信息学院,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,上页,下页,目录,2011-2012第二学期,线性代数,任课教师：孔德洲,部 门：,信息学院,办公室：,文理大楼 719 室,E-mail：,kdzhou,线性代数课程是高等学校理工农科各专业学生的一门必修,的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其,是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为学生所必备,的基础理论知识和重要的,数学工具,。通过本课程的学习，要使,学生获得：,线性代数课程的性质与任务,第一章、行列式,第二章、向量与矩阵,第三章、线性方程组,第四章、矩阵的对角化与二次型的化简,等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为,学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。,矩阵,本章要求,1了解行列式的概念，掌握行列式的性质；,2会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定,理计算行列式；,3会用克莱姆法则解低阶线性方程组,.,本章重点,利用行列式的性质，计算行列式,.,第一章 行列式,1.1 阶行列式的概念,1.2 行列式的性质与计算,1.3 克莱默法则,第一章 行列式,第一章 行列式,1.1 二三阶行列式,考虑用消元法解二元一次方程组,(,a,11,a,22,-,a,12,a,21,),x,2,=,a,11,b,2,-,b,1,a,21,(,a,11,a,22,-,a,12,a,21,),x,1,=,b,1,a,22,-,a,12,b,2,第1节 行列式的概念,用,a,22,和,a,12,分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去,x,2,得,同理，消去,x,1,得,当,时，方程组的解为,二阶行列式,当,时，方程组的解为,为便于叙述和记忆，,引入符号,D,=,D,1,=,称,D,为,二阶行列式,.,按照二阶行列式定义可得,D,2,=,于是，当,D,0时，方程组的解为,三阶行列式,求解三元方程组,用消元法解得,j,=,1，2，3,类似引入符号,其中,D,1,D,2,D,3,分别为将,D,的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式.,三阶行列式,求解三元方程组,称,D,为,三阶行列式,.,25431 是一个5级排列,.,如,，,3421 是4级排例；,例1,写出所有的3级全排列,.,解：,所有的3级排列为：,321,.,312，,231，,213，,132，,123，,1.2 排列,n,个自然数1,2,n,按一定的次序排成的一个无重复数字的有序,数组称为一个,n,级排列,，记为,i,1,i,2,i,n,.,显然，,n,级排列共有个,n,!,.,其,中，排列12,n,称为,自然排列,.,3 4 2,1,逆序数的计算方法(,向前看法,),4,3,2,1,从而得,(3421),=5,.,5,逆序及逆序数,定义1,在一个级排列,i,1,i,2,i,n,中，若一个较大的数排在一个较小数,的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为,这个排列的逆序数，记为,(,i,1,i,2,i,n,),.,计算逆序数时不要出现重算,一个逆序只能算一次.,1.1.2奇排列与偶排列,逆序及逆序数,定义1,在一个级排列,i,1,i,2,i,n,中，若一个较大的数排在一个较小数,的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为,这个排列的逆序数，记为,(,i,1,i,2,i,n,),.,逆序数是奇数的排列，称为奇排列,.,逆序数是偶数或0的排列，称为偶排列,.,如 3421是奇排列，,1234是偶排列,，,因为,(3421),=5,.,因为,(1234),=0,.,对换,把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称,对换.记为（,i，j,）,将相邻的两个数对换，称为,邻换.,例如,邻换,（,a，b,）,（,a，b,）,定理,一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,推论,时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，,各为,个,.,(,一次对换改变排列的奇偶性,).,（,a,b,）,（,a,b,）,邻换,对换,证明思路：,由特殊推一般,m次邻换,m+1次邻换,定义3,符号,称为,n,阶行列式,，,元素,a,i j,列标,行标,1.3,n,阶行列式,n,阶行列式定义,副对角线,主对角线,行列式的行数与列数必须相同.,1.3,n,阶行列式,n,阶行列式定义,D,=,D,1,=,=,a,11,a,21,a,n,1,a,12,a,22,a,n,2,a,1,n,a,2,n,a,nn,1),n,阶行列式共有,n,!项，正负项各占一半.,n,个元素的乘积,.,(2) 在行列式中,项,是取自不同行不同列的,行列式有时简记为|,a,ij,|,.,一阶行列式|,a,|就是,a,.,=,说明：,其中排列,j,1,j,2,j,n,要取遍所有,n,级排列,.,之前的符号是,(3) 项,行标是自然排列,总结：,n,阶行列式是所有不同行不同列元素乘积的代数和.,在乘积,a,14,a,23,a,31,a,44,a,1,4,a,23,a,31,a,4,4,a,14,a,23,a,31,a,42,a,1,4,a,2,3,a,3,1,a,4,2,例如，四阶行列式,a,11,a,21,a,31,a,41,a,12,a,22,a,32,a,42,a,13,a,23,a,33,a,43,a,14,a,24,a,34,a,44,(,-,1),(4312),a,14,a,23,a,31,a,42,为,行列式中的一项.,表示的代数和中有4!,=,24项.,a,14,a,23,a,31,a,42,取自不同行不同列,的列标排列为4312,所以它不是行列式中的一项,.,中有两个取自第四列的元素，,(为奇排列)，,D,=,行列式计算,解：,根据行列式定义,例1,计算2,阶行列式,D,=,例2,计算,n,阶下三角形行列式,D,的值,其中,a,ii,0(,i,=,1, 2,n,).,D,=,a,11,a,21,a,31,a,n,1,0,a,22,a,32,a,n,2,0,0,a,33,a,n,3,0,0,0,a,nn,解：,为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，,D,=,(,-,1),(1 2, ,n,),a,11,a,22,a,33, ,a,nn,第一行只能取,a,11,，,第三行只能取,a,33,，,第二行只能取,a,22,，,第,n,行只能取,a,nn,., ,，,这样,不为零,的,乘积,项只有,a,11,a,22,a,33, ,a,nn,，,所以,=,a,11,a,22,a,33, ,a,nn,.,例3,计算,n,阶下三角形行列式,D,的值：,D,=,0,0,0,b,n,b,n-1,*,0,0,*,*,b,1,*,*,*,0,b,2,*,*,解：,为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，,D,=,(,-,1),(,n n,-1, 21,),b,1,b,2,b,3, ,b,n,第一行只能取,b,1,，,第,n,-1行只能,第二行只能取,b,2,，,第,n,行只能取,b,n,., ,，,这样,不为零,的,乘积,项只有,b,1,b,2,b,3, ,b,n,，,所以,取,b,n,-1,，,副对角线的下三角形,下三角形行列式的值：,a,11,a,21,a,31,a,n,1,0,a,22,a,32,a,n,2,0,0,a,33,a,n,3,0,0,0,a,nn,=,a,11,a,22,a,33, ,a,nn,.,上三角形行列式的值：,a,11,0,0,0,a,12,a,22,0,0,a,13,a,14,a,33,0,a,1,n,a,2,n,a,3,n,a,nn,=,a,11,a,22,a,33, ,a,nn,.,对角形行列式的值：,a,11,0,0,0,0,a,22,0,0,0,0,a,33,0,0,0,0,a,nn,=,a,11,a,22,a,33, ,a,nn,.,结论：,副对角线的下,三角形行列式的值：,副对角线的上,三角形行列式的值：,副对角线的,对角形行列式的值：,结论：,0,0,0,b,n,b,n-1,*,0,0,*,*,b,1,*,*,*,0,b,2,*,*,*,*,*,b,n,b,n-1,0,*,*,0,0,b,1,0,0,0,*,b,2,0,0,0,0,0,b,n,b,n-1,0,0,0,0,0,b,1,0,0,0,0,b,2,0,0,将行列式,D,的行与列互换后得到的行列式称为,D,的转置行列式，记为,D,T,(T,ranspose)或,D,.,即如果,2.1 行列式的性质,a,11,a,21,a,n,1,a,12,a,22,a,n,2,a,1,n,a,2,n,a,nn,D,=,，,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,n,1,a,n,2,a,nn,D,T,=,则,.,第2节,行列式的性质与计算,显然，(,D,T,),T,=,D,.,行列式的转置,性质3,用数,k,乘以行列式的某一行(列)，等于用数,k,乘以此行列式,.,即,a,11,ka,i,1,a,n,1,a,12,ka,i,2,a,n,2,a,1,n,ka,in,a,nn,=,k,.,a,11,a,i,1,a,n,1,a,12,a,i,2,a,n,2,a,1,n,a,in,a,nn,性质1,行列式与它的转置行列式相等，即,D,=,D,T,.,性质2,互换行列式的两行(列)，行列式的值变号,.,推论,如果行列式,D,中有两行(列)的元素相同，则,D,=0,.,证明：,用定义式证明,.,k,性质3,用数,k,乘以行列式的某一行(列)，等于用数,k,乘以此行列式,.,即,a,11,ka,i,1,a,n,1,a,12,ka,i,2,a,n,2,a,1,n,ka,in,a,nn,=,k,.,a,11,a,i,1,a,n,1,a,12,a,i,2,a,n,2,a,1,n,a,in,a,nn,性质1,行列式与它的转置行列式相等，即,D,=,D,T,.,推论1,如果行列式的某一行(列)的元素为零，则,D,0,.,性质2,互换行列式的两行(列)，行列式的值变号,.,推论,如果行列式,D,中有两行(列)的元素相同，则,D,=0,.,推论2,如果,D,中有两行(列)成比例，则,D,=0,.,性质4,若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列,式可以写成两个行列式之和,.,即,a,11,a,i,1,+,b,i,1,a,n,1,a,12,a,i,2,+,b,i,2,a,n,2,a,1,n,a,in,+,b,in,a,nn,a,11,a,i,1,a,n,1,a,12,a,i,2,a,n,2,a,1,n,a,in,a,nn,=,+,a,11,b,i,1,a,n,1,a,12,b,i,2,a,n,2,a,1,n,b,in,a,nn,.,例,性质5,将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数,k,后加到另一行,(列)对应位置的元素上，行列式的值不变,.,即,a,11,a,i,1,a,j1,a,n,1,a,12,a,i,2,a,j2,a,n,2,a,1,n,a,in,a,jn,a,nn,a,11,a,i,1,+,ka,j,1,a,j1,a,n,1,a,12,a,i,2,+,ka,j,2,a,j2,a,n,2,a,1,n,a,in,+,ka,jn,a,jn,a,nn,=,.,k,证明：,右边=,a,11,a,i,1,a,j1,a,n,1,a,12,a,i,2,a,j2,a,n,2,a,1,n,a,in,a,jn,a,nn,a,11,ka,j,1,a,j1,a,n,1,a,12,ka,j,2,a,j2,a,n,2,a,1,n,ka,jn,a,jn,a,nn,+,.,=左边,行列式的计算,方法：利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算,.,为表述方便，引入下列记号(行用,r,，列用,c,)：,2)以数,k,乘以行列式的第,i,行，用,kr,i,表示；,3)以数,k,乘以行列式的第,i,行加到第,j,行，用,r,j,+,kr,i,表示,.,1)交换行列式的第,i,行与第,j,行，用,表示；,例1.,计算行列式,解：,=,-,85,.,例2.,计算行列式,解：,例3.,计算行列式,解：,将各行都加到第一行，从第一行提取（,x,+（,n,-1）,a,）得,解：,例4.,计算行列式,箭形行列式,n,阶行列式的性质,小结,D,D,练习,作业,19页 1 (3) (4) 20页 5(3) (4) 6 (1),=-72,证明的思路：D的每一项都是D转置矩阵中的一项,例,=-72,证明的思路：换行(列)矩阵的每一项都与D中的一项是相反的.,例,互换二三行,所以,例,