MATLAB符号数学工具箱

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十四章 符号数学工具箱,MATLAB所具有的符号数学工具箱(symbolic Math Toolbox) 中定义了一种,新的数据结构,，用来存储代表符号的字符串，称为。可以用来代表符号变量、表达式和矩阵等。,在进行符号计算时，首先要定义基本的符号对象(可以是常数、变量以及表达式等)，然后利用这些基本符号对象去构成新的表达式，从而进行所需的符号运算。,在运算中，凡是由包含符号对象的表达式所生成的新对象也那是符号对象。sym和syms是创建和定义基本的符号对象的两个函数，函数syms是sym的简捷方式。,1,14.1 符号表达式及运算,利用sym命令可以创建符号变量和表达式。,S=sym(arg)： 由表达式创建一个sym对象S，如果arg是一个字符串(string)，则S是符号变量或符号数；如明是数值标量或矩阵，则S是这些给定数值的符号形式。,以下是sym函数调用形式的具体实现方式：,x=sym(x)： 建立符号变量x，变量的值为单引号内的字符或字符串，这里是和变量名相同的字符x;,xsym(x,real)： 设定符号变量为实型变量(Real) ；,xsym(x,unreal)： 使x为纯粹的形式变量，没有附加属性；一般用来,清除x的实数特性，从mapple的工作空间中清除掉。,pi=sym(,pi,)和delta=sym(,1/10,)： 建立符号数，避免了浮点数本身的近似，建立的符号数是数值的精确表示。,2,例141,链接,Example 1。,符号表达式是代表数字、函数、算子和变量的MATLAB字符串，或字符串数组。不要求变量有预先确定的值。,利用sym命令创建表达式：,例142,链接,Example1_01。,注意，该例子中用的是显式格式，在MATLAB可以自己确定变量类型的场合下，通常不要求显式函数sym，可以直接用表达式。,例143,链接,Example1_ 02。,然而，很多时候sym是必要的。尤其是建立符号数组时，必须用函数sym，特别地将字符串变为符号表达式。,例144,链接,Example 1_03。,3,MATLAB在内部把符号表达式表示成字符串，与数字变量或运算相区别；否则，这些符号表达式几乎完全像基本的MATLAB命令。,符号表达式 MATLAB表达式,4,许多符号函数能够自动将字符转变为符号表达式。但是最简单形式(无引号)要求个参量，它是一个单字符的字符串，不能包含空格。,例145,链接,Example 1_04。,符号变量,当字符表达式中含有多于一个的变量时，只有一个变量是独立变量。如果不告诉哪一个变量是独立交量，则可以通过findsym函数、查询，找出符号表达式或符号矩阵中的一个或所有变量。,例146,链接,Example 1_05。,符号矩阵的创建：,例147,链接,Example 1_06。,提取分子和分母,如果表达式是个有理分式(两个多项式之比)，利用numden来提取分子或分母。在必要时 numden将表达式合并、有理化并返回所得的分子和分母。,5,例148,链接,Example 1_07。,标准代数运算,很多标准的代数运算可以在符号表达式上执行：,symadd, symsub, symmul, symdiv： 加、减、乘、除两个表达式,Sympow： 将一个表达式上升为另一个表达式的幂次。,例149,链接,见Example 1_07。,另一个通用函数可让用户用其它的符号变量、表达式和算子创建新的表达式。,Symop：取由逗号隔开的参量。各个参量可为符号表达式、数值或算子，然后symop可将参量联接起来，返回最后所得的表达式。,例1410,链接,见Example 1_07。,6,高级运算,MATLAB具有对符号表达式执行更高级运算的功能。,compose： 把f(x)和g(x)复合成f(g(x)。,例1411,链接,见Example 1_07。,finverse： 求表达式的函数逆，返回表达式的逆函数。如果解不是唯一就给出警告。,例1412,链接,见Example 1_07。,Symsum：求表达式的符号和，有四种形式：,7,例1413,链接,见Example 1_07。,变换函数,Sym：可获取一个数字参量并将其转换为符号表达式。,Char：Convert sym object to string。,Numeric：功能正好相反，它把一个符号常数(无变量符号表达式)变换为一,个数值。(double7.0版本),Eval：另一个可用于把符号常数变换为数字或计算表达式的函数。,例1414,链接,见Example 1_07。,Sym2poly：将符号多项式变换成它的MATLAB等价系数向量。,poly2sym：功能正好相反，并让用户指定用于所得结果表达式中的变量。,例1415,链接,见Example 1_07。,8,变量替换,Subs： 在符号表达式个进行变量替换。,subs(f, old, new)： f是符号表达式，new和old是字符、字符串或其它符号表达式。,例1416,链接,见Example1_07。,14.2 微积分,微分,符号表达式的微分以四种形式利用函数diff。,例1417,链接,Example2。,diff也可对数组进行运算。如果F是符号向量或数组，diff(F)对数组内的各个元素进行微分。diff也用计算数值向量或矩阵的数值差分。,例1418,链接,Example2。,9,积分,int(f)：积分函数，f为符号表达式，力图求出另一符号表达式F使diff(F)f。,积分比微分复杂得多。积分或逆求导不一定是以封闭形式存在，或许存在但软件也许找不到，或者软件可明显地求解，但超过内存或时间限制。当MATLAB不能找到逆导数时，它将返回未经计算的命令。,例1419,链接,Example2_01,。,14.3 符号表达式画图,在许多的场合，将表达式可视化是有利的。MATLAB提供了函数ezplot来完成该任务。,例1420,链接,Example3。,10,14.4 符号表达式简化及格式化,有时MATLAB返回的符号表达式难以理解，有许多工具可以使表达式变得更易读懂。,Pretty：以类似于数学课本上的形式来显示符号表达式。,Collect： 合并所有相似项,Factor： 表示成多项式乘积,Expand： 多项式展开,例1421,链接,Example 4。,simplify： 利用各种类型代数恒等式，包括求和、积分和分数幂、三角、指数和log函数、Bessel函数、超几何函数和g函数，来简化表达式。,例1422,链接,Example 4_01。,simple函数： 最有用的、但也是最不正统的，试用了几种不同的简化工具，然后选择在结果表达式中含有最少字符的那种形式。,例1423,链接,见Example 4_01。,11,14.5 可变精度算术运算,因为数值的精度受每次操作所保留的数值的限制，所以数值的任何运算都会引入舍入误差，重复的多次数值运算会造成累积误差。而对符号表达式的运算是非常准确的，因为不需要进行数值运算，所以无舍入误差。对符号运算结果用函数eval或numeric，仅在结果转换时会引入舍入误差。,maple缺省为18位的精度。Maple缺省准确度可以由digits(n)来改变，其中n是所期望的准确度数值。另外有一个函数vpa，可以用任何精度实行单个计算。它以缺省的精度或任何指定的精度对单个符号表达式进行计算，并以同样的精度来显示结果。,例1424,链接,Example5。,将函数vpa作用于符号矩阵，对它的每一个元素进行计算。,例1425,链接,见Example5。,12,14.6 方程求解,用MATLAB所具有的符号工具可以求解符号方程。,求解单个代数方程,如果表达式不是一个方程式(不合等号)，则在求解之前solve将表达式置成等于0。,例1426,链接,见Example6。,注意：在求解周期函数方程时，有无穷多的解。在这种情况下，solve对解的搜索范围限制在接近于零的有限范围，并返回非唯一的解的子集。,代数方程组求解,例1427,链接,见Example6。,13,单个微分方程,dsolve：计算常微分方程的符号解。用字母D来表示求微分。,D2，D3等等表示重复求微分，并以此来设定方程。任何D后所跟的字母为因变量。,方程d2y/dx20用符号表达式D2y0来表示。,例如，一阶方程dy/dx1+y2的通解为，,例1428,链接,见Example6。,二阶微分方程的例子，该方程有两个初始条件：,微分方程含有一阶以上的项：,例1429,链接,见Example6。,14,函数dsolve也可同时处理若干个微分方程式，下面有两个线性一阶方程，,例1430,链接,见Example6。,14.7 线性代数和矩阵,符号矩阵,例1431,链接,见Example7。,代数运算,用函数symadd，symsub，symmul和symdiv，对符号矩阵可以执行许多通用的代数运算用sympow可计算乘幂，用transpose计算符号矩阵的转置。,7.0版本已和数值矩阵代数运算统一。,微分方程组,15,例1432,链接,见Example7。,线性代数运算,用函数inv和determ，可计算符号矩阵的逆阵以及行列式。,例1433,链接,见Example7_01。,linsolve(A，B)对X方阵求解矩阵方程A*XB,例1434,链接,见Example7_02。,其他特性,symop将其参量串接起来，井计算所得到的表达式。,见Example 1_07和Example8。,链接,16,poly：求矩阵的特征多项式。,例1435,链接,见Example8。,Eig：求特征值和特征向量。,例1436,链接,见Example8。,Jordan： 矩阵的约当标准型。,例1437,链接,见Example8。,Singvals： 求解矩阵奇异值。,例1438,链接,见Example8。,17,