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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,材料力学,第十一章 能量法,1,111 概 述,1.,能量法,：,利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。,2.能量法的应用范围：,（1）线弹性体；非线性弹性体,（2）静定问题；超静定问题,（3）是有限单元法的重要基础,2,112,应变能,余能,1.应变能,(1) 线弹性体的各基本变形形式下的应变能表达式(,参见上册,),拉(压)杆,圆轴扭转,梁弯曲,3,(2) 非线性弹性体的应变能表达式,对图,(,a,),的拉杆,F,在d,上所作微功为,d,W = F,d,F,作的总功为,：,（,F-,曲线与横坐标轴间的面积）,A,F,l,(,a,),F,F,1,F,d,D,O,1,(,b,),4,由能量守恒得应变能：,(,此为由外力功计算应变能的表达式,）,类似，可得其余变形下的应变能：,5,若取各边长为单位长的单元体，则作用于上、下表面上的力为:,F,=,11 =,其伸长量为：,1,则作用于此单元体上的外力功为：,注意到此单元体的体积为单位值，从而此时的应变能(数值上等于上式中的,W,) 为应变能密度:,(,-,曲线与横坐标轴间的面积,）,s,O,d,e,1,1,(c),6,若取边长分别为,d,x、,d,y、,d,z,的单元体，则此单元体的应变能为：,整个拉杆的应变能为：,(,此为由应变能密度计算应变能的表达式,),7,说明：线弹性体的,v,、,V,可作为非线性体的,v,、,V,的特例。由于线弹性的,F,与,或,与,成正比，则,F,曲线或, ,曲线与横坐标轴围成一个三角形，其面积等于应变能,V,和应变能密度,v,。,同理，可得纯剪时的,应变能密度,v,为：,8,例11-1 弯曲刚度为,EI,的简支梁受均布荷载,q,作用，如图所示。试求梁内的应变能 。,解：梁的挠曲线方程为：,荷载所作外力功为：,将前一式代入后一式得：,w,x,l,y,A,B,q,x,9,例11-2 原为水平位置的杆系如图,a,所示，试计算在荷载,F,1,作用的应变能。两杆的长度均为,l,，横截面面积均为,A,，,其材料相同，弹性模量为,E,，且均为线弹性的。,解：设两杆的轴力为,F,N,，,则两杆的伸长量均为：,两杆伸长后的长度均为：,F,1,1,1,l,l,(a),10,由图,a,的几何关系可知：,F,1,1,1,l,l,(a),11,代入前一式得：,或：,（,几何非线性弹性问题,）,其,F,-,间的非线性关系曲线为：,应变能为：,F,F=,(,),EA,3,O,/l,12,2. 余能,设图,a,为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的,F,-,曲线如图,b,。,“余功,W,c,”定义为：,与余功相应的能称为余能,V,c，,余功,W,c,与余能,Vc,在数值上相等。,F,(a),F,O,dF,1,F,1,(b),13,（,代表,F,-,曲线,与纵坐标轴间的面积,）,即：,F,O,dF,1,F,1,(b),14,另外，也可由余能密度,v,c,计算余能,V,c,：,其中，余能密度,v,c,为：,（,代表图,c,中,-,与纵坐标轴间的面积,）,O,d,1,(,c,),15,对线弹性材料，余能和应变能仅在数值上相等，其概念和计算方法却截然不同。,注意：,对非线性材料，则,余能,V,c,与应变能,V,在数值上不一定相等。,余功、余能、余能密度都没有具体的物理概念，仅是具有功和能的量纲而已。,16,例11-3 试计算图,a,所示结构在荷载,F,1,作用下的余能,V,c,。结构中两杆的长度均为,l,，横截面面积均为,A,。材料在单轴拉伸时的应力一应变曲线如图,b,所示。,解：,两杆轴力均为：,两杆横截面上的应力为：,O,1,1,(b),F,1,C,B,D,(a),17,所以,余能为,余能密度为：,由已知,18,113 卡氏定理,1.卡氏第一定理,设图中材料为非线性弹性，,由于应变能只与最后荷载有关，而与加载顺序无关。不妨按比例方式加载，从而有,假设与第,i,个荷载相应的位移有一微小增量d,i,则,应变能的变化为：,1,2,3,n,1,2,3,n,B,19,因仅与第,i,个荷载相应的位移有一微小增量,而与其余各,荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微小增量d,i,，仅,F,i,作了外力功，外力功的变化为：,注意到上式与下式在数值上相等,从而有：,（,卡氏第一定理,）,注意：,卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体。,式中,F,i,及,i,分别为广义力、广义位移。,必须将,V,写成给定位移的函数，才可求其变化率。,20,例11-4 由两根横截面面积均为,A,的等直杆组成的平面桁架，在结点,B,处承受集中力,F,，如图,a,所示。两杆的材料相同，其弹性模量为,E,，且均处于线弹性范围内。试按卡氏第一定理，求结点,B,的水平和铅垂位移。,解：,设结点,B,的水平和铅垂位移分别为,1,和,2,，,先假设结点,B,只发生水平位移,1,（图,b,）,则：,A,B,(b),C,B,1,A,B,F,45,O,(a),C,l,21,同理，结点,B,只发生铅垂位移,2,（图,c,）,则：,当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）,A,B,(c),C,B,2,22,应用卡氏第一定理得,解得：,桁架的应变能为,23,2.卡氏第二定理,设有非线性弹性的梁，,梁内的余能为：,假设第,i,个荷载,F,i,有一微小增量d,F,i,，而其余,荷载均保持不变，因此，由于,F,i,改变了,d,F,i,，,外力总余功的相应改变量为：,余能的相应改变量为：,1,2,3,n,1,2,3,n,B,24,由于外力余功在数值上等于余能，得,解得：,（称为“,余能定理,”）,特别： 对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能,V,在数值上等于余能,V,c,， 此时上式变为：,（称为“,卡氏第二,定理,”）,式中的,F,i,和,i,分别为广义力和广义位移。,25,注意：,卡氏第一定理和,余能定理,既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理 作为,余能定理的特例，仅,适合于线弹性体。,所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。,当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该“虚加”外力为,0。,实际计算时，常采用以下更实用的形式：,26,例11-5 求悬臂梁,B,点的挠度。,EI,为常数。,27,例11-6 图示桁架结构。已知：,F=35kN,d,1,=12mm,d,2,=15mm,E,=210Gpa,。求,A,点垂直位移。,28,例11-7,弯曲刚度为,EI,的悬臂梁受三角形分布荷载如图所示。梁的材料为线弹性体，且不计切应变对挠度的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。,解：,在自由端“虚加”外力,F,任意,x,截面处的弯矩为：,q,q,x,l,y,A,B,x,0,0,l,x,F,29,例11-8 弯曲刚度均为,EI,的静定组合梁,ABC,，在,AB,段上受均布荷载,q,作用，如图,a,所示。梁材料为线弹性体，不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理求梁中间铰,B,两侧截面的相对转角。,解：,在中间铰,B,两侧虚设一对外力偶,M,B,（图,b,),各支反力如图,b。,AB,段弯矩方程：,q,A,C,B,l,l,M,B,M,B,A,C,B,q,x,x,30,由卡氏第二定理得：,结果符号为正，说明相对转角,B,的转向与图,b,中虚加外力偶,M,B,的转向一致。,BC,段弯矩方程,31,例11-9 求图示刚架B截面,Bx, ,By,。,解：（,1,）求,Bx,：,32,（,2,）求,By,：,33,例11-10 图示弯曲刚度为,EI,的等截面开口圆环受一对集中力,F,作用。环的材料为线弹性的，不计圆环内剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求圆环的张开位移,和相对转角,。,。,解：,1、张开位移,F,R,F,j,j,R,(1-cos ),34,所以,F,R,F,j,j,R,(1-cos ),35,2、相对转角：,F,R,F,j,j,R,(1-cos ),M,f,M,f,36,F,M,N,A,A,F,B,j,T,例11-11,图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，,在,A,点受铅垂力,F,的作 用，,求,A,点的垂直位移。,解：,求内力,A,F,R,F,N,37,变形：,38,作业：3-6(a), 3-7(c), 3-8(b),39,作业：3-1(b), 3-1(d), 3-3(b),40,
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