迭代法的建立与收敛性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一. 迭代法的建立与收敛性,所以,为,f,的根的充要条件是,为,的不动点。,2.2 迭代法,1,前者收敛,：,1.5; 1.35721; 1.33086; 1.32588; 1.32494;,1.32476; 1.32473; 1.32472; 1.32472;,后者发散:,1.5; 2.375; 12.39; ,问题：何时收敛？,2,x,y,y = x,x,y,y = x,x,y,y = x,x,y,y = x,y=,(,x,),y=,(,x,),y=,(,x,),y=,(,x,),x,0,p,0,x,1,p,1,x,0,p,0,x,1,p,1,x,0,p,0,x,1,p,1,x,0,p,0,x,1,p,1,3,2.收敛定理,定理2.2.1,4,5,(2),即,x,n,收敛。,(,2.2.1,),6,(3),(4),7,注,1,：,L越小，收敛越快。,由定理结论(3)或(2.2.2)，只要前后两次迭代值的差值足,够小，就可使近似值 达到任意的精度。在实际计算,中，一般用 来控制迭代过程结束,。,注,2,：,定理条件非必要条件，可将,a,b,缩小，定义,局部收敛性,：,定义2.2.1,若存在,的某,邻域,B,= ,x,|,|,x ,|, , 使,由,x,0,B,开始的迭代都收敛, 则称迭代法具有,局部收敛性,。,定理2.2.2,设,(,x,)在,的某,邻域内具有连续的一阶导数，,且 |,() | 1，,则迭代法,x,n+1,=,(,x,n,),具有局部收敛性,。,证明 省略,。,8,3编程停机判断,时，由（2.2.2）式知,比较小，此时停机，,（取定初值,x,0,）计算，当,由,9,二.迭代法的收敛阶(收敛速度),则称,x,n,p,阶收敛,相应的迭代法称为,p,阶方法. 特别,p,=1时叫线性收敛,此时要求0,C,0,使,定义2.2.2,: 设,10,定理2.2.3,设,(,x,)在,的某邻域 内有充分多阶连续导数，则迭代法,x,n,+1,=,(,x,n,),为,p,阶收敛,的充要条件是,() =,() =,=,(,p,-1),() =0，,(,p,),() 0,.,证明,利用Taylor展开式（略）,11,