2-6 矩阵的秩

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Henan Agricultural University,复 习,一、矩阵的初等变换,二、初等矩阵,四、求逆矩阵的初等变换方法,三、初等变换与初等矩阵的关系,1,第六节 矩阵的秩,四、等价矩阵,三、矩阵秩的一些重要结论,二、初等变换求矩阵的秩,一,、,矩阵秩的概念,2,1 1,2 1 4,2,1,1 1 2,2,3,1,1 2,3,6,9 7 9,A,k,阶子式,在,m,n,矩阵,A,中,任取,k,行与,k,列,(,k,m,k,n,),位于这些行列交叉处的,k,2,个元素,不改变它们在,A,中所处的位置次序而得的,k,阶行列式,称为矩阵,A,的,k,阶子式,例如,是,A,的一个二阶子式,1,1,2,1,4,2,1,1 1 2,2,3,1,1,2,3,6,9 7 9,A,一、矩阵秩的概念,3,说明,矩阵的秩,设在矩阵,A,中有一个不等于,0,的,r,阶子式,D,且所有,r,1,阶子式,(,如果存在的话,),全等于,0,那么,D,称为矩阵,A,的最高阶非零子式,数,r,称为矩阵,A,的秩,记作,R,(,A,),并规定零矩阵的秩等于,0,矩阵,A,的秩,R,(,A,)就是,A,中不等于0的子式的最高阶数,(1)若矩阵,A,中有某个,s,阶子式不为0,则,R,(,A,),s,若,A,中所有,t,阶子式全为0,则,R,(,A,),t,(2)若,A,为,m,n,矩阵,则0,R,(,A,),min,m,n,(3),R,(,A,T,),R,(,A,),几个简单结论,4,例1,求矩阵,A,和,B,的秩,其中,在,A,中,容易看出一个2阶子式,A,的3阶子式只有一个|,A,|,经计算可知|,A,|,0,因此,R,(,A,),2,解,而3阶子式,是一个上三角行列式,它显然不等于0,因此,R,(,B,),3,矩阵,B,所有4阶子式全为零,5,矩阵的秩,设在矩阵,A,中有一个不等于,0,的,r,阶子式,D,且所有,r,1,阶子式,(,如果存在的话,),全等于,0,那么,D,称为矩阵,A,的最高阶非零子式,数,r,称为矩阵,A,的秩,记作,R,(,A,),并规定零矩阵的秩等于,0,(1)若矩阵,A,中有某个,s,阶子式不为0,则,R,(,A,),s,若,A,中所有,t,阶子式全为0,则,R,(,A,),t,(2)若,A,为,m,n,矩阵,则0,R,(,A,),min,m,n,(3),R,(,A,T,),R,(,A,),几个简单结论,(4)对于,n,阶矩阵,A,当|,A,|,0时,R,(,A,),n,当|,A,|,0时,R,(,A,),n,可逆矩阵又称为,满秩矩阵,不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为,降秩矩阵,6,定理,1,初等变换不改变矩阵的秩,(,证明见课本）,定理1提供了求秩的思路: 为求矩阵的秩,只要通过,初等变换, 把矩阵,A,转化为容易求秩的另一矩阵,B,.,二、初等变换求矩阵的秩,定义,3,满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵：,（,1,）若有零行，零行都在非零行的下方,(,元素全为零的行称为零行，否则称为非零行,),；（,2,）从第一行起，下面每一行自左向右第一个非零元素前面零的个数逐行增加,.,7,定理2,重要结论,行阶梯形矩阵,简化行阶梯形矩阵,8,标准型,例如,显然 （1）等秩的同型矩阵有相同的标准型；,（2）可逆方阵的标准型是单位矩阵。,显然，,若仅求矩阵A的秩，只需将其化为行阶梯型矩阵B即可。,行阶梯形矩阵的非零行的个数，即为矩阵A的秩。,9,因为,解,例2,求矩阵,A,的秩,并求,A,的一个最高阶非零子式,其中,所以,R,(,A,),3,为求,A,的最高阶非零子式,考虑由,A,的 1、2、4 列构成的矩阵,因为,A,0,的子式,所以这个子式是,A,的最高阶非零子式,10,注,以,B,为增广矩阵的线性方程组,A,x,b,是无解的,这是因为行阶梯形矩阵的第3行表示矛盾方程0,1,例3,求矩阵,A,及,B,(,A,b,)的秩,其中,对,B,作初等行变换变为行阶梯形矩阵,设,B,的行阶梯形矩阵为,B,0,(,A,0,b,0,),则,A,0,就是,A,的行阶梯形矩阵,故从,B,0,(,A,0,b,0,)中可同时看出,R,(,A,)及,R,(,B,),解,因为,所以,R,(,A,),2,R,(,B,),3,11,例4,设,已知,R,(,A,),2,求,与,的值,解,因,R,(,A,),2,故,12,例5,设,P,Q,分别为,m,阶、,n,阶可逆矩阵，则对于,m,n,矩阵A,必有,r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A),13,三、矩阵秩的一些重要结论,例6,设,A,为,n,阶矩阵,证明,R,(,A,E,),R,(,A,E,),n,证明,因为(,A,E,),(,E,A,),2,E,由,R,(,A,B,),R,(,A,),R,(,B,),R,(,A,B,),R,(,A,),R,(,B,),R,(,A,E,),R,(,E,A,),R,(2,E,),n,而,R,(,E,A,),R,(,A,E,),所以,R,(,A,E,),R,(,A,E,),n,14,1.定义,如果矩阵,A,经有限次初等变换变成矩阵,B,就称矩阵,A,与,B,等价,记作,A,B,2. 等价关系的性质,(i)反身性,A,A,(ii)对称性 若,A,B,则,B,A,(iii)传递性 若,A,B,B,C,则,A,C,定理2,m,n,矩阵,A,与,B,等价的充分必要条件是存在,m,阶可逆矩阵,P,及,n,阶可逆矩阵,Q,使,PAQ,B,推论1,方阵,A,可逆的充分必要条件是,A,E,四、等价矩阵,15,小结 矩阵的秩,四、等价矩阵,三、矩阵秩的一些重要结论,二、初等变换求矩阵的秩,（简化的行阶梯，标准型）,一,、,矩阵秩的概念,（子式定义，行阶梯定义）,16,第二章总结,1. 矩阵的运算,2. 矩阵的初等变换,3. 矩阵的秩,其他：,线性方程组的矩阵表示（包括分块形式）；,求逆方阵（伴随矩阵法，初等变换法）,线性方程组的逆方阵解法,求矩阵的秩,等价矩阵,17,