第四节无穷小量的比较

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章函数极限连续,第四节无穷小量的比较,定义,设,(,x,),和,b,(,x,),为,(,x,x,0,或,x,),两个无穷小量,.,若它们的比有非零极限,，,若,c,= 1，,则称,(,x,),和,b,(,x,),为等价无穷小量,，,则称,(,x,),和,b,(,x,),为同阶无穷小,.,并记为,(,x,),b,(,x,),，,(,x,x,0,或,x,),.,即,1,例如，在,x, 0,时 sin,x,和 5,x,都是无穷小量，,且,所以当,x, 0,时，sin,x,和 5,x,是同阶无穷小量.,又如，因为在,x, 0,时，,x,，sin,x,，tan,x,， 1,-,cos,x,，ln(1,+,x,),等都是无穷小量.,2,所以，当,x, 0,时，,x,与 sin,x,，,x,与 tan,x,，,都是等价无穷小量，,x,sin,x,，,x,tan,x,，,ln(1 +,x,),x,.,即,x,与 ln(1 +,x,),并且,3,定义,设,(,x,),和,b,(,x,) 为,x,x,0,(,或,x,),时的无穷小量,，,则称当,x,x,0,(,或,x,),时,，,(,x,),是,b,(,x,),的,高阶无穷小量,，,例如，,x,2, sin,x,都是,x,0,时的无穷小量, 且,所以，当,x,0,时，,x,2,是 sin,x,的高阶无穷小量，即,x,2,=,o,(sin,x,).,或称,b,(,x,),是,(,x,),的,低阶无穷小量,，,记为,(,x,) =,o,(,b,(,x,),.,若它们的比的极限为零,，,即,4,定理,1,设,(,x,) ,1,(,x,)，,b,(,x,) ,b,1,(,x,)，,且,存在,(,或无穷大量,)，,则,也存在或,(,无穷大量,)，,并且,5,证,由定理条件可知,因此有,即可仿上面的证法 .,6,例,1,解,因为,x,0,时，,ln (1 +,x,) ,x,，,e,x,-,1 ,x,，,所以,7,例,2,解,因为,x,0,时，,tan 5,x, 5,x,，,所以,8,例,4,解,9,若直接用,x,代替 tan,x,及 sin,x,，,因为，虽然 tan,x,x,，sin,x,x,，但 tan,x,-,sin,x, 0 则不成立，因此，这里用 0 代替 tan,x,sin,x,是错误的.,是错误的.,则,10,