MATLAB的符号运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三讲 MATLAB的符号运算, matlab,不仅具有数值运算功能，还开发了在matlab环境下实现符号计算的工具包Symbolic,Math Toolbox,1,符号运算的功能,符号表达式、符号矩阵的创建,符号线性代数,因式分解、展开和简化,符号代数方程求解,符号微积分,符号微分方程,2,一、符号运算的基本操作,什么是符号运算,与数值运算的区别,数值运算中必须先对变量赋值,，然后才能参与运算。,符号运算无须事先对独立变量赋值,，运算结果以标准的符号形式表达。,3,特点：, 运算对象可以是没赋值的符号变量, 可以获得任意精度的解,Symbolic Math Toolbox符号运算工具包通过调用Maple软件实现符号计算的。,maple软件主要功能是符号运算，,它占据符号软件的主导地位。,4,2. 符号变量与符号表达式,f =,sin(x)+5x,f, 符号变量名,sin(x)+5x, 符号表达式, 符号标识,符号表达式一定要用 单引 号括起来matlab才能识别。,5, 的内容可以是符号表达式，也可以是符号方程。,例：,f1=,a,x2+bx+c 二次三项式,f2= ,a,x2+bx+c=0 方程,f3=Dy+y2=1 微分方程,符号表达式或符号方程可以赋给符号变量，以后调用方便；也可以不赋给符号变量直接参与运算,6,3.符号矩阵的创建,数值矩阵A=1,2;3,4,A=a,b;c,d, 不识别,用matlab函数sym创建矩阵（symbolic,的缩写),命令格式：A=sym( ), 符号矩阵内容同数值矩阵, 需用sym指令定义, 需用 标识,7,例如：,A = sym(a , 2*b ; 3*a , 0),A =, a, 2*b,3*a, 0,这就完成了一个符号矩阵的创建。,注意：符号矩阵的每一行的两端都有方,括号，这是与 matlab数值矩阵的,一个重要区别。,8,用字符串直接创建矩阵,模仿,matlab,数值矩阵的创建方法,需保证同一列中各元素字符串有相,同的长度。,例：A =,a,2*b; 3*a,0,A =, a, 2*b,3*a, 0,9,符号矩阵的修改,a.直接修改,可用,、 键找到所要修改的矩阵，直接修改,b.指令修改,用A1=sym(A,new) 来修改。,用A1=subs(A, new, old)来修改,A1=subs(S, old ,new),10,例如：,A = a, 2*b,3*a, 0,A1=sym(A,2,2,4*b,),A1 = a, 2*b,3*a,4*b,A(2,2)=4*b,A3 = a, 2*b,3*a,4*b,A2=subs(A1, ,c, b),A2 = a, 2*,c,3*a, 4*,c,11,将,数值矩阵转化为符号矩阵,函数调用格式：,sym(A),A=1/3,2.5;1/0.7,2/5,A =,0.3333 2.5000,1.4286 0.4000,sym(A),ans =, 1/3, 5/2,10/7, 2/5, 符号矩阵与数值矩阵的转换,12,将,符号矩阵转化为数值矩阵,函数调用格式：,numeric(A),A =, 1/3, 5/2,10/7, 2/5,numeric(A),ans =,0.3333 2.5000,1.4286 0.4000,13,符号矩阵运算,数值运算中，所有矩阵运算操作指,令都比较直观、简单。例如：,a=b+c;,a=a*b ；A=2*a2+3*a-5,等。,而符号运算就不同了，所有涉及符,号运算的操作都有专用函数来进行,二、符号运算,14,符号矩阵运算的函数：,symadd(a,d) 符号矩阵的加,symsub(a,b) 符号矩阵的减,symmul(a,b) 符号矩阵的乘,symdiv(a,b) 符号矩阵的除,sympow(a,b) 符号矩阵的幂运算,symop(a,b) 符号矩阵的综合运算,15,例1：,f=,2*x2+3*x-5,; g=,x2+x-7,;,h= symadd(f,g),h=,3*x2+4*x-12,例2：,f=cos(x);g=,sin(2*x),;,symop(f,/,g,+,f,*,g),ans =,cos(x)/sin(2*x)+cos(x)*sin(2*x),16,例1：,f= 2*x2+3*x-5; g= x2+x-7;,syms x,f=2*x2+3*x-5; g= x2+x-7;,h=f+g,h = 3*x2+4*x-12,例2：,f=cos(x);g= sin(2*x);,syms x, f=cos(x);g=sin(2*x);, f/g+f*g,ans =,cos(x)/sin(x)+cos(x)*sin(x),17,符号运算函数：,symsize 求符号矩阵维数,charploy 特征多项式,determ 符号矩阵行列式的值,eigensys 特征值和特征向量,inverse 逆矩阵,transpose 矩阵的转置,jordan ,约当标准型,simple 符号矩阵简化,18,2. 任意精度的数学运算,在symbolic中有三种不同的算术运算：,数值类型,matlab,的浮点算术运算,有理数类型,maple,的,精确符号运算,vpa,类型,maple,的任意精度算术,运算,19,浮点算术运算,1/2+1/3 (定义输出格式format long),ans =,0.83333333333333,符号运算,sym(1/2)+(1/3),ans =,5/6 精确解,20,任意精度算术运算,digits(n) 设置可变精度，缺省16位,vpa(x,n) 显示可变精度计算,digits(25),vpa(1/2+1/3),ans =,.8333333333333333333333333,21,vpa(5/6,40),ans =,.8333333333333333333333333333333333333333,a=sym(1/4,exp(1);log(3),3/7),a =, 1/4,exp(1),log(3), 3/7,vpa(a,10),ans =,.2500000000, 2.718281828,1.098612289, .4285714286,22,diff(f) 对缺省变量求微分,diff(f,v) 对指定变量v求微分,diff(f,v,n) 对指定变量v求n阶微分,int(f) 对f表达式的缺省变量求积分,int(f,v) 对f表达式的v变量求积分,int(f,v,a,b) 对f表达式的v变量在（a,b),区间求定积分,3. 符号微积分与积分变换,23,int（被积表达式，积分变量，,积分上限,， ,积分下限,）, 定积分,缺省时为不定积分,m,taylor(f,n) 泰勒级数展开,ztrans(f) Z变换,Invztrans(f) 反Z变换,Laplace(f) 拉氏变换,Invlaplace(f) 反拉氏变换,fourier(f) 付氏变换,Invfourier(f) 反付氏变换,24,例1.计算二重不定积分,F=int(int(x*exp(-x*y),x),y),F=,1/y*exp(-x*y),例2.计算 f=x*exp(-x*10)的Z变换,F=ztrans(f),F=,z*exp(-10)/(z-exp(-10)2,25,syms x y,F=int(int(x*exp(-x*y),x),y),F =,1/y*exp(-x*y),syms x,f=x*exp(-x*10);,F=ztrans(f),F=ztrans(x*exp(-x*10);,F =,z*exp(-10)/(z-exp(-10)2,26,例3. 计算指数函数,e,At,。,用拉氏反变换法计算,e,At,的公式为：,e,At,= L,-1,(SI-A),-1,系统矩阵A=,e,At,=,结果：,27,a=0 1;-2 -3;,syms s,b=(s*eye(2)-a),b =, s, -1, 2, s+3,B=inv(b), (s+3)/(s2+3*s+2), 1/(s2+3*s+2), -2/(s2+3*s+2), s/(s2+3*s+2),28,b11=ilaplace(sym(b,1,1);b(1,1)=b11;, b12=ilaplace(sym(b,1,2);b(1,2)=b12;, b21=ilaplace(sym(b,2,1);b(2,1)=b21;, b22=ilaplace(sym(b,2,2);b(2,2)=b22;, b,b =, -exp(-2*t)+2*exp(-t), exp(-t)-exp(-2*t), -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t),29,4.符号代数方程求解,matlab符号运算能够解一般的线性方程、非线性方程及一般的,代数方程、代数方程组,。当方程组不存在符号解时，又无其他自由参数，则给出数值解。,命令格式：,solve(f) 求一个方程的解,Solve(f1,f2, f,n,) 求n个方程的解,30,例1. f = ax,2,+bx+c 求解,f=a*x2+b*x+c;,solve(f) 对缺省变量x求解,ans =,1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2),1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2),计算机,格式,一般格式,31,例2. 符号方程cos(x)=sin(x),tan(2*x)=sin(x)求解,f1=solve(cos(x)=sin(x),f1 =,1/4*pi,solve(f , b ) ,对指定变量,b,求解,ans =,-(a*x2+c)/x,32,f3=,matlab4.2的解, 0, pi, atan(1/2*(-2*3(1/2)(1/2),1/2+1/2*3(1/2), atan(-1/2*(-2*3(1/2)(1/2),1/2+1/2*3(1/2), atan(1/2*2(1/2)*3(1/4)/(1/2-1/2*3(1/2)+pi, -atan(1/2*2(1/2)*3(1/4)/(1/2-1/2*3(1/2)-pi,f2=solve(tan(2*x)=sin(x),f2 =,matlab4.2的解, 0,acos(1/2+1/2*3(1/2),acos(1/2 -1/2*3(1/2),33,numeric(f3),ans =,0,3.1416,0 + 0.8314i,0 - 0.8314i,1.9455,-1.9455,numeric(f2),ans =,0,0 + 0.8314i,1.9455,matlab4.2与6.1的对比,34,例3. 解方程组 x+y+z=1,x-y+z=2,2x-y-z=1,g1=x+y+z=1,g2=x-y+z=2,g3=2*x-y-z=1,f=solve(g1,g2,g3),f=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1),f =,z = 5/6, y = -1/2, x = 2/3,35,f=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1),f =,x: 1x1 symf.x,ans =2/3,y: 1x1 symf.y,ans =-1/2,z: 1x1 symf.z,ans =5/6,x,y,z=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1),x = 2/3,y =-1/2,z =5/6,36,5. 符号微分方程求解, 用一个函数可以方便地得到微,分方程的符号解,符号微分方程求解指令：dsolve,命令格式：,dsolve(f,g),f ,微分方程，可多至12个微分方程的求,解；g为初始条件,默认自变量为 x,可任意指定自变量t, u等,微分方程的各阶导数项以大写字母D表示,37,或,或,或,y的一阶导数,Dy,y的二阶导数,D2y,y的 n 阶导数,Dny,y1,y2=dsolve(x1,x2,xn) 返回 微分方程的解,38,一阶微分方程,dsolve(Dx=y,Dy=x,x(0)=0,y(0)=1),ans =,x(t) = sin(t), y(t) = cos(t),二阶微分方程,dsolve(D2y=-a2*y,y(0)=1,Dy(pi/a)=0),ans =,cos(a*x),39,例3.,y=dsolve(D2y+2*Dy+2*y=0,y(0)=1,Dy(0)=0),ans =,exp(-x)*cos(x)+exp(-x)*sin(x),ezplot(y) 方程解y(t)的时间曲线图,求该方程的解,40,41,42,三、maple函数符号运算的扩展,maple是专门进行数学运算的软件工具，,具有超强的符号运算能力，,提供了,几乎包括所有数学领域的专用函数,matlab,依赖于maple的内核与函数库，扩,展了自己的符号运算功能。,matlab还设计了对maple库函数的调用功能,使得已有的maple数学功能，可以扩充matlab,中,作为自身符号运算能力的扩展。,43,1. maple内核访问函数,可以访问maple内核的matlab函数:,maple 访问maple内核函数,mapleinit maple函数初始化,mpa maple函数定义,mhelp maple函数帮助命令,procread maple函数程序安装,44,. maple 的调用格式,maple(表达式）, 将表达式送至maple内核，,返回符号表达式结果。,maple （函数，变量1，变量2）,调用maple函数，传递给定,变量,。,45,例1. 展开5阶 bernoulli 多项式，计算 x=3 时bernoulli 数。,a=maple(bernoulli(5,x),a =,-1/6*x+5/3*x3+x5-5/2*x4,a=maple(bernoulli(5,3),a =,85,46,例2. 化简三角函数式sin,2,x+cos,2,x,a=maple(simplify(sin(x)2+cos(x)2);),a =,1,例4. 求f(t)=e,-3t,sint的拉式变换,f=maple(laplace(exp(-3*t)*sin(t),t,s);),f =,1/(s+3)2+1),47,例4. 寻找二次多项式的完全平方,f (x) = x,2,+2x+2,a=maple(,completesquare(x2+2*x+2),),a =,completesquare(x2+2*x+2),将工具包装入内存,maple(with(student);),a=maple(completesquare(x2+2*x+2),a =,(x+1)2+1,48,maple软件中的所有函数，在初始化时并没有完全装入内存，可用,readlib,指令把库函数读入内存，或用,with,指令将应用工具包装入内存。,调用格式,maple(readlib(函数名);),maple(with(工具包名);),49,例5.求sin(x,2,+y,2,)在x=0,y=0处泰勒级数展开式，8阶截断。,maple(mtaylor(sin(x2+y2),x=0,y=0,8),ans =,mtaylor(sin(x2+y2),x = 0, y = 0,8),maple(readlib(mtaylor);),maple(mtaylor(sin(x2+y2),x=0,y=0,8),ans =,x2+y2-1/6*x6-1/2*y2*x4-1/2*y4*x2-1/6*y6,50,2. mpa maple变量定义,任何一个matlab定义的函数f，可使用mpa语句直接调用，还可把 f 定义成maple变量v。,maple的工作空间与matlab工作空间是相互独立的， 所以f 与v是属于不同工作空间中的变量,mpa的调用格式：,mpa(v,f),mpa v f,f为matlab工作空间中已存在的变量,51,例. 电磁力计算公式为,试I=0.5，x=0.1邻域展开泰勒级数，3阶截,断，令常数,，,1.直接调用,maple(readlib(mtaylor);),maple(mtaylor(k*I2/x2,I=0.5,x=0.1,3);),52,2.定义符号函数f,(matlab6.1无map函数),f=k*I2/x2;,maple(mtaylor(f,I=0.5,x=0.1,3);),ans =,mtaylor(f,I = .5, x = .1,3),mpa(u,f),maple(mtaylor(u,I=0.5,x=0.1,3);),ans =,25.*k-.50e3*k*(x-.1)+.10e3*k*(I-.5)+7500.0*k*(x-.1)2+.1e3*k*(I-.5)2-.20e4*k*(I-.5)*(x-.1),53,注意：,matlab符号运算时，可以识,别matlab定义的符号变量，但在调,用 maple 函数时，需将matlab变量,定义为maple变量后，所调用的函,数方可识别和执行,54,3.mhelp maple函数帮助命令, mhelp 是协助检索maple库函数的专用命令,调用格式：mhelp 相关词条,例如：,mhelp intro maple介绍,mhelp maple maple命令格式,mhelp tutorial maple入门,mhelp index maple检索,工具词条,函数词条,55,mhelp index 用于工具包检索,library maple标准库函数,packages 应用工具包,libmisc 其它库函数,statements maple语句描述,expressions maple表达式,datatypes maple数据格式,tables maple表格和阵列,procedures maple程序,misc maple其它应用,56,一般帮助文本主要包括以下部分,FUNCTION 函数功能说明,CALLING SEQUENCE 调用格式,PARAMETERS 调用参数说明,SYNOPSIS 语法说明,EXAMPLES 应用举例,SEE ALSO 相关词条,57,4.maple库函数,maple库函数共分四类,maple内部函数：驻留函数任何条件,下都可调用,mhelp indexinternal, maple的外部函数读库定义部分：,调用时先执行读库命令，因此与内部函,数一样可直接调用,mhelp indexexternal,58, maple的外部函数读库装入部分,maple其余外部函数需要在使用前执行maple(readlib(函数名);)命令将其装入内存,mhelp indexlibmisc, maple的惰性函数不能直接调用，还需一些函数如mod,evala,evalf 等才能调用,mhelp indexintert,59,小 结,本节介绍了matlab语言的符号运算,功能，通过学习应该掌握：,掌握如何创建、修改符号矩阵,掌握符号运算功能,maple函数调用,mhelp检索,60,