chap4随机变量的数字特征

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第四章 随机变量的数字特征,数字特征的优越性：,1. 较集中地反映了随机变量变化的一些平均特征。,2. 很多重要的随机变量(如二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等)的分布函数都能用一、两个数字特征完全确定。,3. 重要的数字特征-数学期望、方差具有明确的统计意义，同时还具有良好的数学性质。,4.,随机变量的,数字特征较易求出。,1,第一节、数学期望,例1. 有甲、乙两个射击选手，他们的射击技术由下表给出：,甲射手：,0.3 0.1 0.6,p,8 9 10,环数,乙射手：,0.2 0.5 0.3,p,8 9 10,环数,试问哪一个选手射击本领较好？,甲：80.3N+90.1N+100.6N=9.3N,乙：80.2N+90.5N+100.3N=9.1N,2,定义4.1,(教材p110),设,为离散型随机变量，其分布律为,若级数,绝对,收敛，则称 E()= 为的数,学期望(或称,期望,或,均值,)。,1.,设,B(n，p)，求E()：,E()=np,.,2. 设,()，求E()：,E()=,.,3. 设,服从参数为p的几何分布，求E()：,E()=,1/p,.,例2. 设,随机变量分布律为,求E() 。,3,定义4.2,(教材p110),设,为连续型随机变量，其分布密度为f(x)，若积分,收敛， 则称 为的数学期,望(或称,期望,或,均值,)。,4. 设,服从参数为的指数分布，求E()：,E(,)=1/ ,5. 设,服从(a，b)区间上的均匀分布，求E()：,E(,)=(a+b)/2,6. 设 ，则,E(,)=,.,7. 设,(，)，,则,E(,)=,/,。,例3. 设,的分布密度为,4,例4. 设 相互独立，且均服从参数为,的指数分布，M=max ，N=min ，,求E(M)和E(N)。,定义4.3,对,=( )，若 都存在，,则称 为n维随机变量的数学期望(或,均值向量,)。,5,定理4.1,(教材p115),设y=g(x)是连续函数，,=g()：,1) 是离散型随机变量，其分布律为,2) 是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，,6,推广,（教材p116）：,设 是连续函数，,1),是离散型随机变量，其分布律为,2) 是连续型随机变量，其概率密度为,7,例5. 设二维随机变量(,，)的概率密度为,试求的数学期望。,定理4.2,(教材p119),1. 设a，b，c为任意常数，若,特别，E( c)=c。,2. 线性性：设 为任意常数，则,3. 若,相互独立,，则,8,性质,设 为连续函数，,为相互独立的随机变量，则 也是相互独立的随机变量。,由此可得,例6. (,2003年数学一考研试题十一题,),已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：,1) 乙箱中次品数X的数学期望；,2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。,9,例7. (,2002年数学三、四考研试题十二题,),假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间(EX)为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)。,10,第二节 方差,例1.有甲、乙两个射击选手，他们的射击技术由下表给出：,击中环数,10 9 8 7 6,甲概率,0.15 0.2 0.3 0.2 0.15,乙概率,0.05 0.05 0.8 0.05 0.05,定义4.5,(教材p121),设,为随机变量，若 存在，则称其为的,方差，记为,称 为,标准差,(或,均方差,)。,11,1. 设,为离散型随机变量，其分布律为,则,2.设,为连续型随机变量，其分布密度为f(x)，则,方差实用计算公式：,公式变形：,12,几种常用分布的方差：,1. 设,B(n，p)，则,D()=np(1-p),。,2.,设,()，则,D()= ,。,3. 设,服从参数为p的几何分布，则,4. 设,服从(a，b)区间上的均匀分布，则,5. 设,服从参数为的指数分布，则,6. 设 ，则,7. 设,(，)，则,8. 对,13,定理4.4,(,切比雪夫不等式,) (教材p127),设,是随机变量，若D()存在，则对任何 0，有,切比雪夫不等式的等价形式,思考题 (,2001年数学一考研试题,),设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计,。,1. 切比雪夫不等式可用来估计不是服从正态分布的随机变量落在,E()附近的概率。,2. 切比雪夫不等式的主要作用是进行概率论的理论研究。,14,例2 (,2002年数学一考研试题十一题,),设随机变量X的概率密度为,对X独立地观察4次，用Y表示观察值大于,/3的次数，求,的数学期望。,定理4.5,(教材p124) 方差具有以下性质：,1. D(,)=0 当且仅当 P(=c)=1，c为任意常数；特别，,D(c )=0,。,2. 设 c,为任意常数，则,D(c )= D(),。,3. 设 为,任意常数，当 存在，有,15,4. 若,相互独立,，则,特别，若,与,相互独立,，则,D(,+ )=,D(,)+,D(,),.,5. 若 c,E()，则,D(,)0，构造,随机变量,则 与,服从同类分布，且,称 为,标准化随机变量,。,16,第三节、协方差和相关系数,定义4.6,(教材p129),对二维随机变量(,，)，若 E-E()-E() 存在，则称其为与的,协方差,(或,相关矩,)，记为 cov(，)，即,cov (，)= E-E()-E(),。,注,：1),cov(， )=D(),，若a为常数，则 cov(a， )=0.,2) 协方差的实用计算公式：,cov (，)= E()- E() E(),.,3) 对二维随机变量(,，)，有计算公式：,D,(+)= D,()+ D,()+2 cov (，),.,17,协方差的简单性质,(教材p129),1.对称性：,cov(，)= cov(， )。,2.线性性： cov(a，)= acov(，)，,由,对称性和,线性性进一步可得,定义4.7,(教材p131),若,cov(，)= 0，则称与,不相关,。,18,定理4.6,对二维随机变量(,，)，下列事实是等价的：,cov,(，)= 0；,与不相关；,3),E()= E() E()；,4) D (+)= D ()+ D ()。,结论1,：,与相互独立,=,与不相关；,与不相关,与相互独立 。,结论2,：设 ，则,与不相关等价于与相互独立 ，即,=0,。,19,思考题2(,2003年数学四考研试题,),设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则( ),X,与,Y,一定独立. (,B) (X，Y),服从正态分布.,(,C ) X,与,Y,未必独立. (,D) X+Y,服从一维正态分布.,思考题3(,2002年数学三考研试题填空题,),设随机变量,X,和,Y,的联合概率分布为,0.07,0.08,- 1,0.18,0.32,0,0.15,0.20,0,1,1,Y,X,概率,则 和 的协方差,20,例3(,2002年数学三考研试题十一题第二小题,),设随机变量U在区间-2，2上服从均匀分布，随机变量,试求D(X+Y)。,例4(,2001年数学四考研试题十二题,),设随机变量X和Y的联合分布在以点(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域服从均匀分布，试求随机变量U=X+Y的方差。,1,1,G,x+y=1,21,定理4.8,(,柯西许瓦兹,不等式),对任何随机变量,与，都有,1),2) 等式成立当且仅当存在 ，使P(,= ,)=1。,定理4.8推论,：对任何随机变量,与，都有,结论,：设 是,与的,标准化随机变量，则,22,定义4.8,(教材p129),设D(,)0，D(,)0，称,为,与的相关系数(,线性相关系数,)，通常简记成,r,或,。,定理4.9,对,与的相关系数r，有以下结论：,1. 与的不相关当且仅当 r=0；,2.,r=1,当且仅当存在常数,a，b，a0,使,P(=a +b)=1。,23,说明,：,当0 0.3，称,与,微弱,相关；,当0.3 0.5，称,与,低度,相关；,当0.5 0.8，称,与,中等,相关(或称,显著,相关)；,当0.8 ,r0，称,与,正相关,，当r0( 0)，且,思考题4 (,2001年数学一、三、四考研试题,),将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和 Y 的,相关系数等于( ),(A) -1. (B) 0. (C ) 1/2. (D) 1.,27,思考题5 (,2001年数学三考研试题填空题,),设随机变量X和Y的数学期望分别为-2，2，方差分别为1和4，而,相关系数为-0.5，则,根据切比雪夫不等式,P(X+Y,6) .,思考题6 (,2003年数学三考研试题填空题,),设随机变量X和Y的,相关系数为0.9，若Z=X-0.4，则Y与Z,的,相关系数为 .,思考题7 (,2003年数学四考研试题填空题,),设随机变量X和Y的,相关系数为0.5，EX=EY=0，,28,例5 (,2003年数学四考研试题十二题,),对于任意二事件A和B，0P(A)1，0P(B)1，,称做事件A与B的,相关系数。,证明,事件,A,和,事件,B,独立的充分必要条件是其,相关系数等于零；,(2) 利用,随机变量,相关系数的基本性质，证明0.,定义4.9,设 为n维随机变量，记,称 为,的协方差矩阵。,29,n维正态分布的,性质,：,服从,n,维正态分布的,充分必要,条件是：,服从一维正态分布，其中 ，,i=1，2，n,为常数。,2.设 服从n维正态分布，令,则 服从m维正态分布。,3.设( ) 服从n维正态分布，则,相互独立的,充分必要,条件是 两两不相关。,30,