高等数学上册第一章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、集合,二、映射,三、函数,1.1,映射与函数,上页,下页,结束,首页,函数,设数集,D,R,则称映射,f,D,R,为定义在,D,上的函数,通常简记为,y,f,(,x,),x,D,其中,x,称为自变量,y,称为因变量,D,称为定义域,记作,D,f,1,.,函数概念,定义,下页,构成函数的要素是定义域,D,f,及对应法则,f,如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的,函数的两要素,函数的定义域通常按以下两种情形来确定,对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定,函数的定义域,对抽象地用算式表达的函数,其定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为自然定义域,下页,此函数,的,定义域为,D,0,1,(0,),0,),分段函数,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数,下页,设函数,y,f,(,u,),的定义域为,D,1,函数,u,g,(,x,),在,D,上有定义且,g,(,D,),D,1,则由下式确定的函数,y,f,g,(,x,),x,D,称为由函数,u,g,(,x,),和函数,y,f,(,u,),构成的复合函数,它的定义域为,D,变量,u,称为中间变量,复合函数,说明,:,g,与,f,构成的复合函数,f,g,的条件是,是函数,g,在,D,上的值域,g,(,D,),必须含在,f,的定义域,D,f,内,即,g,(,D,),D,f,否则,不能构成复合函数,函数,g,与函数,f,构成的复合函数通常记为,f,g,即,(,f,g,)(,x,),f,g,(,x,),下页,基本初等函数,幂函数,y,x,(,R,是常数,),指数函数,y,a,x,(,a,0,且,a,1),对数函数,y,log,a,x,(,a,0,且,a,1,特别当,a,e,时,记为,y,ln,x,),三角函数,y,sin,x,y,cos,x,y,tan,x,y,cot,x,y,sec,x,y,csc,x,初等函数,反三角函数,y,arcsin,x,y,arccos,x,y,arctan,x,y,arccot,x,下页,幂函数,y,x,(,R,是常数,),指数函数,y,a,x,(,a,0,且,a,1),对数函数,y,log,a,x,(,a,0,且,a,1,）,三角函数,反三角函数,初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数,都是初等函数,例如,函数,5,.,初等函数,下页,1.2,数列的极限,一、数列极限的定义,二、收敛数列的性质,数列,如果按照某一法则,对每一,n,N,对应着一个确定的实数,x,n,则得到一个序列,x,1,x,2,x,3,x,n, ,这一序列叫做数列,记为,x,n,其中第,n,项,x,n,叫做数列的一般项,数列举例,2,4,8,2,n,1,1,1,(,1),n,1,下页,x,1,x,5,x,4,x,3,x,2,x,n,数列,x,n,可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点,x,1,x,2,x,3,x,n,.,数列的几何意义,数列,如果按照某一法则,对每一,n,N,对应着一个确定的实数,x,n,则得到一个序列,x,1,x,2,x,3,x,n, ,这一序列叫做数列,记为,x,n,其中第,n,项,x,n,叫做数列的一般项,下页,数列,如果按照某一法则,对每一,n,N,对应着一个确定的实数,x,n,则得到一个序列,x,1,x,2,x,3,x,n, ,这一序列叫做数列,记为,x,n,其中第,n,项,x,n,叫做数列的一般项,数列,x,n,可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点,x,1,x,2,x,3,x,n, ,数列的几何意义,下页,例如,数列极限的通俗定义,当,n,无限增大时,如果数列,x,n,的一般项,x,n,无限接近于常数,a,则常数,a,称为数列,x,n,的极限,或称数列,x,n,收敛,a,记为,下页,a,a,-e,a,+,e,(,),数列极限的几何意义,存在,N,N,当,n,N,时,点,x,n,全都落在邻域,(,a,-e,a,+,e,),内,任意给定,a,的,e,邻域,(,a,-e,a,+,e,),下页,例,1,设,|,q,|,1,等比数列,1,q,q,2,q,n,1,的极限是,0,下页,二、收敛数列的性质,定理,1(,极限的唯一性,),如果数列,x,n,收敛,那么它的极限唯一,下页,数列的有界性,如果存在着正数,M,使得对一切,x,n,都满足不等式,|,x,n,|,M,则称数列,x,n,是有界的,如果这样的正数,M,不存在,就说数列,x,n,是无界的,定理,2(,收敛数列的有界性,),如果数列,x,n,收敛,那么数列,x,n,一定有界,二、收敛数列的性质,定理,1(,极限的唯一性,),如果数列,x,n,收敛,那么它的极限唯一,下页,定理,2 (,收敛数列的有界性,),如果数列,x,n,收敛,那么数列,x,n,一定有界,二、收敛数列的性质,定理,1 (,极限的唯一性,),如果数列,x,n,收敛,那么它的极限唯一,下页,定理,3(,收敛数列的保号性,),如果数列,x,n,收敛于,a,且,a,0(,或,a,0),那么存在正整数,N,当,n,N,时,有,x,n,0(,或,x,n,0),推论,如果数列,x,n,从某项起有,x,n,0(,或,x,n,0),且数列,x,n,收敛于,a,那么,a,0(,或,a,0),定理,2(,收敛数列的有界性,),如果数列,x,n,收敛,那么数列,x,n,一定有界,二、收敛数列的性质,定理,1(,极限的唯一性,),如果数列,x,n,收敛,那么它的极限唯一,下页,子数列,定理,4(,收敛数列与其子数列间的关系,),如果数列,x,n,收敛于,a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是,a,例如,数列,x,n,1,1,1,1,(,1),n,1,的一个子数列为,x,2,n,1,1,1,(,1),2,n,1,在数列,x,n,中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序,这样得到的数列称为原数列,x,n,的子数列,下页,1.3,函数的极限,二、函数极限的性质,一、函数极限的概念,一、函数极限的定义,如果当,x,无限地接近于,x,0,时,函数,f,(,x,),的值无限地接近于常数,A,则常数,A,就叫做函数,f,(,x,),当,x,x,0,时的极限,记作,函数极限的通俗定义,1,.,自变量趋于有限值时函数的极限,下页,函数极限的几何意义,当,0,|,x,x,0,|,d,时,|,f,(,x,),A,|,0,d,0,下页,下页,下页,下页,下页,说明,单侧极限,若当,x,x,0,时,f,(,x,),无限接近于某常数,A,则常数,A,叫做函数,f,(,x,),当,x,x,0,时的左极限,记为,x,x,0,表示,x,从,x,0,的左侧,(,即小于,x,0,),趋于,x,0,x,x,0,+,表示,x,从,x,0,的右侧,(,即大于,x,0,),趋于,x,0,.,下页,类似地可定义右极限,结论,单侧极限,若当,x,x,0,时,f,(,x,),无限接近于某常数,A,则常数,A,叫做函数,f,(,x,),当,x,x,0,时的左极限,记为,下页,这是因为,下页,类似地可定义,如果当,|,x,|,无限增大时,f,(,x,),无限接近于某一常数,A,则常数,A,叫做函数,f,(,x,),当,x,时的极限,记为,2,.,自变量趋于无穷大时函数的极限,结论,下页,极限的定义的几何意义,0,X,0,当,|,x,|,X,时,有,|,f,(,x,),A,|,下页,首页,二、函数极限的性质,定理,1(,函数极限的唯一性,),定理,2(,函数极限的局部有界性,),如果,f,(,x,),A,(,x,x,0,),那么,f,(,x,),在,x,0,的某一去心邻域内有界,定理,3(,函数极限的局部保号性,),如果,f,(,x,),A,(,x,x,0,),而且,A,0(,或,A,0),那么在,x,0,的某一去心邻域内,有,f,(,x,),0(,或,f,(,x,),0),如果当,x,x,0,时,f,(,x,),的极限存,那么这极限是唯一的,如果在,x,0,的某一去心邻域内,f,(,x,),0(,或,f,(,x,),0),而且,f,(,x,),A,(,x,x,0,),那么,A,0(,或,A,0),推论,下页,1.4,无穷小与无穷大,一、无穷小,二、无穷大,一、无穷小,如果函数,f,(,x,),当,x,x,0,(,或,x,),时的极限为零 那么称函数,f,(,x,),为当,x,x,0,(,或,x,),时的无穷小,无穷小的定义,提示,无穷小是这样的函数,在,x,x,0,(,或,x,),的过程中,极限为零,很小很小的数,作为常数函数在自变量的任何变化过程中,其极限就是这个常数本身,下页,如果函数,f,(,x,),当,x,x,0,(,或,x,),时的极限为零 那么称函数,f,(,x,),为当,x,x,0,(,或,x,),时的无穷小,无穷小的定义,一、无穷小,下页,如果函数,f,(,x,),当,x,x,0,(,或,x,),时的极限为零 那么称函数,f,(,x,),为当,x,x,0,(,或,x,),时的无穷小,无穷小的定义,一、无穷小,首页,说明,二、无穷大,如果当,x,x,0,(,或,x,),时,对应的函数值的绝对值,|,f,(,x,)|,无限增大,那么称函数,f,(,x,),为,x,x,0,(,或,x,),时的无穷大,记为,当,x,x,0,(,或,x,),时为无穷大的函数,f,(,x,),按函数极限定义来说,极限是不存在的,但为了便于叙述函数的这一性态,我们也说“函数的极限是无穷大”,无穷大的定义,下页,二、无穷大,如果当,x,x,0,(,或,x,),时,对应的函数值的绝对值,|,f,(,x,)|,无限增大,那么称函数,f,(,x,),为,x,x,0,(,或,x,),时的无穷大,记为,无穷大的定义,下页,正无穷大与负无穷大,二、无穷大,如果当,x,x,0,(,或,x,),时,对应的函数值的绝对值,|,f,(,x,)|,无限增大,那么称函数,f,(,x,),为,x,x,0,(,或,x,),时的无穷大,记为,无穷大的定义,下页,下页,下页,定理,(,无穷大与无穷小之间的关系,),结束,1.5,极限运算法则,无穷小的性质,极限的四则运算法则,举例,当,x,0,时,x,与,sin,x,都是无穷小,所以,x,sin,x,也是当,x,0,时的无穷小,定理,1,有限个无穷小的和也是无穷小,无穷小的性质,下页,定理,2,有界函数与无穷小的乘积是无穷小,无穷小的性质,下页,定理,1,有限个无穷小的和也是无穷小,举例,:,推论,2,有限个无穷小的乘积也是无穷小,推论,1,常数与无穷小的乘积是无穷小,无穷小的性质,下页,定理,2,有界函数与无穷小的乘积是无穷小,定理,1,有限个无穷小的和也是无穷小,(2)lim,f,(,x,),g,(,x,),lim,f,(,x,),lim,g,(,x,),A,B,推论,1,如果,lim,f,(,x,),存在,而,c,为常数,则,lim,c,f,(,x,),c,lim,f,(,x,),推论,2,如果,lim,f,(,x,),存在,而,n,是正整数,则,lim,f,(,x,),n,lim,f,(,x,),n,定理,3,如果,lim,f,(,x,),A,lim,g,(,x,),B,那么,极限的四则运算法则,(1)lim,f,(,x,),g,(,x,),lim,f,(,x,),lim,g,(,x,),A,B,下页,数列极限的四则运算法则,定理,4,设有数列,x,n,和,y,n,如果,那么,下页,求极限举例,讨论,提示,下页,解,因为,下页,当,Q,(,x,0,),P,(,x,0,),0,时,约去分子分母的公因式,(,x,x,0,),下页,先用,x,3,去除分子及分母,然后取极限,解,先用,x,3,去除分子及分母,然后取极限,解,下页,下页,下页,1.6,两个重要极限,一、第一个重要极限,二、第二个重要极限,一、第一个重要极限,下页,第一个重要极限,下页,说明,这是因为,令,u,=,a,(,x,),则,u,0,于是,第一个重要极限,下页,解,解,首页,二、第二个重要极限,下页,说明,第二个重要极限,二、第二个重要极限,下页,解,结束,1.7,无穷小的比较,无穷小的阶,设,及,都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小,下页,无穷小的阶,设,及,都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小,阶的比较举例,下页,无穷小的阶,设,及,都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小,阶的比较举例,下页,关于等价无穷小的定理,定理,求两个无穷小比值的极限时,分子及分母都可用等价无穷小来代替,因此,如果用来代替的无穷小选取得适当,则可使计算简化,定理的意义,下页,当,x,0,时,tan2,x,2,x,sin5,x,5,x,所以,解,当,x,0,时,sin,x,x,无穷小,x,3,3,x,与它本身显然是等价的,所以,解,下页,1.8,函数的连续性与间断点,一、函数的连续性,二、函数的间断点,函数的连续性定义,提示,设,x,x,0,x,则当,x,0,时,x,x,0,因此,设函数,y,f,(,x,),在点,x,0,的某一个邻域内有定义,如果,那么就称函数,y,f,(,x,),在点,x,0,处连续,y,f,(,x,0,x,),f,(,x,0,),下页,函数的连续性定义,设函数,y,f,(,x,),在点,x,0,的某一个邻域内有定义,如果,那么就称函数,y,f,(,x,),在点,x,0,处连续,下页,左连续与右连续,结论,函数,y,f,(,x,),在点,x,0,处连续,函数,y,f,(,x,),在点,x,0,处左连续且右连续,函数的连续性定义,设函数,y,f,(,x,),在点,x,0,的某一个邻域内有定义,如果,那么就称函数,y,f,(,x,),在点,x,0,处连续,下页,注,:,连续函数,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续,连续函数举例,1,多项式函数,P,(,x,),在区间,(,),内是连续的,这是因为,函数,P,(,x,),在,(,),内任意一点,x,0,处有定义, 并且,如果区间包括端点,那么函数在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续,下页,连续函数,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续,连续函数举例,1,多项式函数,P,(,x,),在区间,(,),内是连续的,2,函数,y,sin,x,在区间,(,),内是连续的,首页,二、函数的间断点,间断点的定义,设函数,f,(,x,),在点,x,0,的某去心邻域内有定义,在此前提下,如果函数,f,(,x,),有下列三种情形之一,(1),在,x,0,没有定义,则函数,f,(,x,),在点,x,0,不连续,而点,x,0,称为函数,f,(,x,),的不连续点或间断点,下页,间断点举例,下页,间断点举例,当,x,0,时,函数值在,-,1,与,+,1,之间变动无限多次,所以点,x,=,0,称为函数的振荡间断点,下页,间断点举例,如果补充定义,令,x,=,1,时,y,=,2,则所给函数在,x,=,1,成为连续,所以,x,=,1,称为该函数的可去间断点,下页,所以,x,=,1,是函数,f,(,x,),的间断点,如果改变函数,f,(,x,),在,x,=,1,处的定义,令,f,(1),=,1,则函数在,x,=,1,成为连续,所以,x,=,1,也称为此函数的可去间断点,间断点举例,下页,间断点举例,因函数,f,(,x,),的图形在,x,0,处产生跳跃现象,我们称,x,0,为函数,f,(,x,),的跳跃间断点,下页,通常把间断点分成两类,设,x,0,是函数,f,(,x,),的间断点,如果左极限,f,(,x,0,-,),及右极限,f,(,x,0,+,),都存在,那么,x,0,称为函数,f,(,x,),的第一类间断点,不属于第一类间断点的间断点,称为第二类间断点,在第一类间断点中,左、右极限相等者称为可去间断点,不相等者称为跳跃间断点,无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点,间断点的类型,结束,1,.,9,连续函数的运算与初等函数的连续性,一、连续函数的和、积及商的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,三、初等函数的连续性,一、连续函数的和、积及商的连续性,定理,1,设函数,f,(,x,),和,g,(,x,),在点,x,0,连续,则函数,在点,x,0,也连续,首页,二、反函数与复合函数的连续性,定理,2,如果函数,f,(,x,),在区间,I,x,上单调增加,(,或减少,),且连续 那么它的反函数,x,f,1,(,y,),在区间,I,y,y,|,y,f,(,x,),x,I,x,上也是单调增加,(,或减少,),且连续的,下页,二、反函数与复合函数的连续性,定理,2,如果函数,f,(,x,),在区间,I,x,上单调增加,(,或减少,),且连续 那么它的反函数,x,f,1,(,y,),在区间,I,y,y,|,y,f,(,x,),x,I,x,上也是单调增加,(,或减少,),且连续的,下页,设函数,y,f,g,(,x,),由函数,y,f,(,u,),与函数,u,g,(,x,),复合而成,定理,3,下页,设函数,y,f,g,(,x,),由函数,y,f,(,u,),与函数,u,g,(,x,),复合而成,U,(,x,0,),D,f,o,g,若函数,u,g,(,x,),在点,x,0,连续 函数,y,f,(,u,),在点,u,0,g,(,x,0,),连续 则复合函数,y,f,j,(,x,),在点,x,0,也连续,定理,4,设函数,y,f,g,(,x,),由函数,y,f,(,u,),与函数,u,g,(,x,),复合而成,定理,3,下页,三、初等函数的连续性,结论,基本初等函数在它们的定义域内都是连续的,一切初等函数在其定义区间内都是连续的,说明,所谓定义区间,就是包含在定义域内的区间,下页,利用连续性求极限举例,解,解,下页,1.10,闭区间上连续函数的性质,一、有界性与最大值最小值定理,二、零点定理与介值定理,说明,定理,1(,最大值和最小值定理,),在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,定理,1,说明,如果函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续,那么至少有一点,1,a,b,使,f,(,1,),是,f,(,x,),在,a,b,上的最大值,又至少有一点,2,a,b,使,f,(,2,),是,f,(,x,),在,a,b,上的最小值,下页,定理,2(,有界性定理,),在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,定理,1(,最大值和最小值定理,),在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,首页,二、零点定理与介值定理,说明,如果,x,0,使,f,(,x,0,),0,则,x,0,称为函数,f,(,x,),的零点,定理,3(,零点定理,),设函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续 且,f,(,a,),与,f,(,b,),异号 那么在开区间,(,a,b,),内至少有一点,使,f,(,)0,下页,例,1,证明方程,x,3,4,x,2,1,0,在区间,(0,1),内至少有一个根,二、零点定理与介值定理,定理,3(,零点定理,),设函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续 且,f,(,a,),与,f,(,b,),异号 那么在开区间,(,a,b,),内至少有一点,使,f,(,)0,函数,f,(,x,),x,3,4,x,2,1,在闭区间,0,1,上连续,又,f,(0),1,0,f,(1),2,0,根据零点定理,在,(0,1),内至少有一点,使得,f,(,),0,即,3,4,2,1,0 (0,1),这等式说明方程,x,3,4,x,2,1,0,在区间,(0,1),内至少有一个根是,证,下页,定理,4(,介值定理,),设函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续,且,f,(,a,),f,(,b,),那么,对于,f,(,a,),与,f,(,b,),之间的任意一个数,C,在开区间,(,a,b,),内至少有一点,使得,f,(,),C,二、零点定理与介值定理,定理,3(,零点定理,),设函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续 且,f,(,a,),与,f,(,b,),异号 那么在开区间,(,a,b,),内至少有一点,使,f,(,)0,下页,推论,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值,M,与最小值,m,之间的任何值,定理,4(,介值定理,),设函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续,且,f,(,a,),f,(,b,),那么,对于,f,(,a,),与,f,(,b,),之间的任意一个数,C,在开区间,(,a,b,),内至少有一点,使得,f,(,),C,二、零点定理与介值定理,定理,3(,零点定理,),设函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续 且,f,(,a,),与,f,(,b,),异号 那么在开区间,(,a,b,),内至少有一点,使,f,(,)0,结束,