第94节二重积分的应用

第9.4节 二重积分的应用,一、空间立体的体积,二、平面薄片的质量,由二重积分的定义式,可知：二重积分是一个与区域,D,的分划及点,的取法,无关的和式的极限，所以凡是可以表示为这类极限的量均可,用二重积分来计算. 这里我们主要介绍利用二重积分计算立,体的体积以及平面薄片的质量这两方面的应用.,一、空间立体的体积,由二重积分的几何意义可知，以区域,D,为底，曲面,为,顶的立体的体积为可表示为,例1,求旋转抛物面,与坐标平面,所围成的立体的体积.,解,将,代入,中，易求得旋转抛物面在,坐标平面上的投影为圆域,D,：,（,如图所示）,1,o,因此该立体的体积可用二重积分表示为,选择在极坐标系下计算此二重积分.,于是有,依题知,D,的边界方程为,例2,计算由平面,立体的体积.,及三个坐标平面所围成的,1,该立体即为以,D,为底,，,为顶的立体，,所以平面,在,坐标平面上的,（,如图所示），,投影为区域,代入,中，得,解,将,所求体积为,二、平面薄片的质量,设在坐标平面,中有一个厚度为1个单位的,平面薄片形成的有界闭区域,D,，其密度,为,，,现求该薄片的质量.,由于该薄片的密度随点,所以不能再用求质量的公式,来求薄片的质量.,的位置变化而变化，,（其中,m,表示质量）,下面用二重积分的积分思想求该薄片的质量.,第一步：化整为零,个子区域,将,D,分成,若记第i块薄片,的质量为,，,则总质量,，,由此可得,m,的近似值,第二步：积零为整,在每一块小薄片,上任取一点,，当,很小时，,就可近似地看作该小薄片的密度，,故有,若用,表示这,n,个子区域直径的最大值，则当,时，上式的极限即为,m,的精确值，即,第三步：取极限,所以密度为,的薄片的质量是一个与区域,的取法均无关的极限，根据二,D,的分划和点,重积分的定义可知，质量,m,可表示为,解,三角形薄片的质量可以用二重积分表示为,，其中积分区域,D,如图所示，,例3,求以,为顶点的三角形薄片的质量，,其中密度为,于是得,解,薄片质量即为,，,其中积分区域,D,如图,，,所以,例4,求由,及,x,轴围成的平面薄片的质量，,其中密度为,