自动控制习题课(习题答案)

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,习题课,第一章 自动控制一般概念,自动控制,：,在无人参与的情况下，利用外加的设备或装置使整个生产 过程或工作机械自动地按预定规律运行，或使其某个参数按预定的要求变化。,自动控制装置基本组成,：,测量元件：获得被控量的实际值并进行变换。,比较元件：获得偏差,=,测量结果,-,要求值。,调节元件：通常包括放大器和校正装置。使,u=f(e),执行元件：驱动被控对象动作，使被控量达到要求值,第一章 自动控制一般概念,控制系统方块图,：,在方块图中，装置或环节用方块来表示，信号用箭头表示，分支点用点,(.),表示，相加点（比较点）用 表示。,自动控制系统方块图,调节元件,执行元件,测量元件,控制对象,比较元件,扰动量,被控量,(,输出量,),-,给定量,(,输入量,),电机、减速器、阀门,放大器,自动控制装置,第一章 自动控制一般概念,1-1,举出几个你在实践中遇到的开环控制系统，闭环控制系统扰动控制系统的例子。说明他们的工作原理，分析他们的组成，画出方块图，讨论其特点。,开环控制系统：电风扇,电风扇控制系统方块图,调节元件,执行元件,控制对象,扰动量,被控量,(,输出量,),电压,给定量,(,输入量,),电机,放大器,自动控制装置,风扇扇叶,不同档位,风扇转速,第一章 自动控制一般概念,闭环控制系统：自动控制水位系统,自动水位控制系统方块图,调节元件,执行元件,测量元件,控制对象,比较元件,扰动量,(,用水量,),被控量,(,输出量,),给定水位,-,实际水位,给定量,(,输入量,),连杆,电机、减速器、阀门,浮子,放大器,自动控制装置,水池,第一章 自动控制一般概念,扰动控制系统：楼道声控灯,楼道声控灯控制系统方块图,调节元件,执行元件,控制对象,扰动量,被控量,(,输出量,),声音,给定量,(,输入量,),开关,放大器,自动控制装置,灯泡,灯泡明灭,第二章 自动控制系统的数学模型,第二章 自动控制系统的数学模型,B,A,C,第二章 自动控制系统的数学模型,2-2,求下列由弹簧,-,质量,-,阻尼器组成的机械系统传递函数。,(a) (b),m,k,f,第二章 自动控制系统的数学模型,第二章 自动控制系统的数学模型,第二章 自动控制系统的数学模型,2-7,根据结构图等效变换原则求出电动机传递函数 ， 。,第二章 自动控制系统的数学模型,解：先令 为,0,，求出 。这种情况就是简单的负反馈回路。结果为：,令 为,0,，则可求出 ，先化简框图，在计算，注意正负号。化简后框图为：,第二章 自动控制系统的数学模型,可将框图看作是 输入的负反馈。,则结果为：,第二章 自动控制系统的数学模型,2-8,化简下列系统结构图，并求出传递函数 。,第二章 自动控制系统的数学模型,解：,第二章 自动控制系统的数学模型,第二章 自动控制系统的数学模型,第二章 自动控制系统的数学模型,最终结果：,第二章 自动控制系统的数学模型,2-12,系统的结构如图所示。试绘出相应的信号流图并利用梅逊公式求出闭环系统的传递函数。,解：先画出信号流图如下图所示：,第二章 自动控制系统的数学模型,解：仔细观察信号流图，其中共有,5,个前向通道，,7,各回路。,5,个前向通道如下：,7,各回路如下：,第二章 自动控制系统的数学模型,解：,观察所有回路，其中不接触回路为：,其中,第二章 自动控制系统的数学模型,解：,最终结果为：,其中：,例,利用结构图等效变换讨论两级,RC,串联电路的传递函数。,解,：不能把左图简单地看成两个,RC,电路的串联,因有负载效应。根据电路定理，有以下等式和结构图：,-,-,-,25,总的结构图如下：,-,-,-,-,-,-,26,为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个可能的变换过程如下：,-,-,-,-,-,-,-,-,27,-,-,-,-,-,-,28,-,29,-,-,-,-,-,-,-,-,-,解法二：,30,-,31,解法三：,-,-,-,-,-,-,-,-,-,+,32,-,-,-,+,-,+,-,+,33,-,+,-,第三章 自动控制系统的时域分析,3-1,如图所示随动系统，当,K=4,时，试求,（,1,）系统对单位脉冲输入、单为阶跃输入、单位斜坡输入的响应；（,2,）写出闭环系统传递函数，求阻尼系数 和无阻尼振荡频率 ；（,3,）计算闭环系统瞬态过程性能指标 、 、 、 。,第三章 自动控制系统的时域分析,解：当,K=4,时，系统的闭环传递函数为：,单位脉冲输入：,第三章 自动控制系统的时域分析,单为阶跃输入：,第三章 自动控制系统的时域分析,单位斜坡输入：,第三章 自动控制系统的时域分析,（,2,）当,K=4,时，系统的闭环传递函数为：,则,解得：,第三章 自动控制系统的时域分析,（,3,）由,由于本题是典型的二阶系统，则可得：,第三章 自动控制系统的时域分析,3-6,某单位反馈随动系统的开环传递函数为：,若将开环特性近似为二阶的（即可考虑略去小时间常数）计算闭环系统的瞬态性能指标 和 值。,解：先将开环传递函数写成时间常数形式：,第三章 自动控制系统的时域分析,解：由于要略去小时间常数项，即略去：,则新的开环传递函数为：,闭环传递函数为：,第三章 自动控制系统的时域分析,解：系统为典型二阶系统,根据公式计算得：,第三章 自动控制系统的时域分析,3-9,某系统的特征方程为,试用代数判据确定使系统稳定的,K,值范围。,解：列出劳斯阵：,第三章 自动控制系统的时域分析,解： 由劳斯判据可列出下式：,解该方程发现无解，所以使系统稳定的,K,值不存在。,第三章 自动控制系统的时域分析,3-10,设系统结构图如下所示。试确定临界放大系数 和时间常数 、 、 的关系。在什么情况下 具有最小值。,解：闭环传递函数如下：,第三章 自动控制系统的时域分析,解： 特征方程为：,列出劳斯阵：,第三章 自动控制系统的时域分析,解：由劳斯判据可得：,解得：,所以 最小值为,8,第三章 自动控制系统的时域分析,3-13,设单位反馈系统的开环传递函数为：,试用代数判据确定系统是否稳定及是否有 的稳定裕度。,解：由开环传递函数得特征方程为：,列出劳斯阵：,系统稳定。,第三章 自动控制系统的时域分析,解：要判断是否有 的稳定裕度，令 代入特征方程得到新得特征方程为：,得到劳斯阵为：,第一列有负值，显然不稳定，所以该系统没有 的稳定裕度,50,例,3,：,系统的特征方程为： 试用胡尔维茨定理判稳。,解,：,系统的特征方程为：,列胡尔维茨行列式如下：,所以，系统是稳定的。,第四章 根轨迹法,4-2,设开环传递函数为：,试绘制控制系统的根轨迹草图。,第四章 根轨迹法,解：开环传递函数为,（,1,） 所以根轨迹有三条分支,（,2,）极点：,零点：都在无穷远处,（,3,）实轴根轨迹区间,:,（,4,）渐近线：,第四章 根轨迹法,（,4,）渐近线：,（,5,）分离会合点：,解得：,后者不在根轨迹上，舍去。,第四章 根轨迹法,（,6,）与虚轴交点：令 ，代入,解得：,或,画出的根轨迹如下图：,第四章 根轨迹法,第四章 根轨迹法,解：开环传递函数为,（,1,） 根轨迹有两个分支,（,2,）极点：,零点：,（,3,）实轴上根轨迹区间,（,4,）渐近线：,第四章 根轨迹法,（,5,）分离会合点,:,解得：,后者不在根轨迹上，舍去。,（,6,）与虚轴交点：令 代入,解得：,第四章 根轨迹法,（,7,）可估算出射角范围,画出根轨迹为：,第四章 根轨迹法,解：开环传递函数为,（,1,） 根轨迹有四条分支,（,2,）极点：,零点：无,（,3,）实轴上根轨迹区间：,（,4,）渐近线：,第四章 根轨迹法,（,5,）分离会合点：,解得：,（,6,）分离角：,第四章 根轨迹法,画出根轨迹为：,第四章 根轨迹法,4-3,设控制系统的结构图如下图所示， 为速度反馈系数，试绘制以 为参变量的根轨迹图。,第四章 根轨迹法,解：由框图可得系统的闭环传递函数为,特征方程为：,方程两边同时除以,化简为：,所以等效开环传递函数为,第四章 根轨迹法,（,1,） 所以有两个根轨迹分支,（,2,）极点：,零点：,（,3,）实轴上根轨迹区间为,（,4,）渐近线：,第四章 根轨迹法,（,5,）分离会合点：,解得,由于后面的解不在根轨迹上，所以舍去。,（,6,）估计出射角范围大概在,所以不会与虚轴相交，不用计算与虚轴交点。,第四章 根轨迹法,画出根轨迹图为：,第四章 根轨迹法,4-7,设飞非最小相位系统的开环传递函数为,试绘制根轨迹，并确定使闭环系统稳定的 范围。,解：,（,1,） 根轨迹有四个分支,（,2,）极点：,零点：,（,3,）实轴上的根轨迹区间,第四章 根轨迹法,（,4,）渐近线：,（,5,）分离会合点：,解得：,第四章 根轨迹法,（,6,）出射角：,（,7,）与虚轴交点：令 代入,解得：,观察图可知,K,范围是（,23.3,35.7,）。,第四章 根轨迹法,根轨迹草图如下：,第四章 根轨迹法,4-8,设单位反馈控制系统的开环传递函数为,若要求其闭环主导极点的阻尼角为,60,度，试用根轨迹法确定该系统的瞬态性能指标 和稳态性能指标 。,解：先画出根轨迹,（,1,） 根轨迹共有三条分支。,（,2,）极点：,零点：,（,3,）实轴上的根轨迹范围,第四章 根轨迹法,（,4,）渐近线：,（,5,）与虚轴交点：令 代入,解得：,第四章 根轨迹法,根轨迹如图：如图可知不可能有,60,度的阻尼角。,第四章 根轨迹法,4-10,设某系统的结构图如下所示，如果,试选择,K,值。,解：系统的开环传递函数为,第四章 根轨迹法,（,1,） 根轨迹有三个分支,（,2,）极点：,零点：无,（,3,）实轴根轨迹区间,（,4,）渐近线：,第四章 根轨迹法,（,5,）与虚轴交点：令 代入,解得：,（,6,）画出根轨迹草图,（,7,） 解得,解得,取 则 代入特征方程,第四章 根轨迹法,根轨迹草图：,第四章 根轨迹法,解得：,因此主导极点为,满足条件,由于 所以闭环系统极点之和等于开环系统极点之和。则另一个闭环极点为,不满足主导极点要求不行。,第四章 根轨迹法,取 则,代入特征方程解得,其中由于 所以闭环系统极点之和等于开环系统极点之和。则另一个闭环极点为,满足主导极点要求。,K,值可以取。,第四章 根轨迹法,4-12,设单位反馈系统的开环传递函数为,试用根轨迹法回答,（,1,）能否通过选择 满足最大超调量,的要求。（,2,）能否通过选择 满足调节时间 秒的要求,（,3,）能否通过选择 满足速度误差系数 的要求。,解：先画根轨迹：,（,1,） 共有三条根轨迹分支,（,2,）极点：,零点：无,第四章 根轨迹法,（,3,）渐近线：,（,4,）实轴上的根轨迹区间,（,5,）分离点：,解得：,第四章 根轨迹法,（,6,）与虚轴交点：令 代入特征方程式,解得：,（,7,）画出根轨迹,（,8,） 解得,由根轨迹图可知满足主导极点，所以可以满足要求（,1,）,（,9,）,由根轨迹图可知 所以无法满足要求,第四章 根轨迹法,根轨迹草图：,第四章 根轨迹法,（,10,）,解得：,由根轨迹图可知要想系统稳定，,所以无法满足要求。,85,一、 单回路负反馈系统的根轨迹,例,开环传递函数为： ，画根轨迹。,实轴上根轨迹区间是：,-2,，,0,；,渐进线倾角： 与实轴的交点为：,解,：,标出四个开环极点：,0,，,-2,， 。有四条根轨迹。,86,-3+4j,处的出射角 ：,根据对称性，可知,-3-j4,处的出射角 为：,与虚轴的交点：闭环特征方程为：,劳斯阵为：,当劳斯阵某一行全为零时，有共轭虚根。这时， 。,辅助方程为： ，解得共轭虚根为：,即为根轨迹与虚轴的交点。,87,会合点与分离点（重根点）：分离角为,由 得：,由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用下述近似方法：,我们知道，分离点在负实轴,-2,，,0,区间上，所以当,s,在实数范围内变化时， 最大时为分离点。,6.28,11.49,15.59,18.47,20.0,20.01,18.28,14.57,8.58,-2.0,-1.8,-1.6,-1.4,-1.2,-1.0,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,s,可见分离点在,-0.8-1.0,之间，近似取,-0.9,。,88,绘制根轨迹，如下图所示。,-4,-3,-2,-1,0,1,2,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,Real Axis,Imag Axis,89,一、 条件稳定系统的分析,例,4-11,：,设开环系统传递函数为：,试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时 的取值范围。,开环极点：,0,，,-4,，,-6,， ，零点：,实轴上根轨迹区间,：,渐进线：与实轴的交点：,倾角：,解,根据绘制根轨迹的步骤，可得：,90,分离会合点：,3.949,7.457,9.375,8.80,5.971,3,1.628,0,-4,-3.5,-3,-2.5,-2.0,-1.5,-1,-0.5,0,s,的最大值为,9.375,，这时,s=-2.5,，是近似分离点。,由：,可以求得分离点,s=,2.3557,。,近似求法：,分离点在,-4,，,0,之间。,分离角：,91,由图可知：当,和 时，系统是稳定的；,画出根轨迹如图所示，该图是用,Matlab,工具绘制的。,出射角： ，入射角：,与虚轴的交点和,对应的增益值：,当,时，系统是不稳定的。,这种情况称为条件稳定系统,92,例,4-12,单位反馈系统的开环传递函数为：,若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 ，试确定开环放大系数。,解,：,首先画出根轨迹如右。由图可以看出：根轨迹与虚轴的交点为,+j5,-j5,，这时的临界增益 当 时，闭环系统不稳定。,93,下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：,当 时解得：,这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着 的增加，主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计算。,在根轨迹图上画两条与实轴夹角为 的直线，与根轨迹交与,A,、,B,两点。 则,A,、,B,两点就是闭环共轭主导极点，这时系统的超调量小于,18%,。通过求,A,、,B,两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增益 ，进而求得开环放大系数,K,。,设,A,点坐标为： ，则：,（,1,）,相角条件为：,（,2,）,94,由,(1),，,(2),式解得：,共轭主导极点为： 。,开环传递函数以 的形式表示时，,K,称为开环放大系数。,显然 的关系为： ，式中 不计,0,极点。,所以，开环放大系数：,由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点为： 。该极点是共轭复极点实部的,6,倍多。,解得：,实部方程,虚部方程,也可令,代入特征方程,第五章 频率法,5-5,开环系统的传递函数为：,试绘出相应的对数幅频特性曲线（用分段直线近似表示）。,第五章 频率法,解,（,1,）,将开环传递函数写成时间常数形式：,计算各部分转折频率及斜率如下表：,第五章 频率法,转折频率,改变斜率,累计频率,1,30,0,2,0.8,-20,-20,3,1,-20,-40,4,3,20,-20,5,5,-40,-60,第五章 频率法,第五章 频率法,解,（,2,）将开环传递函数写成时间常数形式：,计算各部分转折频率如下表：,第五章 频率法,转折频率,改变斜率,累计频率,1,40,0,2,-20,-20,3,0.5,-20,-40,4,1,40,0,5,5,-20,-20,6,20,-20,-40,第五章 频率法,第五章 频率法,解,（,3,）将开环传递函数写成时间常数形式：,转折频率列出如下表所示：,第五章 频率法,转折频率,改变斜率,累积频率,1,2,0,2,-40,-40,3,0.4s+1,2.5,20,-20,4,10,-20,-40,5,20,-20,-60,第五章 频率法,第五章 频率法,5-6,设开环系统的对数幅频特性分段直线近似表示。写出开环系统的传递函数。（设系统为最小相位系统）,解,（,a,）转折频率为,0.025 0.05 0.2,由图可知初始斜率为,-20,，所以为,I,型开环传递函数，所以函数中有,项。,0.025,斜率下降,20,包含项为：,0.05,斜率上升,20,包含项为：,0.2,斜率下降,20,包含项为：,第五章 频率法,解：所以总的传递函数为：,折线过（,0.1,0,）,所以传递函数为：,第五章 频率法,（,b,）如图可知系统为,0,型，转折频率为,4,400,4,斜率下降,20,包含项为：,400,斜率下降,20,包含项为：,传递函数为：,第五章 频率法,由图中可列方程为：,第五章 频率法,（,c,）如图初始斜率为,-40,，所以是,II,型函数，包含项：,转折频率为： ，,0.4,斜率上升,20,包含项为：,0.4,斜率下降,20,包含项为：,总的传递函数为：,第五章 频率法,解：由图可知：,折线过（,0.4,0,）点,第五章 频率法,（,d,）如图可知初始斜率是,-20,，所以为,I,型函数，包含项,转折频率为,斜率下降,20,包含项为,:,总的传递函数为：,由图可知过（,1,20lgK,）,第五章 频率法,折线过点（,10,0,）,第五章 频率法,（,e,）由图可知初始斜率为,20,所以包含项,s,转折频率为 ， 。,斜率下降,20,包含项为：,斜率下降,20,包含项为：,总的传递函数为：,第五章 频率法,解：折线过点,则,第五章 频率法,（,f,）由图可知初始斜率为,20,，包含项,s,转折频率为：,斜率下降,20,包含项为：,传递函数为：,折线过点,第五章 频率法,解：,第五章 频率法,5-9,绘制下列开环系统的极坐标特性曲线，利用奈氏判据判别系统的稳定性和比例系数,K,的关系。,第五章 频率法,解,：（,1,）令,化简得：,第五章 频率法,解：,令,解得：,由以上可以画出极坐标曲线。,第五章 频率法,第五章 频率法,解：由于,P=0,，,Z=N+P,，若要系统稳定，则,N=0,有极坐标图可知,第五章 频率法,解,：（,2,）令,化简得：,第五章 频率法,解：,令,由上可以的极坐标曲线为：,第五章 频率法,第五章 频率法,解：因为,P=0,，,Z=N+P,，所以若要是系统稳定，,N=0,如图可知,解得,第五章 频率法,解,：（,3,）令,化简得：,第五章 频率法,解：,令：,解得：,画出极坐标图为：,第五章 频率法,第五章 频率法,解：因为,P=1,，,Z=N+P,，若要系统稳定，则,N=-1,由图可知：,130,例,1,设开环系统传递函数为： ，试用奈氏稳定性判据,确定闭环系统稳定时,k,的取值范围。,解,：,与实轴的交点,131,当,K,=52,时，开环极点为,1,，,1j2,，都在,s,左半平面，所以,P,= 0,。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕,(,1,，,j0),点,2,圈。所以闭环系统在,s,右半极点数为：,Z,=,N,+,P,= 2,，闭环系统是不稳定的。,若要系统稳定，则,即,K, 16,时，奈氏图不围绕,(,1,，,j0),点。,132,Nyquist Diagram,Real Axis,Imaginary Axis,-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,Nyquist Diagram,Real Axis,Imaginary Axis,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,-2.5,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5,当,K,1,，则要求,K,5,。,于是系统稳定的条件为,5 ,K, 16,。,133,上述结论同样可由劳思,赫尔维茨判据得到。,劳斯阵：,要使,系统稳定,，则第一列都大于,0,于是得：,5,K, 16,。,5.5.2,稳定裕度的计算,解法,I,：由幅相曲线求,例,2,，求,(1),令,试根得,第五章 频率法,(2.1),令,可得,第五章 频率法,(2.2),将,G(j,w,),分解为实部、虚部形式,令,得,代入实部,第五章 频率法,Thank you!,