第2讲 数学物理方程的分类和行波法

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一讲内容回顾：,数理方程建立的步骤,确定物理量,:,速度、位移、,研究邻近点的相互作用,（抓主要矛盾，忽略次要矛盾）,短时间内这种相互作用对所研究物理量的影响,将这种影响用数学关系式表达出来，并,简化整理,数学物理方程,Harbin Engineering University,三类方程,：,反映波动过程的,波动方程,反映扩散过程的,热传导方程,反映稳定状态的,Poisson,方程和,Laplace,方程,Harbin Engineering University,定解条件：,初始条件 ：,初始条件的个数,：等于于方程中关于时间偏导数 的阶数。,必须给出全系统的初始状态，而不是系统中个别点的初始状态。,三类边界条件：,边界条件的个数：,等于方程中关于空间变量偏导数的阶数。,只需给出恰当说明边界上的物理状况即可，而非整个系统,Harbin Engineering University,练习：,Harbin Engineering University,第二讲：数学物理方程的分类和行波法,2.1,数学物理方程的分类,一、 线性二阶偏微分方程,Harbin Engineering University,（,1,）,齐次性,：,时，无源物理场，,例子，不含点源所在位置的点源场,非齐次：,时，有源物理场。,例如含点源的整个声场,线性二阶偏微分方程：叠加原理,线性,：,Harbin Engineering University,只是,的 函数，,而不是,u, F,，或更复杂变量的函数，否则是非线性的。,例,1,，理想、均匀介质，小振幅波动方程为线性的,线性的主要特征,：满足,叠加原理,灯泡、手榴弹声源特性,时域波形,例,2,非线性的：,大振幅平面波波动方程，,(,非线性声学,),波动方程的解不满足叠加原理,Harbin Engineering University,应用：灯泡声源、声弹,二、叠加原理,把线性偏微分方程统一写成算符形式：,Harbin Engineering University,定义：,如果函数 使方程 恒成立，则,称 是方程 的解。,Harbin Engineering University,性质,1,若,和,都是齐次方程,的解，即，,，则它们的线性组合,也是齐次方程 的解。,性质,2,若,和,都是非齐次方程,的差,一定是相应齐次方程 的解。,的解则它们,线性偏微分方程性质,：,Harbin Engineering University,性质,3,若,和,分别满足非 齐次方程,，则它们的线性组合,非齐次方程,和,满足,数理方程中的叠加原理,如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作是几部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛定方程就行。,包含源的叠加和边界条件的叠加,Harbin Engineering University,源的叠加,如果：,则：,其中： 如下方程的解：,物理解释,：,N,个声源辐射的总声场，就是单个声源源辐射声场的叠加,Harbin Engineering University,边界条件的叠加,边界条件的叠加：（以第一类边界条件为例）,如果,则,Harbin Engineering University,边界条件的叠加续,其中：,u,k,(k=1,N),为下面方程的解,边界条件为：,Harbin Engineering University,叠加原理,(,续,),注意,：边界条件和源可以同时分解，并可以进行组合,:,Harbin Engineering University,三、两个自变数方程的分类,双曲型,：波动方程,抛物型,：扩散方程、热传导方程,椭圆型,：稳定场方程，如稳定浓度分布，稳定温度分布场方程,Harbin Engineering University,2.2,行波法,数理方程的解法：,行波法,分离变量法,格林函数法,积分变换法,变分法,Harbin Engineering University,行波法,DAlembert,公式,D,Alembert,法国著名的物理学家、数学家和天文学家，最著名的有八卷巨著,数学手册,、力学专著,动力学,、,23,卷的,文集,、,百科全书,的序言等等。他的很多研究成果记载于,宇宙体系的几个要点研究,中。,Harbin Engineering University,行波法,达朗贝尔公式,(,续,),难能可贵的是，在宗教学校里受到了许多神学思想的熏陶以后，达朗贝尔仍然坚信真理、一生探求科学的真谛、不盲从于宗教的认识论。后来他自学了一些科学家的著作，并且完成了一些学术论文。,达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了许多荣誉。但在他临终时，却因教会的阻挠没有举行任何形式的葬礼。,D,Alembert,Harbin Engineering University,一、定解问题,：,泛定方程,:,定解条件,:,（,2,）,（,3,）,Harbin Engineering University,求通解,（,4,）,（,2,）式,算符分解,坐标变换：,则：,（,5,）,（,6,）,Harbin Engineering University,求通解续,:,（,4,）,（,5,）,（,6,）,（,7,）,（,8,）,（,9,）,通解,Harbin Engineering University,求通解续,:,选择：,通解：,（,10,）,进而,Harbin Engineering University,解的物理意义讨论：,代表以速度,a,沿,x,轴正向传播的波,t,：,0 T,（单位时间）,代表以速度,a,沿,x,轴负向传播的波,Harbin Engineering University,求特解：,把通解,（,10,）,代入定解条件,（,3,）,定解条件：,（,3,）,（,11,）,Harbin Engineering University,求特解续：,（,12,）,（,13,）,（,14,）,Harbin Engineering University,求特解续：,代入通解,（,10,）,（,10,）,DAlembert,公式,Harbin Engineering University,例题：,例,1,初始速度为零，初始位移如下（教材,172,页） ：,图,1,初始位移分布图,Harbin Engineering University,例题：,代入达朗贝尔公式,：,Harbin Engineering University,例题：,例,2,求定解问题：,解：,由达朗贝尔公式：,驻波形式,Harbin Engineering University,行波法小结：,它基于波动的特点。,引入了坐标变换来简化方程,优点：求解方式易于理解，求解波动方程十分方便,缺点：通解不易求，是之有局限性,现实中，无限长的弦根本不存在，所谓无限长的弦当然只是一个理想化的抽象。它恰恰就是表示：在我们所考察的时间和空间范围内，端点的影响可以忽略不计的情况 。,Harbin Engineering University,端点的反射,_,半无限长弦的自由振动,Harbin Engineering University,参见教参,174,页,端点固定时，,端点的影响表现为反射波，反射波的,相位跟入射波相反，叫做,半波损失,端点自由时,，端点的影响也表现为反射波，不同的 是反射波的相位和入射波相同，没有半波损失。,二、定解问题的适定性,解的存在性,定解问题有解,解的唯一性,定解问题的解是唯一的,解的稳定性,如果定解问题中的已知条件（例如方程或定解条件中的已知函数）有微小改变时，解也只有微小的改变。,定解问题解的存在性、唯一性和稳定性，统称,适定性,。,Harbin Engineering University,作业 ：,P179,习题,1,、,4,Harbin Engineering University,