资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,中学数理化,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,利用,空间,向量,解决,空间角,问题,一、复习引入,名称,定义,图形,两条异面直线 所成的角,直线与平面,所成的角,二面角及它的,平面角,直线,a,、,b,是异面直线，经过空间任意一点,o,，,作直线,a,、,b,，,并使,a,/a,，,b,/b,，,我们把,直线,a,和,b,所成的锐角（或直角）叫做异面直线,a,和,b,所成的角。,a,b,o,.,a,O,是空间中的任意一点,b,一、概念,名称,定义,图形,两条异面直线 所成的角,直线与平面,所成的角,二面角及它的,平面角,直线,a,、,b,是异面直线，经过,空间任意一点,o,，,作直线,a,、,b,，,并使,a,/a,，,b,/b,，,我们把,直线,a,和,b,所成的,锐角（或直角）,叫做异面直线,a,和,b,所成的角。,平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做,这条直线和这个平面所成的角，,o,L,B,A,一、概念,名称,定义,图形,两条异面直线 所成的角,直线与平面,所成的角,二面角及它的,平面角,直线,a,、,b,是异面直线，经过空间任意一点,o,，,作直线,a,、,b,，,并使,a,/a,，,b,/b,，,我们把,直线,a,和,b,所成的锐角（或直角）叫做异面直线,a,和,b,所成的角。,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做,二面角,。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做,二面角的平面角,。,L,o,B,A,平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做,这条直线和这个平面所成的角，特别地，若,L,则,L,与,所成的角是直角，若,L/,或,L,，则,L,与,所成的角是的角。,A,L,B,O,一、概念,名称,定义,图形,两条异面直线 所成的角,直线与平面,所成的角,二面角及它的,平面角,直线,a,、,b,是异面直线，经过空间任意一点,o,，,作直线,a,、,b,，,并使,a,/a,，,b,/b,，,我们把,直线,a,和,b,所成的锐角（或直角）叫做异面直线,a,和,b,所成的角。,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做,二面角,。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做,二面角的平面角,。,L,o,B,A,A,L,B,O,平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做,这条直线和这个平面所成的角，,B,B,二、数学思想、方法、步骤：,解决空间角的问题涉及的数学思想主要是,转化与,化归,，即把,空间角,转化为,平面角,。,2.,方法：,步骤,：,作,（,找,）,证,求,1.,数学思想：, 几何法, 向量法,夹角公式：,异面直线所成角的范围：,思考：,结论：,探究,1,：线线角,例,1,：,解：以点,C,为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以：,所以 与 所成角的余弦值为,斜线与平面所成角的范围,：,思考：,结论：,探究,2,：线面角,例,2,：,的棱长为,1,.,正方体,x,y,z,解：以点,A,为坐标原点建立空间直角坐标系,Axyz,l,l,二面角的范围,：,注意,:,法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；,同进同出，二面角等于法向量夹角的补角,探究,3,：二面角,设平面,小结：,1.,异面直线所成角：,2.,直线与平面所成角：,D,C,B,A,3.,二面角：,l,l,一进一出，二面角等于法向量的夹角；,同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。,O,A,B,C,S,x,y,z,1,、如图，已知：直角梯形,OABC,中，,OABC,AOC=90,，,SO,面,OABC,，,且,OS=OC=BC=1,，,OA=2,。,(1),求异面直线,SA,和,OB,所成的,角的余弦值,(2),求,OS,与面,SAB,所成角的余弦值,(3),求二面角,B,AS,O,的余弦值,拓展训练,O,A,B,C,S,O,A,B,C,S,所以,OS,与面,SAB,所成角的余弦值为,O,A,B,C,S,O,A,B,C,S,O,A,B,C,S,O,A,B,C,S,x,y,z,O,A,B,C,S,O,A,B,C,S,x,y,z,所以二面角,B,AS,O,的余弦值为,【,例,3,】,(2004,年浙江省高考题,),如图,1-5,，已知正方形,ABCD,和矩形,ACEF,所在的平,面垂直， ，,AF,1,，,M,是线段,EF,的中点,(I),证明：,AM,平面,BDE,；,(,),证明：,AM,平面,BDF,；,(,),求二面角,A,-,DF,-,B,的大小,(,),证明,如图,1-6,，设,AC,，,BD,交于点,O,，连,EO,，矩形,AFEC,的边长,AF,1,，,AC=2,O,，,M,分别为,AC,与,EF,的中点，,四边形,AOEM,是平行四边形,AM,OE,又,OE,平面,BDE,，,平面,BDE,，,AM,平面,BDE,(,),证明,如图,1-7,，,BD,AC,，,BD,AF,AC,AF,A,，,BD,平面,ACEF,，,DF,在平面,ACEF,上的射影为,OF,AO,AF,1,，,AOMF,是正方形，,OF,AM,，,由三垂线定理得,DF,AM,同理,FB,AM,，,DF,FB,F,，,AM,平面,BDF,(,),解,设,AM,OF,H,，由,(,),知,AH,平面,BDF,如图,1-8,，作,AG,DF,交,DF,于,，连结,GH,，由三垂线定理知,GH,DF,，,AGH,是二面角,A,-,DF,-,B,的平面角,又,即,二面角,A,-,DF,-,B,的大小为,点评,利用三垂线定理或其逆定理作二面角的平面角关键是找垂线，对有棱二,面角通常应注意选取合适的点构造二面角的平面角,【,例,4,】,(2004,年辽宁省高考题,),如图,1-9,，已知四棱锥,P,-,ABCD,，底面,ABCD,是菱形，,DAB=60,，,PD,平面,ABCD,，,PD,AD,，点,E,为,AB,中点，点,F,为,PD,中点,(,),证明：平面,PED,平面,PAB,；,(,),求二面角,P,-,AB,-,F,的平面角的余弦值,【,例,4,】,(2004,年辽宁省高考题,),如图,1-9,，已知四棱锥,P,-,ABCD,，底面,ABCD,是菱形，,DAB=60,，,PD,平面,ABCD,，,PD,AD,，点,E,为,AB,中点，点,F,为,PD,中点,(,),证明：平面,PED,平面,PAB,；,(,),求二面角,P,-,AB,-,F,的平面角的余弦值,【,例,4,】,(2004,年辽宁省高考题,),如图,1-9,，已知四棱锥,P,-,ABCD,，底面,ABCD,是菱形，,DAB=60,，,PD,平面,ABCD,，,PD,AD,，点,E,为,AB,中点，点,F,为,PD,中点,(,),证明：平面,PED,平面,PAB,；,(,),求二面角,P,-,AB,-,F,的平面角的余弦值,【,例,4,】,(2004,年辽宁省高考题,),如图,1-9,，已知四棱锥,P,-,ABCD,，底面,ABCD,是菱形，,DAB=60,，,PD,平面,ABCD,，,PD,AD,，点,E,为,AB,中点，点,F,为,PD,中点,(,),证明：平面,PED,平面,PAB,；,(,),求二面角,P,-,AB,-,F,的平面角的余弦值,(),证明,底面,ABCD,为菱形，,AB,AD,，,DAB=60, ,DAB,为正三角形,又,E,为,AB,中点， ,AB,DE,又,PD,平面,ABCD,，,PE,在平面,ABCD,上的射影为,DE,，,AB,PE,（三垂线定理）,PE,DE,E,， 平面,PAB,平面,PED,(,),解,AB,平面,PED,，,PE,面,PED,，,AB,PE,如图,1-10,，连结,EF,EF,面,PED,，,AB,EF,PEF,为二面角,P,-,AB,-,F,的平面角,设,PD,AD,a,，则,PF,FD,又,DAB,为正三角形，,E,为,AB,中点，,AB,AD,a,，,二面角,P,-,AB,-,F,的平面角的余弦值为,点评,这里由已知条件很容易找到二面角的棱,AB,的垂面，故运用垂面法可顺利找,出二面角的平面角,作业：,1.,在长方体 中，,2.,正三棱柱 中，,D,是,AC,的中点，当 时，求二面角 的余弦值。,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,
展开阅读全文