MATLAB数值积分及算例

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,6.1 数值积分基本原理,求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。,它们的基本思想都是将整个积分区间a, b分成n个子区间,x,i,x,i,+1,，i=1, 2, , n，,其中,x,1,=,a,，,x,n,+1,=,b,。,这样求定积分问题就分解为求和问题。,6.2 数值积分的实现方法,6.2.1 变步长辛普生法,基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：,I, n = quad(fname, a, b, tol, trace),其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。,例1 求定积分：,(1) 建立被积函数文件fesin.m。,function f=fesin(x),f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);,(2) 调用数值积分函数quad求定积分。,S,n=quad(fesin,0,3*pi),(S为返回值,n是调用次数),6.2.2 牛顿柯特斯法,基于牛顿柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为：,I, n = quad8(fname, a, b, tol, trace),其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10,-6,。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。,例2 求定积分:,(1) 被积函数文件fx.m。,function f=fx(x),f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x);,(2) 调用函数quad8求定积分。,I=quad8(fx,0,pi),例3 分别用quad函数和quad8函数求定积分,的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。,调用函数quad求定积分：,format long;,fx=inline(exp(-x);,I,n = quad(fx,1,2.5,1e-10),调用函数quad8求定积分：,format long;,fx=inline(exp(-x);,I,n=quad8(fx,1,2.5,1e-10),6.2.3 被积函数由一个表格定义,(要求积分,但是函数没有直接给出,只是自己在做实验时得到的一组相关联的数据),在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。,例4 用trapz函数计算定积分。,命令如下：,X=1:0.01:2.5;,Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量,trapz(X,Y),ans =,0.28579682416393,6.3 二重定积分的数值求解,使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：,I = dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace),该函数求f(x,y)在a,bc,d区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。,例5 计算二重定积分,(1) 建立一个函数文件fxy.m：,function f=fxy(x,y),global ki;,ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数,f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y);,(2) 调用dblquad函数求解。,global ki;ki=0;,I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1),ki,