《工程力学》课件第9章

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,9,章 弯曲应力,9.1,梁横截面上的正应力,9.2,弯曲正应力强度条件极其应用,9.3,弯曲切应力,9.4,弯曲切应力强度条件,9.5,提高梁弯曲强度的一些措施,当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩,M,，,又有剪力,F,S,.,剪力,F,S,切应力,弯矩,M,正应力,只有与切应力有关的切向内力元,素,d,F,S,=,d,A,才能合成,剪力,；,只有与正应力有关的法向内力元,素,d,F,N,=,d,A,才能合成弯矩,.,所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力,.,m,m,F,S,M,m,m,F,S,m,m,M,9.1,梁横截面上的正应力,+,+,F,F,+,Fa,F,F,a,a,C,D,A,B,纯弯曲,简支梁,CD,段任一横截面上，剪力,等于零，而弯矩为常量，所以该,段梁的弯曲就是纯弯曲,.,9.1,梁横截面上的正应力,若梁在某段内各横截面的弯矩为,常量，剪力为零，则该段梁的弯,曲就称为纯弯曲,.,分析纯弯曲时横截面上正应力问题,是超静定的。需通过观察实验研究,梁的变形,9.1,梁横截面上的正应力,2.,纵向线,且靠近顶端的纵向线缩短,，,靠近底端的纵向线段伸长,.,各纵向线段弯成弧线，,1.,横向线,只是相对转过了一个角度，,仍与变形后的纵向弧线垂直,各横向线仍保持为直线，,b,b,a,a,m,m,n,n,m,b,b,a,a,m,n,n,M,M,取一矩形截面梁，在其表面画上横向线,m-m,n-n,和纵向线,a-a,b-b,。,变形后观察到：,9.1,梁横截面上的正应力,二、假设,1,）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；,2,）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压,.,中性层,推论：必有一层变形前后长度,不变的纤维；中性层,中性轴垂直于横截面对称轴,z,y,中性层与横截面的交线,称为中性轴（,z,轴）,z,y,对称轴,y,中性轴,z,M,M,9.1,梁横截面上的正应力,1,）变形几何方程,三、梁横截面上的正应力,y,O,O,n,x,n,n,O,O,n,n-n,纤维线应变：,变形前,变形后,q,r,d,),(,y,n,n,+,=,直梁纯弯曲时纵,向纤维的应变与,它到中性层的距,离成正比,.,9.1,梁横截面上的正应力,2,）物理方面,胡克定律,所以,M,y,z,O,x,直梁纯弯曲时横截面上任意,一点的正应力，与它到中性轴,的距离成正比,.,中性层的曲率半径,还未确定,但是中性轴的位置及,故还不能用上式计算正应力,9.1,梁横截面上的正应力,3,）静力学方面,横截面上内力系为垂直于横,截面的空间平行力系，这一,力系简化得到三个内力分量,.,y,z,x,O,d,A,d,A,z,y,M,（,1,）,（,2,）,（,3,）,9.1,梁横截面上的正应力,将应力表达式代入,( 1 ), ( 2 ), ( 3 ),式，有,:,=,得,中性轴通过横截面形心,=,得,横截面有对称轴自然满足,=,得,将,代入,9.1,梁横截面上的正应力,得到,纯弯曲时横截面上正应力的计算公式,:,M,为梁横截面上的弯矩；,y,为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；,I,z,为梁横截面对中性轴的惯性矩,.,9.1,梁横截面上的正应力,正应力公式的适用范围,（,1,）公式适用于梁的材料符合胡克定律，且最大应力不超过材料的比例极限。受拉，压时的弹性模量,E,一样材料。,（,2,）公式虽然是以矩形截面梁为例推导出的，但在推导过程中，未用到矩形截面梁的特殊性质。所以，对于所有横截面存在纵向对称轴的梁都适用。,（,3,）公式是在纯弯曲的前提下导出的。对于横力弯曲的梁，当梁的跨度与截面高度之比,L,/,h,5,时，应用公式计算应力误差不大。所以可用于横力弯曲的梁。,（,4,）公式中应力的正，负号虽然可以从,M,和,y,的正负号来确定。但从梁的变形情况判断更为简便。,9.2,弯曲正应力强度条件极其应用,则公式改写为,引用记号,抗弯截面系数,矩形截面,b,h,z,y,实心圆截面,z,d,y,9.2,弯曲正应力强度条件极其应用,z,D,d,y,空心圆截面,弯曲正应力强度条件,对于铸铁等,脆性材料,制成的梁，由于材料的,9.2,弯曲正应力强度条件极其应用,例,1,一矩形截面的木制简支梁如图示，求当此梁的横截面竖放和横放时最大应力。,解：,1,）计算最大弯矩,C,截面处弯矩最大,4m,q=1,kN,/,m,A,B,2m,+,l,/2,b,h,z,y,b,h,z,y,c,横放时：,竖放时：,2),计算抗弯截面系数,9.2,弯曲正应力强度条件极其应用,竖放时：,横放时：,3,）计算最大应力,可见竖放比横放合理。,9.2,弯曲正应力强度条件极其应用,例,2,T,形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示,.,铸铁的许用拉,应力为,t, = 30,MPa,，,许用压应力为,c, =160,MPa,.,已知截面对,形心轴,z,的惯性矩为,I,z,=763,cm,4,，,y,1,=,52,mm,，,校核梁的强度,.,80,y,1,y,2,20,20,120,z,F,1,=9kN,F,2,=4kN,A,C,B,D,1m,1m,1m,9.2,弯曲正应力强度条件极其应用,解：,1,）画弯矩图,F,RA,=,2.5,kN,F,RB,=,10.5,kN,F,1,=9kN,F,2,=4kN,A,C,B,D,1m,1m,1m,+,4kN,2.5kN,F,R,A,F,R,B,A,C,B,D,B,截面,C,截面,80,y,1,y,2,20,20,120,z,2,）校核强度,所以满足强度条件,9.2,弯曲正应力强度条件极其应用,例,3,一等直悬臂梁如图示，材料的许用应力,=170,Mpa,。试按正应力 强度条件选择下述截面的尺寸，并比较所耗费的材料。,1,）圆截面；,2,）高宽比,h/b,=2,的矩形截面；,3,）工字钢截面。,B,A,2m,q=20kN/m,b,h,z,y,z,d,y,y,z,解：,1,）画弯矩图,B,A,2,）确定截面尺寸 由弯曲正应力强度条件可得,：,9.2,弯曲正应力强度条件极其应用,1,圆截面,由,得,圆截面面积为,2,矩形截面,由,得,矩形截面面积为,3,工字钢截面 查表可选,20a,号工字钢，其,W,z,=237cm,3,，,横截面面积为,A,3,=3550mm,3,由于梁的长度已定，故所消耗的材料之比，就是横截面面积之比，由以上计算可得,A,1,:,A,2,:,A,3,=,1 : 0.709 : 0.252,可见工字钢截面最省材料，实心圆截面最费材料,9.3,弯曲切应力,一、矩形截面梁,假设,（,1,）横截面上,切应力方向与侧边平行；,（,2,）距中性轴等距离处切应力相等,（切应力沿截面宽度均匀分布）,q,(,x,),F,1,F,2,m,m,n,n,x,d,x,用横截面,m,-,m,n,-,n,从梁中截取,d,x,段,.,两,横截面上的弯矩不等,.,所以两截面同一,y,处的正应力也不等；,m,n,n,m,x,y,z,O,b,d,x,m,m,h,n,y,A,B,A,B,y,x,b,A,B,A,m,n,x,z,y,y,m,F,N2,F,N1,B,9.3,弯曲切应力,m,n,n,m,x,y,z,O,y,A,B,A,B,b,d,x,m,m,h,n,A,B,B,A,m,n,x,z,y,y,F,N1,F,N2,d,F,S,m,n,假想地从梁段上截出体积,mmBB,，,在两端面,mmAA,，,nnBB,上两个法向内力不等,.,在纵截面上必有沿,x,方向的,切向内力,d,F,S,.,故在此面上就有切应力,.,9.3,弯曲切应力,假设,m,-,m,，,n,-,n,上的弯矩为,M,和,M,+d,M,，两截面上,距中性轴,y,1,处的正应力为,1,和,2,A,B,B,A,m,n,x,z,y,y,m,F,N1,F,N2,d,F,S,A,1,式中：,A,1,为距中性轴为,y,的横线以外部分的横截面面积,.,为面积,A,1,对中性轴的静矩,.,由平衡方程,即,因为,得,整个横截面对中性轴的惯性矩,.,距中性轴为,y,处横线以下部分,横截面面积对中性轴的静矩,.,9.3,弯曲切应力,9.3,弯曲切应力,y,z,b,h/2,h/2,c,y,c1,y,可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化,.,c,y,=,h,/,2,（即在横截面上距中性轴最远处）,= 0,y=,0,（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值,z,max,式中，,A=,bh,为矩形截面的面积,.,c,9.3,弯曲切应力,二、工字形截面梁,t,min,o,z,y,t,max,z,研究方法与矩形截面同，切应力,的计算公式为,d,腹板的厚度,距中性轴为,y,的横线以下部分的横截,面面积,A,对中性轴的静矩,.,腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；最大切应力也在中性轴上,.,这也是,整个横截面上的最大切应力,.,腹板,翼缘,三、圆截面梁,9.3,弯曲切应力,y,d,z,O,在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周,相切,.,最大切应力发生在中性轴上,F,s,max,式中,为圆截面的面积,.,四、,z,r,0,y,薄壁环形截面梁,图示为一段薄壁环形截面梁,.,环壁厚度,为,，环的平均半径为,r,0,，,由于,r,0,故可假设切应力的方向与圆周相切,横截面上切应力的大小沿壁,厚无变化；,9.3,弯曲切应力,横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为,z,r,0,y,max,式中,A,=2,r,0,为环形截面的面积,9.4,弯曲切应力强度条件,需要校核切应力的几种特殊情况,梁的跨度较短，,M,较小，而,F,S,较大时,要校核切应力；,铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢 的相应比值时，要校核切应力；,9.4,弯曲切应力强度条件,例,4,简支梁如图示，它由工字钢,制成。已知,F,=,75,kN,L,=,2.5,m,，,材,料的许用应力,=160,Mpa,，,=100,Mpa,，,试选择工字钢号。,B,A,C,D,F,F,D,E,F,L,L,L,L,解：,1,）画剪力图和弯矩图,112.5,kN,112.5,kN,37.5,kN,37.5,kN,375,kN,m,281,kNm,281,kNm,F,A,=,F,B,=,112.5,kN,F,A,F,B,作出剪力图和弯矩图如图示,F,smax,=,112.5,kN,M,max,=,375,kN,m,2,）按正应力强度条件选择截面,c,查型钢表，选用,56,b,号工字钢,。,其,W,z,2446.69,cm,3,9.4,弯曲切应力强度条件,3,）按切应力强度条件校核,查表得,腹板厚度,d,=,14. 5,mm,满足切应力强度条件。因此选择,56,b,号工字钢,9.5,提高梁弯曲强度的一些措施,一、采用合理的界面形状,1.,在面积相等的情况下，选择抗弯截面系数大的截面,2.,根据材料特性选择截面形状,对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面,.,对于脆性材料制成的梁,宜采用,T,字形等对中性轴不对称的截面且将翼缘置于受拉侧,.,z,y,1,y,2,s,cmax,s,tmax,要使,y,1,/,y,2,接近下列关系：最大拉应,力和最大压应力同时接近许用应力,从例题,1,和例题,3,可知，竖放的巨形截面比横放的合理。在横截面,面积相等的情况下，工字形截面最合理，竖放的矩形次之，实心,圆截面最差。,9.5,提高梁弯曲强度的一些措施,二、采用变截面梁,按正应力强度条件选择梁截面尺寸时，是以最大弯矩为依据的。因此，除了最大弯矩所在截面外，其他截面的正应力较小，材料没有得到充分利用。所以，工程中有时采用变截面梁。最节约材料和减轻自重的情况是使梁各个截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，这样的梁称为等强度梁,.,F,9.5,提高梁弯曲强度的一些措施,三、合理安排梁的支座和载荷,合理安排梁的支座和载荷可以减小最大弯矩，得以提高梁的强度。,l,q,ql,2,/8,a,a,l,q,0.025,ql,2,当两端支座分别向跨中移动,a,=0.2,l,时，最大弯矩只有原来的,1/5,。,0.02,ql,2,F,l,Fl,/4,Fl,/8,F,l,/4,l,/4,l,/2,四、合理使用材料,不同材料的力学性能不同，应该尽量利用每一种材料的长处。如混凝土的抗拉能力远低于它的抗压能力，在用它制造梁时，在梁的受拉区放置钢筋，以提高梁承受拉的能力,把作用在梁中点的集中力分成两个集中力，最大弯矩降为,Fl,/8,.,9.5,提高梁弯曲强度的一些措施,