信与系统ch课件

*,信号与系统ch,第三章 连续信号的正交分解,Signal&System,Signal&System,Signal&System,*,引言,1.,LTI,连续时间系统的时域分析法,复杂信号,分解,若干个冲激函数,d,i,(t),h,i,(t),叠加,总响应,信号分解: 每个分量用同样形式的单元函数,e,(t),或,d,(t),来表示,信号的时域表示法,2. 单元函数的选择,一组坐标轴,构成,一个矢量空间,一个函数集 信号空间,常用正交坐标系,正交函数集,3.,正交函数集,定义,:,如有,n,个函数,g,1,(t),g,2,(t),g,n,(t),构成一个函数集，当这些函数在区间,（,t,1,t,2,）,内满足以下正交特性 ：,1,信号与系统ch,则称此函数集为在区间,（,t,1,t,2,）,内的正交函数集。,于是,信号 在区间,（,t,1,t,2,）,内可以用,n,个互相正交的函数表示为：,最佳近似系数：,2,信号与系统ch,与矢量分解相似，用一正交函数集中的分量去代表任意一个函数，这个函数集必须是一完备的正交函数集。,完备的正交函数集,有两种定义：,A.,如果用正交的函数集 在区间,（,t,1,t,2,）,内近似表示 ，若令 ，则称该函数集为完备的正交函数集。,此时,B.,如果在正交函数集 之外，不存在函数 ,( )满足等式:,则这个函数集称为完备的正交函数集。,3,信号与系统ch,如,三角函数集,在区间,（,t,0,t,0,+T）,( ),内为完备的正交函数集。,符合一定条件的任一信号可用三角函数集表示,，如,信号是频率的函数,信号在频域中的表示 (,频域分析,),4. 信号也可以表示为复频率(,s=,a,j,w,),的函数,（,复频域分析,）,4,信号与系统ch,一、信号表示为傅里叶级数,二、周期信号的频谱,三、傅里叶变换与非周期信号的频谱,四、傅立叶变换的基本性质,五、,常用信号的频谱函数（傅里叶变换）,六、帕色伐尔定理与能量频谱,5,信号与系统ch,一、,信号表示为傅里叶级数,（一）,傅里叶级数的三角形式,周期函数 在区间（,t,1,t,1,+T）,内可表示为：,（也可以令 中,n0,得到）,（直流分量）,6,信号与系统ch,合成一（角）频率为 的正弦分量,基波频率 ， ,n,次谐波频率,令,则,其中,可见:,(即在一定区间内，任一 可以用一直流分量和一系列谐波分量之和来表示）,7,信号与系统ch,8,信号与系统ch,9,信号与系统ch,(二),傅里叶级数的指数形式,尤拉公式：,即 指数项 余弦波,于是,10,信号与系统ch,上式说明： 可用函数集 来表示,（,n=0, ）,11,信号与系统ch,讨论：,1,意义,：,（ ）,并不代表负频率，各正、负指数项组成一个余弦（或正弦）波,2,求 之法,：用指数级数比用三角级数更方便，只需求出,3,求频谱,第,n,次谐波分量的复数振幅（包括振幅和相位）,(三 ),信号的对称条件及其与谐波含量的关系,1,偶函数,关于纵轴对称,若 则 为,t,的偶函数,12,信号与系统ch,此时,T 0 T t,即,偶函数只含有余弦分量,，直流分量可能有或无,2,奇函数,关于原点对称,若 则 为,t,的奇函数,此时,T/2 0 T/2 t,13,信号与系统ch,而,即,奇函数只含有正弦分量,注意：,函数的奇偶性由坐标轴的对称关系决定，故当移动坐标轴时，奇偶关系会改变,3,偶谐函数,半周期重叠,（,只含偶次谐波,）,若 则称 为偶谐函数,T/2 0 T/2 t,如 既是偶函数，又是偶谐函数 ,则,14,信号与系统ch,4,奇谐函数,半周期镜像对称（上、下对称）,满足 ,只含奇次谐波,f,1,(t),T/2 0 T/2 t,f,2,(t),T T t,如,f,2,(t),既是奇函数，又是奇谐函数,则,5.,任一函数都可分解成一个奇函数与一个偶函数之和,求,15,信号与系统ch,f(t),1,f(-t),-,T/2 T/2 t,f,od,(t),-1/2,f,ev,(t)=1/2,16,信号与系统ch,(四),傅里叶级数的时间位移性质,内容： 之复系数为,延迟,证明：,说明：在时间上延迟,t,0,对应于谐波分量的相位滞后了 ！,例,求 的表达式,17,信号与系统ch,f,a,(t),f,b,(t),A,T/2 0 T/2 t,-,T 0 T/2 T 2T t,解：,( ),18,信号与系统ch,作业：,3.7,、,3.9,、,3.10,19,信号与系统ch,二、周期信号的频谱,振幅频谱图,-信号各频率分量的振幅随角频率变化的图形,20,信号与系统ch,（一）,周期信号的频谱,例 求周期性矩形脉冲的展开式和频谱,脉冲宽度,T,脉冲周期,A,脉冲幅度,-,T -/2/2 T t,f(t),A,解：（1）求,f(t),的展开式,【方法一】用三角形式表示,因为,f(-t)=f(t),(,偶函数)， 所以,b,n,=0,21,信号与系统ch,抽样函数,【方法二】用指数形式表示,22,信号与系统ch,故,(2)求频谱,令,n=1,2,按频率高低依次排列即得频谱图,23,信号与系统ch,Sinx/x =Sa(x),0, 2 3 x,A,n,0 2,/ 4/ =n,T=6,:,n,=0 ,n,= ,n,=0,零点位置：,x = n/2 = m,n = m2/,即,=nm2/,时，,A,n,0,零点,又,2,/（T/）,(=2/T),A,n, /T,设,T=6,，,则,A,0,(2/6)A,2/=6,即每个包络内有5根谱线,相位谱： ,图,0 2,/ 4/ =n,24,信号与系统ch,其它方法：,振幅向量为实数,此时，,A,n,为负值，并不表示振幅为负，只表示,又如按,(,指数级数）,指数频谱图：,C,n,- 2/ 0 2/ 4/ =n,(关于纵轴对称，但并不表示有负频率，它只表示一对相应的正、负指数项合起来构成一个正弦分量,),A,0,A,n,=(2A/T)Sa(n/2),0,2,/ 4/ =n,T=6,:,25,信号与系统ch,(二),周期性矩形脉冲频谱的特点,1,离散性,2,谐波性,3,收敛性,讨论,：,T、,对信号频谱结构的影响,T,无限趋大时，谱线间隔无限趋小，振幅也无限趋小，,周期脉冲 非周期性单脉冲,非周期信号可看作 的周期信号问题,周期矩形脉冲的频谱的所有特点也是一切周期性信号的共同特点,C,n,0 2/ 4/ =n,26,信号与系统ch,(三),信号的频带宽度（频宽）,对于一个信号，,从零频率开始到需要考虑的最高分量的频率间的这段频率范围是信号所占有的频带宽度,，简称频宽。,定义（两种）：,从,0,到频谱包络线第一个零点间的频段,从,0,到振幅降为包络线最大值,1/10,间频段,讨论：,脉宽,与频宽成反比,表明：,时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。,27,信号与系统ch,作业：,3.5,28,信号与系统ch,三、傅里叶变换与非周期信号的频谱,周期信号：,同时 无穷小,（,一）,频谱函数（频谱密度函数）和傅立叶变换,式（1）乘以,T/2,:,29,信号与系统ch,定义：,量纲：,单位频带的振幅,频谱密度函数,偶函数，,奇函数,（二）,非周期信号的表达式傅立叶反变换,30,信号与系统ch,当,傅立叶反变换,简记为：,（三）,非周期信号的频谱,31,信号与系统ch,非周期信号也可分解为许多不同频率的正弦分量,但因,所以频谱不能直接用振幅作出，而必须用它的密度函数来作出。,令,周期信号的 和非周期信号的 可相互转换,32,信号与系统ch,（四）,非周期矩形脉冲的频谱分析,A,矩形之面积,f(t),A,-,/2 0 /2 t,【方法一,】,直接用定义式求,【方法二】直接用转换关系求,33,信号与系统ch,频谱图：,F(j),A,0,周期脉冲频谱包络线的形状和非周期单脉冲的频谱函数形状完全相同，所以，单脉冲信号的频谱也具有以下特点：,单脉冲信号的频谱也具有收敛性，即信号的大部分能量都集中在低频段；,当脉冲持续时间减小时，频谱的收敛速度变慢，即脉宽与频宽成反比。,34,信号与系统ch,四、傅里叶变换的基本性质,（一 ）,线性性质,若 ，,（二）,时移性质,若,则,含义：,信号在时域中延时和在频域中移相对应,。如正弦波在时间轴上的起点不同则相角随之变化。,例1,求 的频谱函数,A A,0, t -/2 /2 t,解：,35,信号与系统ch,0,例2,f,1,(t) A,-, 0 t,f,2,(t),（三）,移频性质,若,则,表明：,信号在时域中与因子 相乘，等效于频域中频率的转移,36,信号与系统ch,而,调幅过程,例,3,求,幅度调制信号的频谱函数,解：,A,-,/2 0 /2 t,A,A/2,-,c,0 ,c,t,37,信号与系统ch,解：,先求,直流信号 的频谱,例,4,求余弦信号 的频谱,则,当单个矩形脉冲（幅度,A=1),的持续时间无限趋大时就变成了直流信号，即,而,若令,则,38,信号与系统ch,即,直流信号的频谱是位于 处的冲激,于是,可见，周期余弦信号的频谱函数完全集中于 点，是位于 点的冲激函数，频谱中不包含任何其它成分。,（四）,尺度展缩(变换）性质,若,则,含义：,在时域内,信号 沿时间轴压缩至原来的 ,对应于频域中，它的频谱函数展宽 倍。,即信号的脉宽与频宽成反比。,39,信号与系统ch,证明：,（1）,令,(2),令,则,1,-,/2 0 /2 t,/4 /4 t,/2,40,信号与系统ch,(五),奇偶性质,如果 是,t,的实函数，且设,则有,(1),(2),(3),例,5,求单边指数信号的频谱,1,0,t,解:,41,信号与系统ch,0,例,6,求双边指数信号 的频谱,f(t),1,0,t,解：,2/,0,当,f(t),是偶函数时，其频谱必然是实数，且也为偶函数！,42,信号与系统ch,例,7,求单位符号函数,Sgn(t),的频谱,f,a,(t)=Sgn(t),1,-1,0,t,解: 观察,f,1,(t),1,f,1,(t),-1,于是,(1)求,F,1,（j,）,0,t,43,信号与系统ch,(2)求,F,a,（j）,当,f(t),为奇函数时，其频谱一定是虚数，且也为奇函数！,/2,-,/2,0,如果将信号,f(t),看作是由余弦“分量”所组成，其频谱图是单边的（即,0,）;,如果将信号看作是由虚指数函数所组成，由于它是对,从,到,积分，因此，频谱图应为双边谱.,44,信号与系统ch,(六),对称性质（互易性质）,含义：,信号的波形与信号的频谱的图形有着互相置换的关系。,如单位冲激信号 的频谱为：,即,从而,表明：,单位冲激信号具有无限宽的频带。,45,信号与系统ch,0,t,F(j),1,0,0,t,0,又如求取样函数,- 0,t,1,0,0,t,1,- 0,注意：,这种对称关系只适用于偶函数,。,46,信号与系统ch,(七),时间微分特性,若,则,含义：,信号对时间取导数，相当于在频域中用因子 去乘它的频谱函数,。,如正弦稳态分析中,例,8,求非周期镜像脉冲 的频谱函数,1,-1,解：,47,信号与系统ch, 0 t,(八),时间积分性质,若,则,证明：(1),(2),(3),48,信号与系统ch,设,则,含义：,信号对时间积分，相当于在频域中用因子 去除它的频谱函数,。,49,信号与系统ch,注意积分性质的应用条件,!,设,则,又,故一般可表示为,:,积分性质的应用条件是原函数在负无穷远处的函数值等于零,!,50,信号与系统ch,例,9,求三角形脉冲 的频谱函数,解：,（频带无限宽）, 0 t,1,-, 0 t,-1/,-, 0 t,(2/,),51,信号与系统ch,例,10,52,信号与系统ch,因为,所以,而,故,（九）,频域的微分与积分性质,若,运用积分性质从导函数的频谱求原函数的频谱时,原函数若不含直流分量,则其频谱就不含冲激函数,否则,其频谱等于导函数的频谱除以因子 后再加上直流分量的频谱,.,53,信号与系统ch,则,（十）,卷积定理,1,时域卷积定理,证明：,（变换积分次序）,54,信号与系统ch,例,11,求三角形脉冲 的频谱函数,1,f,1,(t) 1 f,2,(t),* =,0, 0 , ,=,0,-,/2 /2 t -/2 /2 t, f,(t),- 0 t,2,频域卷积定理,55,信号与系统ch,作业：,3.11,、,3.12,、,3.14(1)(2),、,3.15(1)(2)(3),、,3.17(a)(c)(c),、,3.20,、,3.21,56,信号与系统ch,五、常用信号的频谱函数,（一）,单位阶跃信号的频谱函数,1/2,+,0,t 0 t -1/2,、,57,信号与系统ch,注意：,阶跃信号与直流信号所含分量不同，因此它们是两种信号，其频谱函数也就不同。,（二）,虚指数信号的频谱,直接求：,为此考虑：,58,信号与系统ch,（三）,指数变幅正弦信号的频谱,（移频特性）,（移频特性）,59,信号与系统ch,（四）,周期信号的傅里叶变换,频谱密度函数,周期信号：,频谱函数：,表明：, 周期信号的频谱函数由无穷多个冲激函数组成，各个冲激位于各次谐波频率处；, 各个冲激的强度为各次谐波复振幅 的 倍。,60,信号与系统ch,求周期信号的频谱密度函数 之方法：,由,如均匀冲激序列,其复数振幅,其频谱密度为,-,T 0 T t,0,61,信号与系统ch,六、帕色伐尔定理与能量频谱,（一）,信号的能量,W,和平均功率,P,1.信号的能量：,信号 在 电阻上消耗的能量,2信号的平均功率：,信号 在 电阻上消耗的平均功率,3能量信号（能量有限信号）,能量为有限值（,W,有限值，,P=0,）,4. 功率信号,平均功率为有限值（,P,有限值，,W=,）,62,信号与系统ch,（二,）,帕色伐尔定理,由电路理论知：非正弦周期信号电流或电压的有效值等于该电流或电压中所含各项谐波分量有效值的平方和的平方根，即,其功率,写成一般形式：,表明：,对周期信号，,在时域中求得的信号功率与在频域中求得信号功率相等，,且频域中的信号功率表示为各谐波分量功率之和，其中每一分量的功率为该谐波的方均值。,63,信号与系统ch,帕色伐尔定理：,周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中各分量功率之和。,(三）,非周期信号的能量和能谱（能量密度频谱函数）,1,.,非周期信号的能量,64,信号与系统ch,表明：,对非周期信号，在时域中求得的信号能量与在频域中求得的信号能量相等。,雷利定理,2,.,非周期信号的能谱,非周期信号,其各频率分量的能量趋于无穷小,能量密度频谱（能谱）定义：,单位角频率中的能量，,以 表示,65,信号与系统ch,与 的关系：,例,A,-,/2 0 /2 t,A,0,(,A),2,/(2),0,(,A),2,/,0,66,信号与系统ch,3,.,非周期信号的脉冲宽度和频带宽度,脉冲宽度 定义：脉冲中集中了90信号能量的那段时间,频带宽度,0,t,0,B,S,频带宽度 定义：集中90信号能量的频带为占有频带,67,信号与系统ch,本章小结,一、周期信号的频谱及其特点,离散性、谐波性、收敛性,二、非周期信号的频谱密度函数,三、傅氏变换的性质,68,信号与系统ch,四、帕色伐尔定理与能量频谱,五、频带宽度,69,信号与系统ch,作业：,3.23,、,3.24,70,信号与系统ch,