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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,第一部分 数理逻辑,先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题：,一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽子。”,1,请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？,要回答这样的问题，实际上就是看由一些诸如“商人戴的是红帽子”这样的前提能否推出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的结论来。这又需要经历如下过程：,(1),什么是前提？有哪些前提？,(2),结论是什么？,(3),根据什么进行推理？,(4),怎么进行推理？,下面的第一章，第二章回答第一个问题。第三章回答第二、三个问题。,2,下图给出了逻辑部分的知识体系,3,例,1.1,判断下列句子是否为命题。,(1) 4,是素数。,(2),是无理数。,(3) x,大于,y,。,(4),月球上有冰。,(5) 2100,年元旦是晴天。,(6) ,大于吗？,(7),请不要吸烟！,(8),这朵花真美丽啊！,(9),我正在说假话。,能判定真假的陈述句称为,命题,作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的,真值,，真值只取两个值：真或假。真值为真的命题称为,真命题,，真值为假的命题称为,假命题,。,任何命题的真值都是唯一的。,判断给定句子是否为命题，应该分两步：首先判定它是否为陈述句，其次判断它是否有唯一的真值。,4,解,:,本题的,(9),个句子中，,(6),是疑问句，,(7),是祈使句，,(8),是感叹句，因而这,3,个句子都不是命题。剩下的,6,个句子都是陈述句，但,(3),无确定的真值，根据,x,y,的不同取值情况它可真可假，即无唯一的真值，因而不是命题。若,(9),的真值为真，即“我正在说假话”为真，也就是“我正在说真话”，则又推出,(9),的真值应为假；反之，若,(9),的真值为假，即“我正在说假话”为假，也就是“我正在说假话”，则又推出,(9),的真值应为真。于是,(9),既不为真又不为假，因此它不是命题。像,(9),这样由真推出假，又由假推出真的陈述句称为,悖论。,凡是悖论都不是命题。本例中，只有,(1),，,(2),，,(4),，,(5),是命题。,(1),为假命题，,(2),为真命题。虽然今天我们不知道,(4),，,(5),的真值，但它们的真值客观存在，而且是唯一的，将来总会知道,(4),的真值，到,2100,年元旦,(5),的真值就真相大白了。,5,罗素悖论,一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。,因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。,6,例,1.2,是有理数是不对的；,2,是偶素数；,2,或,4,是素数； 如果,2,是素数，则,3,也是素数；,2,是素数当且仅当,3,也是素数。 全是命题。,定义,1.1,设,p,为命题，复合命题“非,p”(,或“,p,的否定”,),称为,p,的,否定式,记作,p,，符号,称作,否定联结词,。并规定,p,为真当且仅当,p,为假。,定义,1.2,设,p,q,为二命题，复合命题“,p,并且,q”(,或“,p,与,q”),称为,p,与,q,的,合取式,，记作,pq,，,称作,合取联结词,。并规定,pq,为真当且仅当,p,与,q,同时为真。,定义,1.3,设,p,，,q,为二命题，复合命题“,p,或,q”,称作,p,与,q,的,析取式,，记作,pq,，,称作,析取联结词,。并规定,pq,为假当且仅当,p,与,q,同时为假。,注意,：按定义,1.3,在析取式,pq,中，若,p,，,q,都为真，则,pq,为真。 “或”还有另外一种用法：当,p,，,q,都为真时，析取起来为假。前者称为,相容或,，后者称为,排斥或,(,排异或,),。,7,例,1.3,将下列命题符号化。,(1),张晓静爱唱歌或爱听音乐。,(2),张晓静是江西人或安徽人。,(3),张晓静只能挑选,202,或,203,房间。,解,在解题时，先将原子命题符号化。,(1) p,：张晓静爱唱歌。,q,：张晓静爱听音乐。 显然,(1),中“或”为相容或，即,p,与,q,可以同时为真，符号化为,pq.,8,(2) r,：张晓静是江西人。,s,：张晓静是安徽人。,易知，,(2),中“或”应为排斥或，但,r,与,s,不能同时为真，因而也可以符号化为,rs.,(3) t,：张晓静挑选,202,房间。,u,：张晓静挑选,203,房间。由题意可知，,(3),中“或”应为排斥或。,t,，,u,的联合取值情况有四种：同真，同假，一真一假,(,两种情况,),。如果也符号化为,tu,，张晓静就可能同时得到两个房间，这违背题意。因而不能符号化为,tu.,如何达到只能挑一个房间的要求呢？可以使用多个联结词，符号化为,(tu)(tu),9,定义,1.4,设,p,，,q,为二命题，复合命题“如果,p,，则,q”,称作,p,与,q,的,蕴涵式,，记作,pq,，,称作,蕴涵联结词,。并规定,pq,为假当且仅当,p,为真,q,为假。,注意： 在使用联结词,时，要特别注意以下几点：,1,在自然语言里，特别是在数学中，,q,是,p,的必要条件有许多不同的叙述方式。例如，“只要,p,，就,q”,，“因为,p,，所以,q”,，“,p,仅当,q”,，“只有,q,才,p”,，“除非,q,才,p”,，“除非,q,，否则非,p”,等等。以上各种叙述方式表面看来有所不同，但都表达的是,q,是,p,的必要条件，因而所用联结词均应符号化为,，上述各种叙述方式都应符号化为,pq.,2,在自然语言中，“如果,p,，则,q”,中的前件,p,与后件,q,往往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，,p,与,q,可以无任何内在联系。,3,在数学或其它自然科学中，“如果,p,，则,q”,往往表达的是前件,p,为真，后件,q,也为真的推理关系。但在数理逻辑中，作为一种规定，当,p,为假时，无论,q,是真是假，,pq,均为真。也就是说，只有,p,为真,q,为假这一种情况使得复合命题,pq,为假。,10,定义,1.5,设,p,，,q,为二命题，复合命题“,p,当且仅当,q”,称作,p,与,q,的,等价式,，记作,pq,，称作,等价联结词,。并规定,pq,为真当且仅当,p,与,q,同时为真或同时为假。,以上定义了五种最基本、最常用、也是最重要的联结词,，,，,，,，将它们组成一个集合,，,，,，,，,，称为一个联结词集。其中,为一元联结词，其余的都是二元联结词。,11,通常用,1,表示真，用,0,表示假，复合命题的真假值如表,1.1,。,表,1.1,基本复合命题的真值,联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序：,( ),，,，,，,，,，对于同一优先级的联结词，先出现者先运算。,12,例,1.7,令,p,：北京比天津人口多。,q,：,2+2,4. r,：乌鸦是白色的。,求下列复合命题的真值：,(1) (pq)(pq)r (2) (qr)(pr) (3) (pr)(pr),解,p,，,q,，,r,的真值分别为,1,，,1,，,0,，容易算出,(1),，,(2),，,(3),的真值分别为,1,，,1,，,0,。,13,
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