信度理论课件

第七章信度理论,因此，信度理论就是研究这种加权过程的理论，包括信度权重公式的推导，以及对公式中出现的参数进行估计等内容。,当Z的值接近1时，表明实际损失数据提供的信息相当充分，据此足以获得正确的估费。而当Z的值接近0时，则只能基于先验信息估计，得到先验保费的估计值。,特别的，当Z=1时，称为,完全信度（Full Credibility）,。此时，只需根据实际损失数据，利用区间估计的方法计算保险费。,一般的，当0Z1时，称为,部分信度（Partial Credibility）,。在此种情况下，就需要研究如何合理确定Z值。,信度理论,（Credibility Theory）萌芽于20世纪20年代，至今已有80年的历史。最早的信度理论被意外险精算师应用于计算劳工赔偿保险费率。,信度理论泛指在获得索赔记录时系统地调整保险费率的各种概念和方法。当从一组保险合同中获得的数据不充分，因而无法提供风险费率的可靠估计时，就需要用到信度理论的方法。,信度理论,在非寿险精算理论与实务中具有重要地位。非寿险合同是补偿性合同，非寿险的损失与每个赔案的具体情况以及相应的法规情况密切相关，因而损失经验需要经常修正以适应不断变化的外部环境。非寿险精算师在厘定费率时，既要依据过去的经验（先验信息），也要根据风险情况的新变化加以调整。这是由非寿险经营的连续性所决定的。同时，在非寿险精算中，,一般不要求所有的估计都是无偏估计,，只要求若干个估计的总合是无偏的，这就是需要采用信度方法对各个估计进行合理的加权。,信度理论在精算科学中的应用可分为两种类型,第一类是横向应用，即在估计某个保险人、某风险类别或某个地区的索赔频率、索赔额或总损失时，若最相关的数据不充分，则可将该数据与从更为广泛的群体中得到的辅助性数据加以求和，这种辅助性数据可由其它风险类别、地区或其他保险人的经验得到。,第二类是纵向应用，也就是将信度方法用于时间序列，将序列本身早期的数据作为辅助性数据，与最新的观察值作加权平均，得到我们所需要的估计值。例如，在汽车损失险中，保险公司将上一年度损失频率和原有费率利用信度方法进行加权平均，得到更适应新情况的费率。,信度理论有两种基本方法：,有限波动（Limited Fluctuation）信度,，旨在控制数据中随机波动对估计的影响。,最大精度（Greatest Accuracy）信度,，试图使估计误差尽可能的小。,在最大精度信度方法中发展最完善的方法是最小平方信度（Least Squares Credibility），它力图使估计误差平方的期望值最小。,值得注意的是，在现代统计理论中也有许多用数据来调整更新前期估计的方法，如贝叶斯分析（Bayesian Analysis）方法。信度理论和贝叶斯分析一样，也同样用于修正先验信息，因此，信度尤其是,最小平方信度有时也称为贝叶斯信度,。,7.2 平衡 模型,组间平方和（记为SSB ）,问题：,方法：方差分析（ANOVA）,组内平方和（记为SSW ）,检验统计量,例7.2.1 （一个非齐次保单组合）设我们有如下的对3 个组5 年的观测数据：,结论是这些数据表明每组的平均理赔不全相等,模型改进：把理赔统计量作如下分解,其 中 和，是两个独立的随机变量，满足,我们称这样的模型,为,方差分量模型,模型中每个分量的解释如下：,1 是总平均，它等于该保单组合中任何一个保单持有人的理赔额的期望值,2. 表示第,j,个合同,j,的理赔与第 个合同理赔均值之间的随机偏差 .,3. 分量 ,表示理赔偏离长期平均值的大小,定理7 . 2 . 2 （平衡 模型；齐次估计量）设合同,J,在时间段,t,的理赔额 可以表示为如下的独立随机分量之和：,的最佳无偏预报量等于信度保费,其中,是最优信度因子,是,m,的整体估计，且,是,m,的组内估计值。,这个关于z的二次多项式当在z取如下值时达最小：,上面最后一个等号可以通过检验或补充如下一些必要的协方差的形式来证明,注7.2.3（最优信度因子的渐近性）,其中,这个均方误差可以改写成如下方差加上平方偏差之和：,估计量必然是无偏的,右边的第一项可以被改写为,它有一个最优值,例,7 . 2 . 5,（例,7.2.1,中的信度估计）,E,MSB,=aT+s,2,E,MSW,=s,2,例,7.2.1,最终的信度因子,注7 . 2 . 6 （估计风险保费）,对每一个随机变量,Y,，我们有,7 . 3 更一般的信度模型,注7.3.3 （通过一些风险参数来参数化）方差分量模型,即使在放松了一,些独立性假设后在实际应用中有时仍显过于苛刻,这是一个交叉分类模型,7 . 4 模型,(,模型）,我们需要用到下面一些记号:,这些最优值给出了风险保费 的最小均方误差估计量如下,该最优值是,和 的估计量分别基于下面的组间加权平方和,以及组内加权平方和,下面的定理要推导出一些无偏估计量，它们不依赖于通常未知的这些参数,定理7.4.2 （无偏参数估计）在 模型中,统计量,是对应的结构参数的无偏估计量,证明: 的证明是显然的,对于 我们有,注7.4.3（估计量的负性）,7.5 关于汽车保险理赔次数的负二项模型,可以证明,在伽玛 - 泊松模型中，和的极大似然估计 和为,且 是如下方程的解：,利用本节的模型，我们想尽可能准确地预测一个保单持有人在接下来的时间段 产生的理赔次数,接下来一年理赔次数的最佳预报量是 的后验期望：,预报（7.56）是信度预报的一个特殊形式该信度预报正比于先验保费和保单平均值的一个线性组合，这是因为（见（7.10) ) :,如果我们按照平均值原理把整个保单组合必须的保费分割开来，那么由于下面的一些原因，我们得到了一个基于信度的经验费率系统,