位移法习题课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,位移法习题,*,位移法习题课,位移法习题,一 力法与位移法比较,解超静定结构两种基本方法,力法,位移法,力学基础,未知量,以多余约束力为基本未知量,以结点的,关键位移,为基本未知量,主要特点,静定结构内力位移计算,确定未知量,将原结构转化为,三类基本结构,和静定部分,将超静定结构转化为静定结构的求解问题,静力平衡条件 力法,根据变形协调条件,根据结点和截面的平衡条件,位移法习题,位移法：以结点的,关键位移,为基本未知量，将原结构转化为,三类基本结构,和静定部分，根据结点和截面的平衡条件建立,位移法方程,。,基本未知量,1）结点角位移；,2）结点线位移；,基本假定,1）忽略受弯杆件的轴向、剪切变形；,2）弯曲变形是微小的，杆弯曲后两端距离不变,二 位移法基本未知量和基本结构,位移法习题,基本未知量,1）结点角位移-刚结点的转角,2）结点线位移-结点可能发生的线位移,基本结构,先锁、后松。,锁住将原结构转换成基本结构。把原结构的 整,体变形“拆成”孤立的杆件变形；,放松将基本结构还原成原结构。使附加约束不,起用，也就是让各杆件综合在一起时同,体系一样能够满足平衡条件。,二 位移法基本未知量和基本结构,位移法习题,位移法基本未知量数=关键位移数=附加约束总数,刚架位移法基本结构,图8-1,原结构,附加刚臂约束结点转角,附加链杆约束结点线位移,三类基本杆构件+静定部分基本结构,二 位移法基本未知量和基本结构,位移法习题,位移法基本未知量和基本结构,1.用四个刚臂约束四个刚结点的角位移,2.用两根链杆约束B,、,G点的水平位移,注意:,B,、,G两点的水平位移相同,C点水平和竖向位移不独立,结论:,结构的所有位移均已被约束,所有杆件均成为两端固定属三类基本构件.位移法基本未知量为六个,图8-1,位移法习题,位移法基本未知量和基本结构,图8-2,结论：,刚架有六个位移法基本未知量,思考：,若BD杆高于变截面处，情况如何？,2 高跨为阶梯形柱 影响 柱截面突变处有角位移,、,线位移未知量,问题特点：,1 横梁EH弯曲刚度EI=,影响 结点E,、,H转角为零,多两个未知量,位移法习题,位移法基本未知量和基本结构,一般结点可有两个独立位移,支座结点只有未被约束的位移,未知量数=2结点总数支座链杆数,注意:,若有静定部分,则应排除在外,结论:,该珩架位移法有六个位移量,桁架位移法未知量,图8-3,位移法习题,例1:试确定图8-4（a）刚架的位移法基本未知量,图8-4,问题:,1.有几个独立线位移?,两个,中间铰可有竖向位移不求出竖向位移内力无法求,2.支座处杆端转角是否作为未知量?,不必作为未知量,所有杆件已成为三类杆件,刚架的位移法基本未知量共四个,基本结构如图(b),结论:,二 位移法基本未知量和基本结构,位移法习题,三 等截面杆件的转角位移方程,1、研究目的,供位移法利用其结果，为位移法解超静定问题作,准备工作。,2、名词及符号规则,1）几种单跨超静定梁,按杆端支承形式分成三类：,（1）两端固支梁（图a）；,（2）一端固支、另端铰支梁（图b）；,（3）一端固支、另端滑动支承梁（图c）,图8-5,（a）,（c）,（b）,位移法习题,2）梁的线刚度：,3）杆端弯矩由端点位移引起的弯矩。,以M,AB,、M,BA,表示。符号规则：,对杆端，以顺时针转向为“+”；以逆时针转向,为“”。,4）固端弯矩仅由梁上载荷,引起的杆端弯矩。,以 、 表示。,符号规则：同杆端弯矩。,M,AB,M,AB,三 等截面杆件的转角位移方程,位移法习题,由迭加原理，,得总的杆端弯矩：,近角远角 侧移 固端弯矩,杆端弯矩的一般公式（习惯上称为两端固支单跨梁的转角位移方程）。,“近4远2侧负6，固端弯矩不能丢。”,方程的记忆的口诀：,等截面杆件的转角位移方程,A,B,B,AB,A,q,F,P,B,位移法习题,（3）,杆端剪力的,一般公式由迭加,原理，同样可得：,为紧凑起见，可把杆端弯矩、杆端剪力写成矩阵形式：,亦称为弯曲,杆件的刚度方程,位移法习题,（2）由迭加原理，得总的杆端弯矩 M,AB,：,方程记忆口诀：“近角3，侧负3，还要加固弯。”,注：,一端固支、一端铰支单跨梁的转角位移方程也可由两端固支转角位移方程推出，即：,一端固支、一端铰支单跨梁的转角位移方程。,A,q,F,P,B,B,AB,A,图8-19,位移法习题,5、一端固支、一端滑动支座单跨梁,图8-6所示梁同时受到,A,、,荷载,共同作用，其转角位移方程（杆端弯矩计算公式）可由两端固支梁的杆端剪力计算公式推出。,再代入两端固支梁的,转角位移方程，得：,A,q,F,P,B,B,A,M,AB,图8-6,M,BA,-,不是独立的参数,三 等截面杆件的转角位移方程,即令,B,=0 F,QBA,=0 -6i,A,/L-6i,B,/L+12i/L2,=0得,/L= ,A,/2,位移法习题,等截面超静定梁的形常数和载常数表,位移法习题, 7.3.6,等截面超静定梁的形常数和载常数表,位移法习题, 7.3.7,等截面超静定梁的形常数和载常数表,位移法习题,四 位移法原理与位移法方程,位移法原理,以关键位移为基本未知量,附加刚臂 链杆,约束关键位移,基本结构,由结点和截面平衡条件解出关键位移,满足平衡则为真解,将外荷栽和关键位移作用于各杆件,求出杆端力,关键：,建立与关键位移相应的结点和截面平衡方程,位移法方程,位移法习题,Z,1,Zn单独作用,外荷载单独作用,结点弯矩平衡,结面内外力平衡,绘M,i,图M,p,图,位移法原理与位移法方程,典型方程法,将杆端力视作各影响因素单独作用效果的叠加,方法一：,附加刚臂 链杆锁住关键位移,位移法方程,例2,图8-7,位移法习题,四 位移法原理与位移法方程,位移法习题,直接利用转角位移方程,外荷载和全部关键位移同时发生,利用转角位移方程写出杆端弯矩剪力,位移法方程,结点弯矩平衡,截面内外力平衡,位移法原理与位移法方程,问题：,1。位移法方程的物理意义？,平衡方程,2，变形协调条件何处体现,设定关键位移时已体现,方法二：,位移法习题,典型方程法,图8-7刚架,位移法方程,问题:求出全部系数和自由项,意义:在实际荷载和关键位移作用下，各附加约束力之和为零,系数项物理意义,外荷载产生的各附加约束反力,R,1P,、,R,2P,、,R,3P,注意：实际结构无附 加约束存在,r,11,r,21,r,31,Z,1,=1产生的各附加约束反力,Z,2,=1产生的各附加约束反力,Z,3,=1产生的各附加约束反力,r,12,r,22,r,32,r,13,r,23,r,33,自由项物理意义,r,11,Z,1,+r,12,Z,2,+r,13,Z,3,+F,R1P,=0,r,21,Z1+r,22,Z2+r,23,Z3+F,R2P,=0,r,31,Z1+r,32,Z2+r,33,Z3+F,R3P,=0,r,11,Z,1,+r,12,Z,2,+r,13,Z,3,+R,1P,=0,r,21,Z1+r,22,Z2+r,23,Z3+R,2P,=0,r,31,Z1+r,32,Z2+r,33,Z3+R,3P,=0,位移法习题,典型方程法：求系数,注意：附加约束力与关键位移方向一致为正,由横梁X=0得,r,31,= -6,i/l,=,r,13,由,M,c,=0得,r,11,=4,i+8i,=,12i,由,M,D,=0得,r,21,=4,i,=,r,12,位移法习题,典型方程法：求系数,注意：附加约束力与关键位移方向一致为正,由横梁,X=0,得,r,32,=-(4,i +2i,),/ l=- 6i/l=r,23,有结点C Mc=0得r,12,=4i=r,21,有结点DM,D,=0得r,22,=4i+8i=12i,位移法习题,典型方程法：求系数,注意：附加约束力与关键位移方向一致为正,有结点C Mc=0得r,13,=-6i/,l,=r,31,有结DM,D,=0得r,23,=r,32,=-6i/,l,由横梁X=0得,r,33,=2(6i+6i)/,l,=24i /,l,位移法习题,典型方程法：求自由项,注意：附加约束力与关键位移方向一致为正,有结点C Mc=0得R,1,p=-ql,2,/12,有结点DM,D,=0,得R,2,p=ql,2,/12,由横梁X=0得R,3,p=-F,P,位移法习题,典型方程法：图8-7刚架,系数项：,带入位移法典型方程，求得Z,1,Z,2,和Z,3,自由项：,R,1p,=-ql,2,/12,R,2p,=ql,2,/12,R,3p,=-F,P,r,11,=12,i r,22,=12,i r,33,=24,i /l,2,r,12,=r,21,=4,i,r,13,=r,31,=-6i/,l,r,23,=r,32,=-6i/,l,12iZ,1,+4iZ,2,-6iZ,3,-ql,2,/12=0,4iZ,1,+12iZ,2,-6iZ,3,+ql,2,/12=0,-6iZ,1,-6iZ,2,+24i/l2Z,3,-F,P,=0,位移法习题,位移法典型方程,不同结构相同的方程形式,（8-4）,方程物理意义,R,ij,自由项,-外荷载产生的相应Z,i,的附加约束反力,可正可负可为零,r,ij,主系数,Z,j,1产生相应在Z,i,的附加约束反力,可正可负可为零,有反力互等定理r,ij,=r,ji,r,ii,主系数,Z,i,1产生相应在Z,i,的附加约束反力,恒正,在实际荷载和关键位移作用下，各附加约束力之和为零。,系数物理意义,r,11,Z,1,+r,12,Z,2,+,+,r,1n,Z,n,+R,1P,=0,r,21,Z,1,+r,22,Z,2,+,+,r,2n,Z,n,+R,2P,=0,r,31,Z,1,+r,32,Z,2,+,+,r,nn,Z,n,+R,nP,=0, ,位移法习题,位移法典型方程,典型方程也可以写成矩阵形式,rZ+R,P,=0,r称为刚度矩阵，,Z成为未知位移向量，R,p,为载荷引起的附加约 束力向量,位移法方程是一个线性代数方程求解这一方程足可以得到全部基本未知量,r,11,Z,1,+r,12,Z,2,+,+,r,1n,Z,n,+R,1P,=0,r,21,Z,1,+r,22,Z,2,+,+,r,2n,Z,n,+R,2P,=0,r,31,Z,1,+r,32,Z,2,+,+,r,nn,Z,n,+R,nP,=0, ,位移法习题,位移法典型方程,最后，杆端弯矩和剪力可以根据转角位移方程求算，也可根据叠加原理用下式计算：,M,i,F,Ni,F,Qi,分别是基本结构由于Zi=1的作用而产生的内力，M,P,、,F,QP,和F,NP,则分别是基本结构由于荷载作用而产生的内力。,M=M,1,Z,1,+M,2,Z,2,+,+M,n,Z,N,+M,p,F,Q,=F,Q1,Z,1,+F,Q2,Z,2,+F,Qn,Z,n,+F,NQP,F,N,=F,N1,Z,1,+F,N2,Z,2,+F,Nn,Z,n,+F,NP,8-5,位移法习题,直接利用平衡条件建立位移法方程,1、基本原理,先拆、后装。即：,1）化整为零,逐杆导出杆端弯矩式（有线位移的还需导出剪力式）；,2）拼零为整,汇交于刚结点的各杆端弯矩应满足平衡条件（有线位移的还需取脱离体，建立剪力平衡条件）。,2、解题步骤与方法,1）确定基本未知量,定基本未知量数目，并标在相应结点处；,位移法习题,2）导出各杆端弯矩和剪力表达式,根据变形与载荷情况，由转角位移方程，导出用基本未知量表示的各种杆端弯矩表达式，有线位移时还需导出剪力表达式；,3）建立求解基本未知量的平衡方程,利用原结构刚结点的力矩平衡条件和结构中某一部分的平衡条件（通常为横梁部分的剪力平衡条件）或整体的平衡条件，建立求解基本未知量的方程组；,直接利用平衡条件建立位移法方程,位移法习题,4）解方程组，求解基本未知量；,5）将所求未知量回代第2步，求得各种杆端内力,6）作内力图M、F,Q,图；,7）校核,刚结点是否满足力矩平衡条件和结构某部分,或整体是否满足投影平衡条件。,直接利用平衡条件建立位移法方程,位移法习题,直接利用平衡条件建立位移法方程,4iZ,1,+8iZ,2,（b）M图,C,D,8iZ,1,+4iZ,2,（c）图,4iZ,1,-6i/,l,Z,3,C,A,2iZ,1,-6i/,l,Z,3,4iZ,2,-,6i/,l,Z3,2iZ,2,-6i/,l,Z,3,（d）图,D,B,拆：将原结构变为三类杆件,图8-21,位移法习题,8-5 直接利用平衡条件建立位移法方程,杆端力表达式（利用转角位移方程）,M,AC,= 2i,Z,1,-6,i,/,lZ,3,M,CA,= 4i,Z,1,-6,i,/,lZ,3,M,BD,= 2i,Z,2,-6,i,/,lZ,3,M,DB,= 4i,Z,2,-6,i,/,lZ,3,M,DC,= 8i,Z,2,+4iZ,1,+ql,2,/,12,M,CD,= 8i,Z,1,+4iZ,2,-ql,2,/,12,F,QCA,= -6i/,l,Z,1,+,12i/l,2,Z,2,F,QDB,= -6i/,l,Z,2,+,12i/l,2,Z,3,位移法习题,8-5 直接利用平衡条件建立位移法方程,合：建立位移法方程,方程一：12,iZ,1,+4,i,Z,2,-6i/,l,Z,3,-ql,2,/,12=0,M,DC,= 8i,Z,2,+4iZ,1,+ql,2,/,12,M,DB,= 4i,Z,2,-6,i,/,lZ,3,方程二：,4,iZ,1,+12,i,Z,2,-6i/,l,Z,3,+ql,2,/,12=0,M,CD,= 8i,Z,1,+4iZ,2,-ql,2,/,12,M,CA,= 4i,Z,1,-6,i,/,lZ,3,取结点C为隔离体,取结点D为隔离体,M,CA,+ M,CD,=,0,由Mc=0得,M,DC,+ M,DB,=,0,由M,D,=0得,位移法习题,直接利用平衡条件建立位移法方程,F,QCA,= -6i/,l,Z,1,+,12i/l,2,Z,2,F,QDB,= -6i/,l,Z,2,+,12i/l,2,Z,3,方程三：6i/,l,Z,1,-6i/,l,Z,2,+24i/,l,2,Z,3,-F,P,=0,6i/,l,Z1-6i/,l,Z2+24i/,l,2Z3-FP=0,12,iZ,1+4,i,Z2-6i/,l,Z3-ql2/,12=0,4,iZ,1+12,i,Z2-6i/,l,Z3+ql2/,12=0,取横梁CD为隔离体,F,QCA,+,F,QDB,-,F,P,=0,由横梁X=0得,位移法方程与典型方程法所得方程相同,求得Z,1,Z,2,Z,3,代入转角位移方程即可求得各杆端力,得位移法方程：,位移法习题,刚架受力分析步骤分析：,(1)确定结构的未知量，即关键位移。 对于典型方程 法 还应画出附加刚臂和链杆约束下的基本结构，并将外荷载作由于基本结构。,（2）建立位移法方程。 对于典型方程法，应先分别画出 各单位弯矩图和荷载弯矩图，并求出各系数和自由项；平衡方程法则应先列出各杆件各杆端弯矩表达式，并根据截面平衡需要列出相应杆件的建立表达式。,（3）求解位移法方程，得基本未知量，即关键位移。,（4）求出各杆件的杆端力并做出内力图。可以利用转角 位移方程或者利用(8-12)求的内力。,行架受力分析步骤相同，杆端力按材力公式求。,位移法习题,4超静定行架,求解超静定行架的特点? 必须考虑杆件的轴向变形,平面行架每个自由结点有两个方向的独立线位移,位移法未知量个数=2结点数-支座约束数,位移法方程物理意义？ 结点平衡方程,力法方程未知量数目？ 1个 1次超静定,位移法未知量数目？ 23-4=2个,结论:,1.手算时，用力法未知量少,计算量少。,2.电算时，用位移法易编程便于计算机求解。,分析图8-26:,图8-28,位移法习题,例2 试计算图示正三角形行架的内力。已知各杆件EA相同,解：两个基本未知量 基本结构图（b）,(a),(b),(c),r,11,Z,1,+r,12,Z,2,+R,1P,=0,r,21,Z,1,+r,22,Z,2,+R,2P,=0,基本方程,当Z,1,=1单独作用时，行架各杆长度的变化可根据几何条件求出，据此可求单位轴力图F,N1,r,11,=EA/l+EA/2l1/2=5EA/4l,由铰B水平方向的平衡条件得,r,11,=-EA/2L /2,位移法习题,当Z,2,=1单独作用时，行架各杆长度的变化可根据几何条件求出，据此可求单位轴力图F,N2,当荷载单独作用时，行架各杆长度的变化可根据几何条件求出，据此可求荷载轴力图F,NP,R,1P,=0,R,2P,=-27KN,r,22,=2,EA/2l * /2=3EA/2l,5EA/4l Z,1,- EA/4l=0,- EA/4lZ,1,+3EA/2lZ,2,-27=0,Z,1,=4,l/,EA,Z,2,=20,/EA,位移法习题,位移法习题,位移法习题,位移法习题,位移法习题,