偏导数的几何应用课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,偏导数的几何应用,28,/27,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,第七节 偏导数的几何应用,三、小结,四、作业,偏导数的几何应用,设空间曲线的方程,(1),式中的三个函数均,可导,.,1.,空间曲线的方程为参数方程,一、空间曲线的切线与法平面,偏导数的几何应用,考察割线趋近于极限位置,上式分母同除以,割线 的方程为,切线的过程,偏导数的几何应用,曲线在,M,处的切线方程,切向量,法平面,切线的方向向量称为曲线在点,M,处的切向量,.,过,M,点且与切线垂直的平面,.,偏导数的几何应用,解,.,切线方程,法平面方程,例,1.,即,偏导数的几何应用,设曲线直角坐标方程为,法平面方程为,2.,空间曲线的方程为,曲线的参数方程是,由前面得到的结果,在,M,(,x,0,y,0,z,0,),处,令,切线方程为,x,为参数,两个柱面,的交线,偏导数的几何应用,例,2.,在抛物柱面 与 的交线上,求对应 的点处的,切向量,.,x,为参数,于是,解,.,所以交线上与,对应点的切向量为,:,交线的参数方程为,取,偏导数的几何应用,设空间曲线方程为,3,.,空间曲线的方程为,确定了隐函数,(,此曲线方程仍可用方程组,两边分别对,表示,.),x,求全导数,:,两个曲面,的交线,偏导数的几何应用,利用,2.,结果,偏导数的几何应用,法平面方程为,切线方程为,在点,M,(,x,0,y,0,z,0,),处的,偏导数的几何应用,解,.,例,3.,切线方程和法平面方程,.,切线方程,将所给方程的两边对,x,求导,法一,偏导数的几何应用,法平面方程,法二,偏导数的几何应用,法三 公式法,偏导数的几何应用,设曲线,证,.,因原点,即,于是,证明此曲线必在以原点为,的,法平面都过原点,在任一点,中心的某球面上.,曲线过该点的法平面方程为,故有,在法平面上,任取曲线上一点,例,4.,偏导数的几何应用,今在曲面,上任取一条,1.,设曲面,的方程为,的情形,隐式方程,二、曲面的切平面与法线,函数,的偏导数在该点连续且不同 时为零,.,点,M,对应于参数,不全为零,.,过点,M,的,曲线,设其参数,方程为,偏导数的几何应用,由于曲线,在曲面,上,所以,在恒等式两端对,t,求全导数,并令,则得,若记向量,曲线,在点,M,处切线的方向向量记为,则,式可改写成,即向量,垂直,.,偏导数的几何应用,因为曲线,是曲面,上过点,M,的,任意,一条曲线,所有这些曲线在点,M,的切线都与同一向量,垂直,因此这些切线必共面,称为曲面,在点,M,的,过点,M,且垂直于切,法线,又是法线的方向向量,.,向量,称为曲,法向量,.,切平面,由切线形成的这一,平面,平面的直线称为曲面,在,点,M,的,面,在,点,M,的,偏导数的几何应用,曲面在,M,(,x,0,y,0,z,0,),处的法向量,:,切平面方程为,法线方程为,所以曲面,上在点,M,的,偏导数的几何应用,解,.,令,切平面方程,法线方程,例,5.,偏导数的几何应用,2.,曲面方程形为 的情形,曲面在,M,处的,切平面方程,为,曲面在,M,处的,法线方程,为,令,或,显式方程,偏导数的几何应用,其中,法向量,表示曲面的法向量的方向角,并假定,法向量的方向是向上,的,即使得它与,z,轴的正向所成的角,是,锐角,则法向量的,方向余弦为,注释,1,：,关于,偏导数的几何应用,因为,(,第三个分量为负,),求旋转抛物面 在任意点,P,(,x,y,z,),处,向上,的法向量,(,即与,z,轴夹角为锐角的法向量,).,解,.,而,为,向下,的法向量,故,向上,的法向量应为,:,例,6.,偏导数的几何应用,因为曲面在,M,处的切平面方程,:,全微分的几何意义,表示,切平面上的点的竖坐标的增量,.,切平面上点的竖坐标的增量,注释,2,：,偏导数的几何应用,例,7.,解,.,过直线,L,的平面束方程为,即,其,法向量,为,求过直线,L,且与曲面,相切之切平面方程,.,偏导数的几何应用,设曲面与切平面的切点为,则,因而,故,所求切平面方程为,或,即,或,偏导数的几何应用,解,.,令,得到的旋转面在点,处的指向外侧的,单位法向量为,( ).,旋转面方程为,练习,偏导数的几何应用,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,三、小结,(,空间曲线三种不同形式方程的切线与法平面的求法,.,当空间曲线方程为一般式时,求切向量可采用,公式法、,推导法,或用,向量代数法,),(,注意,:,空间曲面两种不同形式方程以及,求法向量的方向余弦时的,符号,),偏导数的几何应用,四、作业,习题,6-7,(111,页,),3. 4. 6. 10.,偏导数的几何应用,