《计量经济学（第四版）》课件3.5 可化为线性的多元非线性模型

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.5,可化为线性的多元非线性模型,一、模型的类型与变换,二、非线性回归实例,三、非线性最小二乘估计,说 明,在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。,如著名的,恩格尔曲线,(Engle curves),表现为,幂函数曲线,形式、宏观经济学中的,菲利普斯曲线,（,Pillips,cuves,）表现为,双曲线,形式等。,但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归模型的理论方法。,一、模型的类型与变换,1,、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换,一般讲，,关于解释变量的非线性问题（例如倒数关系、多项式关系）都可以通过变量置换变成为线性问题,。,例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：,s = a + b r + c r,2,，,c0,，,s,：税收，,r,：税率,设,X1 = r,，,X2 = r,2,， 则原方程变换为：,s = a + b X1 + c X2,，,c0,2,、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法,关于参数的非线性问题，函数变换是常用的方法。,例如，,Cobb-,Dauglas,生产函数为幂函数：,Q = AK,L,，,Q,：产出量，,K,：投入的资本；,L,：投入的劳动,对方程进行对数变换，得到线性模型：,ln,Q =,ln,A +,ln,K + ,ln,L,3,、复杂函数模型与级数展开法,对于不能采用变量置换和函数变换的复杂的非线性模型，可以采用级数展开方法将其变换为线性模型。,方程两边取对数后，得到：,(,1,+,2,=1,),Q:,产出量，,K,：资本投入，,L,：劳动投入,：替代参数， ,1,、,2,：分配参数,例如，常替代弹性,CES,生产函数,将式中,ln(,1,K,-,+ ,2,L,-,),在,=0,处展开台劳级数,取关于,的线性项，即得到一个线性近似式。,如取,0,阶、,1,阶、,2,阶项，可得,二、实例,建立中国工业生产函数模型（两要素）,Y,为总产出，,K,、,L,分别为资本、劳动投入要素,变换为线性模型,未施加约束，,回归结果表明：,lnY,变化的,94.1%,可由资本与劳动投入的变化来解释。,变换后，模型的线性关系显著成立。,lnK,、,lnL,参数显著地异于零。,资本投入与劳动投入的产出弹性之和为,0.967,，接近于,1,。,施加规模报酬不变约束，,回归结果表明：,Ln(K,/L),前的参数在,1%,的显著性水平下显著地异于零，表明劳均资本增加，会促使劳均工业总产值的增加，劳均产出关于劳均资本投入的弹性值为,0.687,。,将回归函数展开，与未加约束的估计结果比较，差别很小，表明施加规模报酬不变约束是可行的。,三、非线性最小二乘估计,普通最小二乘原理,残差平方和,取极小值的一阶条件,如何求解非线性方程？,高斯牛顿,(Gauss-Newton),迭代法,高斯牛顿迭代法的原理,对原始模型展开台劳级数，取一阶近似值,构造并估计线性伪模型,构造线性模型,估计得到参数的第,1,次迭代值,迭代,高斯牛顿迭代法的步骤,牛顿拉夫森,(Newton-,Raphson,),迭代法,自学，掌握以下,2,个要点,牛顿拉夫森迭代法的原理,对残差平方和展开台劳级数，取二阶近似值；,对残差平方和的近似值求极值；,迭代。,与高斯牛顿迭代法的区别,直接对残差平方和展开台劳级数，而不是对其中的原模型展开；,取二阶近似值，而不是取一阶近似值,。,应用中的一个困难,如何保证迭代所逼近的是总体极小值（即最小值）而不是局部极小值？,一般方法是模拟试验：随机产生初始值估计改变初始值再估计反复试验，设定收敛标准（例如,100,次连续估计结果相同）直到收敛。,非线性普通最小二乘法在软件中的实现,给定初值,写出模型,估计模型,改变初值,反复估计,例题,估计例,3.5.1,建立中国工业生产函数模型,与原双对数线性模型的估计结果相比，无论是常数项、还是资本投入,K,或劳动投入,L,项，相应参数的估计结果都较为接近，且都通过了,1%,显著性水平的检验。,7,、讨论,一般情况下，线性化估计和非线性估计结果差异不大。如果差异较大，在确认非线性估计结果为总体最小时，应该怀疑和检验线性模型。,非线性估计确实存在局部极小问题。,根据参数的经济意义和数值范围选取迭代初值。,NLS,估计的异方差和序列相关问题。,NLS,不能直接处理。,应用最大似然估计。,