一节定积分概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第一节 定积分的概念,一、引入定积分概念的实例,二、定积分,的概念,三,、定积分,的存在定理,四、定积分的基本性质,1,一、引入定积分概念的实例,引例,1,曲边梯形的面积,曲边梯形,设函数,f,(,x,)在区间,a,b,(,a,b,)上非负且连续,由曲线,y=f,(,x,),直线,x=a,x=b,及,x,轴围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧,y=f,(,x,),称为,曲边,线段,ab,称为,底边,.,2,问题 求由,x=a,x=b,y=,0,与,y=f,(,x,),所围成的曲边梯形的面积.,3,求曲边梯形的面积,A,的具体做法：,(1)分割,在(,a,b,)内插入,n,1个分点,过每个,分点,x,i,(,i,=1,2,n,)作,y,轴的平行线，将,曲,边梯形分割成,n,个小曲边梯形.,记每一个小区间,的长度为,把区间,a,b,分成,n,个小区间,4,(2)近似、求和.,在每一个小区间,x,i,-1,x,i,上任取一点,i,以,x,i,为底边,以,f,(,i,)为高作小矩形,其面积为,f,(,i,) ,x,i,.,以此作相应的小曲边梯形面积的近似值,即,n,个小矩形面积的和即为整个曲边梯形的近似值,5,我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限”的方法解决变力作功的问题.,(3)取极限,记所有小区间长度的最大值为,当,0时和式 (,n,个小矩形面积之和)的极限存在,则定义极限值为曲边梯形面积,即,6,引例2,变力做功,设一物体作直线运动,受到与运动方向平行的力的作用,当力,F,是恒力时,物体位移为,s,力,F,所做的功就是,w,=,Fs,.,但实际问题中,物体在运动中受力常常不是恒力,此时不能直接用上述公式计算变力所做的功.如果已知,F,(,s,)是位移,s,的连续函数,物体位移区间为,a,b,(即位移,s,从,a,变到,b,).则所求功显然取决于位移区间及定义在这个区间上的函数,F,(,s,).如果把位移区间分成许多小区间，总功应等于对应于各小区间上变力所做功之总和.,7,计算步骤,(1),分割,8,以上两问题虽然不同，但解决问题的方法却相同，即归结为求同一结构的总和的极限.由此引入,定积分,的概念.,9,在每个小区间 任取一点 作和式,二、定积分的概念,定义5.1,设函数,f,(,x,)在区间,a,b,上有界,在(,a,b,)内插入,n,1个分点,各小区间的长度为,把区间,a,b,分为,n,个小区间,10,定积分,(简称,积分,),其中,f,(,x,)叫做,被积函数,，,f,(,x,)d,x,叫做,被积表达式,，,x,叫做,积分变量,，,a,叫做,积分下限,，,b,叫做,积分上限,，,a,b,叫做,积分区间,.,11,根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可,以用定积分概念来描述：,曲线 、,x,轴及两条直线,x=a,x=b,所围成的曲边梯形面积,A,等于函数,f,(,x,)在区间,a,b,上的定积,分，即,物体在变力,F,(,s,)作用下作直线运动，由起始位置,a,移动到,b,，变力对物体所做之功等于函数,F,(,s,)在,a,b,上的定积分，即,12,如果函数,f,(,x,)在区间,a,b,上的定积分存在，则称函数,f,(,x,)在区间,a,b,上可积.,13,关于定积分的概念，还应注意两点:,(1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值,定积分值只与被积函数,f,(,x,)及积分区间,a,b,有关,而与积分变量的记法无关.即有,(2),在定积分 的定义中,总假设,为了今后使用方便，对于 的情况作如下规定：,14,定积分的几何意义：,如果在,a,b,上 ，则 在几何上表示由曲线,y=f,(,x,)，直线,x=a,，,x=b,及,x,轴所围成的曲边梯形的面积.,15,如果在,a,b,上 ,此时由曲线,y=f,(,x,),直线,x=a,，,x=b,及,x,轴所围成的曲边梯形位于,x,轴的下方,则定积分 在几何上表示上述曲边梯形的面积,A,的相反数.,16,如果在,a,b,上,f,(,x,)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线,y=f,(,x,)，直线,x=a,，,x=b,及,x,轴之间的各部分面积的代数和.,17,三,、定积分,的存在定理,定理5.1,定理5.2,18,例1,用定义计算,解,(1)分割.插入,n,1个分点把区间0,1分成,n,等分,各分点的坐标依次是,每个小区间的长度均为,(2)近似、求和.取每各小区间 右端点为,i,即,作乘积,19,这里用了正整数平方和公式,(3)取极限.当 , 时取极限,得,所以所求的定积分,20,性质,1,函数的和(或差)的定积分等于它们的定积分的和(或差),证明,设各性质中涉及的函数都是可积,.,四、定积分的基本性质,21,推论,有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即,22,性质,2,被积函数中的常数因子可以提到积分号前面,即,证明,23,性质,3,如果积分区间,a,b,被分点,c,分成区间,a,c,和,c,b,则,性质6.3表明定积分对积分区间具有,可加性,，这个性质可以用于求分段函数的定积分.,按定积分的补充规定有:不论,a,b,c,的相对位置如何(如,a,b,c,c,a,b,等),总有等式,24,利用定积分的几何意义，可分别求出,例,2,已知,解,25,性质,4,性质,5,推论,1,26,性质,6 (估值定理),证明,由性质6.2和性质6.4,可得,27,曲边梯形的面积小于由,y=M,，,x=a，x=b,及,x,轴所围成的矩形面积，而大于由,y=m,，,x=a，x=b,及,x,轴所围成的矩形面积.,性质,6,的几何意义,：,28,例,3,解,29,性质,7(,定积分中值定理),如果函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上,连续,，则在积分区间,a,b,上至少存在一个点,使下式成立,证明,因为函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，,f,(,x,)在,a,b,上一定有最大值,M,和最小值,m,，由定积分的性质 6，有,30,即数值 介于,f,(,x,)在,a,b,上的最大值,M,和最小值,m,之间.,31,性质,7,的几何意义：,32,如果函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续，我们称,为函数,f,(,x,)在,a,b,上的平均值.,33,