希尔伯特第十六问题二

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,（二）有关极限环的研究,1,(二)极限环的存在性,定义 设系统,具有闭轨线C.假如在C的充分小邻域中，,除C之外，轨线全不是闭轨线，,且这些非闭轨线当,或,时趋近于闭轨线C，,则说闭轨线C是孤立的，,并称之为(1)的一个极限环。,2,的非平衡点M作一个在每一点,都与该系统的轨线不相切的直线段，,即在每一点都与方向（P,Q）,不同的直线段，我们称这种线段为无切线段。,无切线段：经过系统,3,经过系统的非平衡点M作一个在每一点都与该系统的轨线不相切的直线段，即在每一点都与方向,不同的直线段，我们称这种线段为无切选段，记作 L，,取定一个方向后，给L上的点定义坐标，取由点M沿L到该点的有向距离s为坐标，得到函数关系：,我们称,为后继函数，有时也称,为后继函数。,4,后继函数的性质与极限环存在，稳定的关系,如果,是后继函数,的不动点,即,是后继函数,的零点：,则过以,为坐标的点,的轨线,是一个闭轨。,5,如果,又如果,则,是孤立闭轨，即,是一个极限环。,如果,若,则,是稳定极限环；若,则,是不稳定的极限环。,6,1 闭轨的不存在性,系统无平衡点,系统的平衡点任意组合后指数之和都不是+1。,系统只有一个平衡点，其指数,7,则系统（1）在,研究系统（1）,的极限环的位置,定理1 （Bendixson判断）如果在某单连通区域,内,不变号，,内无闭轨。,8,证明：设系统（1）在,内有闭轨,由格林公式有,上面的,是,所围之区域，于是,因,是系统（1）之轨线，所以上式右端曲线积分之被积函数,从而曲线积分为零。由定理假设，左端重积分不为零。矛盾。,9,定理2 (Dulac判断)如果有函数,连续，且有连续偏导数，使得在单连通区域D内,不变号，则系统（1）在D内无闭轨。,10,注,：,分别用Bendixson判断和Dulac判断，则得系统在全平面上无闭轨,例 考虑系统,即,此系统有两个平衡点，即,与,11,2,闭轨存在的充分条件,PoincareBendixson定理：,若极限集非空、有界、不包含平衡点，则一,定是一条闭轨线。,12,PoincareBendixson定理的应用,定理1,环形区域,的边界上轨线自外向内，又,内无系统（1）的平衡点，则在,内只有有一个稳定的极限环,。,13,定理2 如果系统 （1）的轨线在区域D的边界上总是自外向内,，,又D内除去系统（1）的不稳定焦点或结点之外无其他平衡点,，,则在 D内至少有一个稳定的极限环。,14,方法：根据定理4，构造区域满足条件，得到在该区域内至少有一个稳定的极限环。,例 证明Vanderpol方程,存在稳定的极限环,。,15,（三）极限集的性质,：,轨线,的,的,极限点： 若存在序列,极限点：若存在序列,，,，,使得,使得,则称,则称,为轨线,为轨线,的,的,极限点,极限点,轨线,称,的所有,极限点的集合为,的,极限集，记作,类此地可以定义,极限集,16,轨线的极限集可以刻画出当,很大时轨线的状态,。,二维系统的极限集比较简单，三维系统的极限集,就有很复杂的极限集的例子。下面给出一般的n,维系统极限集的几条性质。先介绍不变集的概念。,17,定义：集合A称为不变集，如果,则对一切,集合A称为正（负）不变集，如果,则对一切,18,命题：,（1）任一整轨线都是一个不变集，正（负）半轨线是正,（负）不变集；,（2）任一不变集都是由一些整轨线组成的，正（负）,不变集是由一些正（负）半轨线组成的。,19,n维系统极限集的性质：,性质1 极限集是n维空间中的闭集。,性质2 极限集是不变集。因此是由整轨线组成的。,性质3,极限集是空集的充要条件是,：,时,，,轨线趋向无穷,性质4,极限集只有唯一一个点,的充要条件是,20,性质5 有界区域内的正半（负半）轨线的极限集是连,通的。,性质6 A是闭的不变集（特别地，A是一个极限集），,若,则,21,Hilbert第十六问题（后半部分）,给定n次多项式微分系统,其中,22,希尔伯特第十六问题旨在研究由多项式定义出的拓扑结构，及极限环的位置及最大个数，要解决这个问题，我们就要了解极限环的基本问题，包括极限环的存在性，个数及位置的估计等。,23,问题研究情况：,n次系统极限环最大个数问题，有过系统的研究。我国在这方面的前辈有秦元勋、叶彦谦、董金柱等先生，在n=2的情形做出了很好的结果。比如，叶彦谦先生关于二次系统极限环的（2，2）分布之不可能情形研究，秦元勋先生关于M(2) 4的证明和给出M(n)的一个较好的上界估计等等。,24,3 极限环存在的充分条件,一、PoincareBendixson定理及其应用,二、分支理论,25,如果参数值,发生很小变化，拓扑结构本质不发生变化,则称,为普通值,。,如果参数值,发生很小变化，拓扑结,构发生本质变化，则出现分支，称为分支值。,26,（一）Hopf分支（从中心型奇点产生极限环）,以二维为例，Hopf分支理论研究在一定条件下，当（0，0）是,的中心型焦点，当,有很小变化时,，,产生极限环的理论。,27,所用的主要方法有：,Lyapunov第二方法；,Friedrich方法；,后继函数法,28,Lyapunov第二方法,考虑系统,，,其中,设参数,系统以（0，0）为中心型稳定（不稳定）焦点；,参数,系统以（0，0）为中心型不稳定（稳定）焦点；,则对充分小的,系统在点（0，0）附近至少有一个稳定（不稳定）,的极限环。,29,另外，相关的理论还有同宿轨道和异宿轨道。,从吸引子的角度,30,（二）从闭轨产生极限环,（在此不作详细介绍）,31,几何理论：,研究系统的轨线在相空间的分布及系统相图的拓扑结构。,通过前面的学习，研究了奇点、极限环、分支理论、混沌的一些基本理论。,32,研究意义：,在现实生活中，很多实际问题的数学模型都可以化为微分,方程，尤其是非线性问题应用更加广泛。数学难题和猜想,数学皇冠上的宝石，摘取“宝石”的过程充满了数学的开拓与创,新。“宝石”的取得往往是在奠定一门学科的基石后才完成的，,往往是数学发展水平的一项标志。,与其他学科交叉，使得数学成为科学的仆人，应用于研究,实际问题，因此具有非常重要的理论价值和现实意义 。,33,谢谢大家,34,