5-2+频率域稳定判据

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 频率域稳定判据,第五章 线性系统的频域分析法,1,项 目,内 容,教 学 目 的,掌握如何使用Nyquist图和Bode图判别系统的稳定性。,教 学 重 点,使用Nyquist图和Bode图判别系统的稳定性。,教 学 难 点,讲授技巧及注意事项,注重公式的理论推导，最后给出结论，通过典型例题利用结论进行分析。,5-2,频率域稳定判据,从控制论角度来理解幅角定理。,2,一、Nyquist判据的数学基础幅角定理,设复变函数,对s平面上的每一个点s(复数)，在F平面上必有一点通过映射关系F(s)与之对应。,对s平面上的任一个,不通过极点,的封闭曲线C，在F平面上必有一连续封闭曲线通过映射关系F(s)与之对应,。,3,幅角定理：设s平面闭合,曲线C,包围,F(s),的,Z,个零点和,P,个极点，则s沿,C,顺时针运动一周时，,F,平面内的闭合曲线,绕原点运动的圈数为：,R=Z-P,说明：当R0时，曲线顺时针包围原点；,当R0时，曲线逆时针包围原点；,当R=0时，曲线不包围原点,。,4,证明：,设曲线C内包含一个零点z,1,S沿曲线C顺时针旋转一周，各向量的幅角变化情况为,绕原点的圈数为-1(顺时针1圈)。,由复数运算，知,s,F,5,同理可知：当曲线C内包含一个极点p时，若S沿C顺时针旋转一周，F平面内绕原点的圈数为1圈(逆时针)。,所以，当C内包含z个零点和p个极点时， 若S沿曲线C顺时针旋转一周，曲线顺时针绕原点的圈数：,若R=-P，即F平面内曲线逆时针绕原点的圈数等于F(s)的极点被曲线C包围的个数，则C内没有包含F(s)的零点。,由幅角定理推导出的重要结论：,R=Z-P,6,1. 复变函数F(s)的选择,二、从控制论角度来理解幅角定理,判断系统是否稳定要看,闭环特征方程,的特征根在s平面上的分布情况，所以初步选择 为研究对象。,F(s)的极点=开环传函的极点(容易得到),F(s)的零点=闭环传函的极点(不易得到，是研究的对象),7,系统稳定s平面的右半平面没有(s)的极点,s平面的右半平面没有F(s)的零点,选择曲线C顺时针包围s的右半平面，由幅角定理推导出的结论，知：若R=-P，即F平面内曲线绕原点的逆时针圈数等于F(s)的在右半平面的极点数，则s右半平面内没有包含F(s)的零点，系统稳定。,F(s)的极点=开环传函的极点(容易得到),F(s)的零点=闭环传函的极点,(不易得到),8,G,F,在F平面包围坐标原点的圈数=,G,GH,在GH平面上包围(-1,j0)点的圈数。,对于开环传函G(s)H(s)，选择合适的封闭曲线C顺时针包围s的右半平面，如果,G,GH,在GH平面逆时针包围(-1,j0)点的圈数R等于G(s)H(s)的在s平面右半平面极点数P，则闭环系统稳定。,GH平面：,将F平面右移一个单位，可得一个新的平面，称之为GH平面。由F(s)=1+G(s)H(s)知： F平面的原点就是GH平面的(-1,0)点。,最终结论：,9,2. S平面内闭合曲线C的选择,奈氏围线：,顺时针包围整个s右半平面的封闭曲线。选奈氏围线为C即可。,由于C不能通过F(s)=G(s)H(s)的极点，分两种情况讨论。,10,G(s)H(s)无虚轴上的极点,奈氏围线由两部分组成，,C,1,：,半径为,的右半圆,s=Re,j,q,(,R，-90,0,q,+90,0,),；,C,2,：,s平面的整个虚轴,s=j,(-m时，上式=0。,说明C1 为,G,GH,为一个点，对系统的稳定性研究没有意义。,15,当s沿C,2,顺时针移动时，在GH平面上的映射,s=j,(0+)：正虚轴，对应,GH平面上的,开环幅相曲线,G,GH1,。,s=j,(-0)：负虚轴，在GH平面中的映射曲线,G,GH2,与开环幅相曲线,G,GH1,关于实轴对称。,n-m=2时C和的,G,GH,对应关系,G,GH1,G,GH2,C,2,C,1,C,2,C,1,n=m时C和的,G,GH,对应关系,G,GH1,G,GH2,s,s,GH,GH,16,C,2,C,1,R=,C=,C,1,+,C,2,+,C,3,C,3,修正围线C,3,在GH平面上的映射为, G(s)H(s)含有积分环节,s,G(s)H(s,),有虚轴上的极点,17,C,2,C,1,R=,C,3,修正围线C,3,映射到GH平面上的曲线是半径为的圆弧，且起始于G(j,0,-,)H(j,0,-,)，终止于G(j,0,+,)H(j,0,+,)，并顺时针旋转角度,np,(,q,逆时针旋转,p(-90,0,+90,0,),),。,n=1，,n-m=3时C和的,G,GH,的对应关系,G,GH,s,GH,18,G(s)H(s)含有等幅振荡环节,C,2,C,1,R=,C,4,C,5,C=,C,1,+,C,2,+,C,4,+,C,5,修正围线C,4,和C,5,映射到GH平面上的曲线都是半径为，圆心角等于,np的圆弧，,且起始于G(j,w,n,-,)H(j,w,n,-,)，终止于G(j,w,n,+,)H(j,w,n,+,) 。,s,19,4、,G,GH,包围(-1,j0)圈数的计算,环绕计算法：奈氏曲线包围(-1,j0)的圈数(逆时针为正，顺时针为负)；,穿越计算法：奈氏曲线穿越负实轴(-，-1)段的次数，由上至下为正穿越N,+,，由下至上为负穿越N,-,。,R=N,+,N,-,以上计算是在全闭合奈氏曲线(,-+,)下进行的，如果是半闭合奈氏曲线(,01时，N= N,+,- N,-,=1-1/2= 1/2，且已知P=1，所以,Z= P-2N=0，闭环系统稳定；,K0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180线。,31,参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈,判据可表述如下：,闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变到 时，在开环对数幅频特性 的频段内，相频特性 在 线上穿越的次数（正穿越 与负穿越 次数之差）为 。,P为,开环传递函数在s右半平面的极点数。,若开环传递函数无极点分布在S右半平面即 ，,则,闭环系统稳定的充要条件是：在 的频段内，,相频特性 在 -,线上正负穿越次数代数和为零。或者不穿越 线 。,32,例：某系统有两个开环极点在S右半平面（P=2）,N,+,- N,-,=1-2= -1 不等于P/2（=1）,所以，系统不稳定。,33,小 结,掌握使用Nyquist图和Bode图判别系统的稳定性的方法。,Z=R-P=0时系统稳定。,P开环不稳定极点数(开环传函位于s右半平面的 极点数),R 奈氏曲线围绕(-1,j0)点的圈数,34,