微积分定积分4

,*,calculus,微 积 分,7.4 定积分基本积分方法,一、直接积分法,1,2,二、 定积分的换元积分法,3,解：,作代换,则它是单值函数，有连续,导数，且当,时,当,时,故有,4,1.这里的换元法实际上相当于不定积分的第二换元法，,常用的有根式带环、三角代换、倒代换；,说明：,2.换元必换限，即在左变量代换后，积分上下限要做相应的改,变 ，然后直接求出结果，不必回带，这是与不定积分的不同,之处,。,5,例1,计算,解,设,当,时,;当,时,于是,6,例2,计算,解,设,7,注意,换元公式也可逆过来使用.即,这就是凑微分法。,8,例3,计算,解：,由于,令,则,原式=,9,证,例3,证明若,为,偶函数,为奇函数,则有,结论,(1) 若,为,偶函数, 则,(2) 若,为,奇函数, 则,例如,10,例4,若,证明,并计算,证,(1) 设,(2) 设,11,12,例5,证明,证明,结论,13,例6,设 函数,计算,解,设,14,练习：P75 1.(2) (9),15,P75 2. (5),16,周期函数的定积分：,设,是周期为,的函数，即,则对任意的,有,证明：,17,P100 第13题：,18,三、分部积分法,设函数,在,上有连续导数，则,定积分的分部积分公式,定理2,与不定积分的分部积分公式对比：,19,分部积分公式的证明：,问题：,设,且对某个实数,满足,是否有,又因为,所以,20,例1,计算,例2,计算,解,21,解,令,例4.,计算,例3.,计算,22,例5.,已知,求,解：,例6.,求定积分：,解：,令,则,23,所以,例5.,已知,求,24,例6.,设,试证：,25,例7.,设,试证：,连续，,证明：,在第二项中作代换,则得到,26,P76 第5题：,27,利用定积分来求极限：,例8.,求极限,解：,考察函数,在区间,上的定积分，将区间作,等间隔的分割，划分成,个长度为,的小区间，令,同时取,则,28,所以,练习：,29,例9.,已知,求极限,解：由于,其中,故有,30,小结：,1.计算定积分的基本方法：直接积分法、换元法、分部积,分法；,2.常用的技巧：解方程（回复积分法）、递推、利用被积,函数函数的性质（奇偶性、周期性等）；,3.利用定分求极限：关键在于将极限与定积分的定义联,系起来。,31,