《金融工程》课件第09章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第九章,期权定价,引例：,2007,年,8,月份，北京的郝女士在香港的星展银行开设了一个私人银行账户，在该账户上投资,8000,多万，但短短几个月之后，她的,8000,多万资金却化为乌有，而且还倒欠星展银行,9,千多万。是什么投资让郝女士损失如此惨重呢？原来她通过星展银行投资了一种“股票累计期权”的产品。典型的股票累计期权一般包括如下的条款：投资者可以按照约定的价格在未来一定期限（一般为,1,年）内定期选择买入约定数量的股票，股票买入价格低于当前股票价格,10%-20%,，如果股票价格高于当前股票价格的,105%,，合约终止；如果股票价格低于另外一个约定的价格（比如,80%,），则投资者需要加倍买入。,期权定价,3,2008,年金融危机的深化，全球股市暴跌，股票累计期权的投资者都损失惨重，这也引发了人们对这种金融衍生产品的质疑。从本质上来说，累计期权合约中的看涨期权和看跌期权相互支付对价，如果开发这种产品时所基于的定价模型是合理的，两种期权对价公平，我们就不能认为这种产品存在欺诈，只是投资者由于运气不佳而投资失败。如果产品所基于的定价模型不合理，产品设计就存在欺诈的成分。本章将介绍期权定价的原理和期权定价方法，让我们对期权定价有一个初步的认识。,期权定价,4,期权定价,本章知识结构图,第一节,期权的价值与影响因素,第二节,期权平价定理,第三节 期权价值的上限与下限,第四节,期权定价的二叉树模型,第五节,期权定价的B-S模型,期权定价,6,期权定价,第一节 期权的价值与影响因素,7,学习目标,掌握期权到期价值与盈亏特征，理解期权的内在价值和时间价值的含义，理解影响期权价值的主要因素，掌握欧式看涨期权与看跌期权的平价定理及其应用，了解美式看涨期权与看跌期权的价值关系，了解期权价值的上限与下限。掌握二叉树期权定价模型的原理，掌握布莱克斯科尔斯期权定价模型的原理与应用。,8,一、期权的到期价值与盈亏分析,执行价值：期权的买方执行期权合约时所能获得的利润,当执行价值大于零时（即期权处于实值状态），执行期权合约有利可图，期权买方会选择执行，否则，期权买方会放弃 。当然，由于期权买方在签订合约时要支付期权费，而卖方则会收取期权费，因此，双方最终损益还要把期权费考虑进去。,期权的价值与影响因素,9,期权的价值与影响因素,对期权到期时多空双方的回报与盈亏分布的分析,符号说明,:,T,：期权到期日（设签约时刻为,0,）；,t,：现在的时间；,S,：标的资产在时间时的价格；,St,：标的资产在时间时的价格；,x,：期权的执行价格；,c,和,p,：分别表示欧式看涨期权与看跌期权的价格；,C,和,P,：分别表示美式看涨期权与看跌期权的价格。,10,期权的价值与影响因素,以欧式期权为例，并以股票为标的物，分析策略的损益情况,1.,欧式看涨期权多头,在期权到期日，当股票市场价格,St,高于执行价格,X,时，欧式看涨期权多头持有者可以以执行价格向空头方购买股票，然后以市场价格售出，由此获利，即期权的回报,St-X,；由于最终利润需减去初始投资,期权费,c,，若不考虑时间价值，则期权的盈利为,St-X-c,。而当市场价格低于执行价格时，欧式看涨期权多头持有者则放弃期权权利，其回报为,0,；其亏损额也仅局限于最初付出的期权费,c,。,11,期权的价值与影响因素,2.,欧式看涨期权空头,由于期权合约是零和游戏（,zero-sum games,），因此欧式看涨期权空头持有者的损益正好与多头持有者相反，他们之间的损益关系是零和损益。具体的说，在期权到期日当股票市场价格高于执行价格时，空头持有者（假设他手里没有任何股票）必须以市场价格购买，然后以执行价格售给多头方，其期权回报为,X-St,，期权盈亏为,X-St+c,。当股票市价低于执行价格时，期权不被执行，其期权回报为,0,；空头持有者的最终损益还要加上他收取的期权费，即期权盈亏为,c,。,12,期权的价值与影响因素,欧式看涨期权多头回报和盈亏图，其中,A,点为盈亏平衡点。,13,期权的价值与影响因素,欧式看涨期权空头回报和盈亏图，其中,A,点为盈亏平衡点。,14,期权的价值与影响因素,3.,欧式看跌期权多头,在期权到期日，当股票市场价格高于执行价格时，欧式看跌期权多头持有者放弃期权权利，则期权回报为,0,，但支出为期权费，即盈亏为,-c,。当市场价格低于执行价格时，欧式看跌期权多头持有者可以在市场中以市场价格购买股票，然后以执行价格售出，由此获利，即期权回报为,X-St,，但最终损益还要减去期权费，即期权盈亏为,X-St-p,。,15,期权的价值与影响因素,4.,欧式看跌期权空头,欧式看跌期权空头持有者的损益正好与多头持有者相反，他们之间的损益关系也是零和损益。具体的说，在期权到期日，当股票市场价格高于执行价格时，欧式看跌期权多头持有者放弃期权权利，空头持有者因此有净收入期权费，此时期权回报为,0,，而期权盈亏为,p,。而当市场价格低于执行价格时，空头持有者必须以执行价格向多头方购买，然后以市场价格抛出（假设他不愿持有股票），但最终损益还要加上期权费，此时期权回报为,X-St,，期权盈亏为,X-St+p,。,16,期权的价值与影响因素,欧式看跌期权多头回报和盈亏图,17,期权的价值与影响因素,欧式看跌期权空头回报和盈亏图,18,期权的价值与影响因素,欧式期权到期时的回报与盈亏计算表,19,期权的价值与影响因素,二、期权的内在价值与时间价值,期权的价格主要是通过权利金， 即期权费来体现的， 是期权买方买入一份期权所支付的、 期权卖方出售一份期权而收入的货币数量。在期权交易中， 权利金即为期权卖方的最大收益和期权买方的最大亏损，反映了期权买方保值获利的成本和期权卖方面临风险的补偿， 所以权利金的多少在期权买卖的决策过程中举足轻重。,期权费主要反映了人们对合约项下的基础资产的市场价格变化趋势的预期心理以及期权合约至期满日所剩的时间长短；它主要由期权的“内在价值”和“时间价值”构成。,20,期权的价值与影响因素,（一）期权的内在价值,“,内在价值”，就是期权“沽盈价”（看涨期权的执行价格低于现货价格的差额；或者是看跌期权的执行价格高于现货价格的差额）与期权面值或合约规模的乘积，它反映了期权持有者现在就执行期权可获盈利的程度,21,期权的价值与影响因素,期权的内在价值有两个特点,第一，并没有必要知道期权的期权费以决定期权的内在价值，我们需要知道的只是期权的敲定价格、基础资产的市场价格以及该期权是看涨期权还是看跌期权。,第二，尽管欧式期权和美式期权存在着行使期权的时间规定的不同，美式期权可在到期日前行使期权，而欧式期权却不能在到期日前行使期权，但它们在内在价值的定义上却是一致的。,22,期权的价值与影响因素,（二）期权的时间价值,期权的时间价值（,time value,）是指期权购买者为购买期权而实际付出的期权费超过该期权之内在价值的那部分价值，其实质是在期权合约的有效期内，期权的内在价值的波动给予其持有者带来收益的预期价值。,一般来讲，期权剩余有效期越长，其时间价值也就越大，因为，对于买方而言，期权有效期越长，其获利的可能性就越大；而对于卖方来说，期权有效期越长，风险也就越大，因而期权售价也就越高。当期权临近到期日时，在其他条件不变的情况下，其时间价值下降速度加快，并逐渐趋向于零，一旦到达到期日时，期权的时间价值即为零。,23,1,、,标的资产的市场价格,2,、期权的协议价格,3,、期权的有效性,4,、标的资产价格的波动率,5,、无风险利率,6,、标的资产的收益,期权的价值与影响因素,三、影响期权价格的因素,24,期权的价值与影响因素,期权价格影响因素总表,25,期权定价,第二节 期权平价定理,26,期权平价定理,（一）欧式期权平价定理,（,1,）不支付红利的欧式期权,（,2,）支付红利欧式期权,欧式看跌期权的价值可根据相同敲定价格和到期日的欧式看涨期权价值推导出来，反之亦然,27,期权平价定理,（二）美式期权的价值关系,（,1,）不支付红利的美式期权,（,2,）支付红利的美式期权,美式期权没有欧式期权那种确定关系，但也必须要满足一定的关系,28,期权定价,第三节 期权价值的上限与下限,29,期权价值的上限与下限,一、看涨期权的价值上限与下限,（一） 看涨期权价值的上限,在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。否则的话，套利者就可以通过买入标的资产并卖出期权来获取无风险利润。因此，对于美式和欧式期权来说，标的资产价格都是看涨期权价格的上限：,30,期权价值的上限与下限,（,2,）有收益资产欧式看涨期权价格的下限,（二） 看涨期权价值的下限,1.,欧式期权,（,1,）无收益资产欧式看涨期权价格的下限,31,期权价值的上限与下限,2.,美式期权,（,1,）无收益资产美式看涨期权提前执行的合理性与其价格下限,（,2,）有收益资产美式看涨期权提前执行的合理性与其价格下限,32,期权价值的上限与下限,二、看跌期权价值的上限与下限,（一）看跌期权价格的上限,美式看跌期权价格的上限,欧式看跌期权价格的上限,（,X,为协议价格）,33,期权价值的上限与下限,（二）看跌期权价格的下限,1.,欧式期权,（,1,）无收益资产欧式看跌期权价格的下限,（,2,）有收益资产欧式看跌期权价格的下限,34,期权价值的上限与下限,1.,美式期权,（,1,）无收益资产美式看跌期权提前执行的合理性与其价格下限,（,2,）有收益资产美式看跌期权提前执行的合理性与其价格下限,35,期权价值的上限与下限,期权价格的上限与下限汇总表,36,期权定价,第四节 期权定价的二叉树模型,37,期权定价的二叉树模型,、单期二叉树模型,二、多期二叉树模型,38,期权定价,第五节 期权定价的,B-S,模型,39,期权定价的,B-S,模型,期权定价是所有金融应用数学领域上最复杂的问题之一。第一个完整的期权定价模型由布莱克和斯科尔斯创立并于,1973,年公之于世。布莱克,舒尔斯,(Black-Scholes),期权定价模型（亦称,B-S,模型）发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。现在，几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。,40,期权定价的,B-S,模型,一、股票价格的对数正态分布,股票的价格，一般来讲，取决于公司的财务因素、经济因素和股票市场的状况。经济状况好，公司的赢利能力强，大家对投资于股市有信心，股票的价格就高，反之股票的价格就比较低。股票的价格反映了人们对将来的预期，它取决于股票未来红利的大小和风险。在股票市场上，有一种理论，称之为有效市场理论。有效市场理论告诉我们，股票的现价包含了当前所知道的有关股票的一切信息，当然也包括了股票的历史价格，股票将来的价格则只与今天的价格有关，与过去的价格无关。正因为对股票价格的上述认识，股票价格的变化过程常常可以通过维纳过程（,Wiener processes,）的函数来描述。,41,期权定价的,B-S,模型,二、关于期权价格的假设,在,B-S,期权定价模型下，除收益率服从正态分布这个主要假定之外，还依赖于其他,7,个假定：,第一，标的资产可以自由买卖，且可以被卖空。,第二， 在期权到期日前，标的资产无任何收益（如股息、利息等）的支付。,B-S,模型假设作为基础资产的股票在期权定价期间不支付红利和股息。而实际上，由于大多数股票都要支付股息或红利，因此，在实际操作中，如果在期权的有效期内遇到股票支付红利的情况时，我们应当对,B-S,模型作出适当的调整，以反映股票支付红利的事实。,第三， 投资者可以同一无风险利率无限制地进行借入和贷出。,42,期权定价的,B-S,模型,第四， 期权为欧式期权。,B-S,模型只对欧式期权进行定价，美式期权因为具有更大的灵活性（提前执行的可能性较大），所以不能使用,B-S,模型，可以采用其他方法来定价。,第五， 不存在影响收益的任何外部因素，如税收、交易成本或保险金。事实上，这个假设也不太符合实际，因为在现实生活中，即使是交易商也要支付费用，对于散户投资者来讲，交易成本会更大，如果考虑到交易成本，期权的真正成本可能会发生很大的变化，这也是不同期权市场实际期权费差异的主要因素。,第六， 标的资产价格的变动是连续的，且是均匀的，既无跳空上涨，又无跳空下跌。,第七， 标的资产价格和利率的波动在整个交易期间为已知常量。,43,期权定价的,B-S,模型,三、,ITO,过程与,ITO,定理,1,、,ITO,过程,44,期权定价的,B-S,模型,2,、,ITO,定理,45,期权定价的,B-S,模型,四、,B-S,微分方程与定价公式,（,1,）,B-S,微分方程,（,2,）,B-S,定价公式,46,期权定价的,B-S,模型,五、标的资产价格的波动率,不管看涨期权还是看跌期权，基础资产的价格变动幅度越大，期权的价格就越高，因为波动性在某种程度上反映了期权潜在的获利能力。就股票期权而言，某些股票的价格波动性不大，它往往引不起投资者太大的兴趣，其期权费相应也比较低。,47,期权定价的,B-S,模型,变动率的计算方法有两种：,1.,正向法（,Forwards,）,这是指应用历史数据来计算变动率（也叫做历史变动率）。,金融资产价格的波动性通常表现为以连续复利形式计算的、用年百分率形式来衡量的收益率的标准差，它反映了投资收益的不确定性，是衡量投资风险的一个重要内容。以股票为例，在估算股价的标准差时，首先应确定所采用的各历史观察值之间的间隔，而且这种时间间隔是固定的；然后，再确定所采用的历史数据的数量，这实际上是一个两难的选择，并非时间越长越好。往往由于公司市场竞争地位和环境的变化，使过于久远的数据对预测未来价格变动率失去意义，甚至还会起到误导的作用。,根据实践中所积累的经验，时间跨度应使用交易日的概念而不是日历天数；日观察值一般以最近的,60,200,个历史数据为宜；周观察值为,40,60,个；月观察值为,30,50,个。,另外，在为期权定价的过程中，衡量股价标准差或收益率变动所确定的分析时段的长短，应尽量与其所适用的期权合约的有效期相一致。假如我们正在为有效期为,9,个月的期权合约定价，那么，使用的历史数据所跨越的时间段最好也是,9,个月。,48,期权定价的,B-S,模型,2.,逆向法（,Backwards,）,虽然有关基础资产收益率或市场价格的历史数据是非常有用的，但我们需要更多的有关信息，因为随着时间的推移，金融资产的价格波动性是会发生变化的。,如果期权价格可以由变动率决定，那么变动率也可以由期权价格决定。这种方法是运用,B-S,期权定价模型往回推导。也就是说，我们已知期权价格（该期权的报价） 和其他四个变量，可以反向推导出期权价格中所隐含的变动率。通过这种方法计算出来的变动率叫做隐含波动率（,Implied Volatility,）。,因为期权价格都可以获得，大多数市场参与者使用相似或一样的定价模型，所以计算隐含变动率就很直接，而且一般比运用历史变动率要适当。,虽然，已知除波动率外的其他四个变量，以及值，仍不能直接解出方程，使得表示为其他四个变量的函数形式。但可以用插值法得到隐含波动率。也就是不断假定的数值， 代入,B-S,公式，对得到的值进行不断调整，最后得到变动率的准确值。,49,期权定价,本章小结,50,期权定价,1.,期权价格的,6,个影响因素,2.,欧式看涨期权价格和欧式看跌期权价格之间存在平价关系,3.,单期二叉树模型、多期二叉树模型,4.,期权定价的,B-S,模型,关键概念：,看涨期权 、 看跌期权、 内在价值 、 时间价值,期权平价关系、 二叉树模型、,B-S,模型,