ARCH模型 计量经济学 EVIEWS建模课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2010-10-11,#,自回归条件异方差建模,一、,自回归条件异方差模型,二、,ARCH,模型的建立,三、,ARCH,模型的扩展与应用,在同方差假设不成立时，我们要以被解释变量的方差为预测对象，研究其变化规律。同时方差的平稳程度，也同样决定了被解释变量平稳性。,一、自回归条件异方差模型,在事物的发展过程中，常表现出复杂的波动情况，即时而波动的幅度较缓，而又时常出现波动集聚性,(VolatilitY clustering),，在风险研究中经常遇到这种情况。恩格尔,(Engle),在,1982,年提出了用来描述方差波动的自回归条件异方差模型,ARCH (Autoregressive conditional heteros,k,edasticit,y,model ),。并由博勒斯莱文,(Bollerslev, T., 1986),发展成为广义自回归条件异方差,GARCH (Generalized ARCH),，后来又发展成为很多的特殊形式。,案例对异方差观察,异方差是截面数据的常见现象，在时间序列中人们很少考虑。,1983,年,Engle,和,Kraft(,克拉格,),在分析宏观数据时发现了这一现象，即经济时序除常表现为明显的趋势外，并不是一直的保持这种趋势；一些序列看起来受某些冲击很大又持久，有些序列却表现为散乱无序，有的序列间同向协同变动等复杂性到处可见。,人们常用随机游走过程描述的金融市场的复杂现象，如某些非平稳的现象经差分后变得平稳了，但是，平稳的新序列的方差是明显不同的，这与白噪声的基本要求是有很大差距。见下图所示：,商业债券利率序列,R,t,商业债券利率差分序列,DR,t,异方差现象的三个特征如下：,平稳过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。但其在一定范围内变化，并不趋于无穷。同时方差的变化是连续的，没有突然的跳动。,按时间观察，表现出“波动集群”,(volatilit,y,clustering),特征，或称之为“聚类性”。即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。, 时序异方差的特征及基本模型, 序列异方差的特征分析,从取值的分布看，表现的则是“高峰厚尾”,(leptokurtosis and fat-tail),的特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。极端值较多的高峰厚尾的分布图例如下：,高峰厚尾分布特征示意图,以深圳综合指数收益分布数据为例，如下图所示：,标准化的深圳综合股票收益分布直方图,峰度值,K=7.193,说明其高峰特征；又因,JB,的,P,值说明序列属于非正态分布，且其数值都在,|6|,之内，所以具有厚尾的特征。,ARCH,基本模型,若一个随机变量,Y,t,可以表示为,ARMA,模型或因果关系的回归模型的基本形式，但其随机误差项并不符合基本假设的要求，存在异方差，且其方差可用误差项平方的,q,阶分布滞后过程来描述，则该模型就是条件异方差模型，其基本形式为：,Y,t,=,f(X,1,X,2,X,p,)+,(,X,1,X,2,X,p,),t,在单变量建模中，其中的,X,i,可以是,Y,的滞后变量。该模型也常称为“方差函数模型”。即均值部分是普通的回归或平稳的,ARMA,模型，而误差部分是一个关于异方差性的有界函数，常简记为,ARCH,模型。,平稳随机变量,Y,t,可以表示为,AR(p),形式，其随机误差项的方差可用误差项平方的,q,阶分布滞后过程来描述，则常见的,ARCH,模型由如下两部分给出：,一是均值方程：,Y,t,=,0,+,1,Y,t -1,+,2,Y,t -2,+ ,+,p,Y,t - p,+,t,二是条件异方差,ARCH,方程：,t,2,= E(,t,2,) =,0,+,1,t-1,2,+,2,t-2,2,+ ,+,q,t-q,2,v,t,或：,t,2,= E(,t,2,) = (,0,1,t-1,2,+,2,t-2,2,+ ,+,q,t-q,2,)v,t,2,这里称,t,服从,q,阶的条件异方差过程，即,t,N(0,t,2,),，且,v,t,N(0,2,),，则简记为：,t,ARCH (q),。,对于均值方程，为保证平稳性，其特征方程：,1 -,1,L -,2,L,2,- ,-,p,L,p,= 0,的根应在单位圆之外。,Y,t,的条件期望是,E(Y,t,Y,t-1, ,Y,t-p,) =,0,+,1,Y,t-1,+,2,Y,t-2,+ ,+,p,Y,t-p,Y,t,的无条件期望,(T,时,),的长期均值是：,E(Y,t,) =,0,(1-,1,-,2,-,p,),对于,ARCH,方程，由于,t,2,的非负性，对,i,应有如下约束：,ARCH,模型应满足的条件,首先：,0, 0,j,0,j,= 1, 2, q,其中当全部,j,= 0,j,= 1, 2, , q,时，就是扰动项不存在自相关的情况，这时的条件方差,t,2,=,0,。因为方差是非负的，所以要求,0, 0,。,其次，,t,2,的平稳性，须有如下两个约束：,一是,ARCH,方程的特征方程：,1 -,1,L -,2,L,2,- ,-,q,L,q,= 0,的根都应在单位圆之外，即,0,|,j,|, 1,。,二是对于,q,个,j,必须同时满足：,0,1,+,2,+ ,+,q, 1,证明：,首先，对于误差求条件期望可得条件方差：,2,t,=,0,+,1,E(,2,t -1,),+,2,E(,2,t -2,),+,q,E(,2,t - q,),+,E(v,t,),=,0,+,1,2,t-1,+,2,2,t-2,+ ,+,q,2,t-q,当,T,时，则有：,2,=,0,+,1,2,+,2,2,+ ,+,q,2,其次，对于误差的无条件均值可得无条件方差：,2,=,0,(1-,j,),可见，若保证,t,2,是一个平稳过程，应该有约束,:,0,(,1,+,2,+ ,+,q,) 0,i,0, i = 1, 2, q,；,i,0, i = 1, 2,p,对于,GARCH,模型，相应均值方程被解释变量的条件期望和条件方差分别是：,EY,t,X,t, = X,t,VarY,t,X,t, =,t,2,对模型两侧求期望，并令,T,，则,t,的无条件方差表达式是：,2,=,0,(1-,i,+,i,),GARCH,模型中的非负约束。实际中，有时会碰到的问题是,GARCH,模型中的参数估计值为负。因为,t,2,表示方差，应该非负。,例如,Engle-Ito-Lin(1990),在对日元兑美元汇率的研究中得到如下结果，,s,t,2,= 0.0006 + 0.1169e,t-1,2,- 0.0627 e,t-2,2,- 0.0047 e,t-3,2,- 0.0181 e,t-4,2,+ 0.9581s,t-1,2,虽然参数的和是,0.9895,，小于,1,。但,i, i = 2, 3, 4,是负的。,Nelson-Cao(1992),认为参数非负的约束可以放宽要求。对于,GARCH(1, q),模型，,t,2,=,0,+,1,t 1,2,+ +,q,t q,2,+,1,t -1,2,t,2,非负的充分与必要条件是：,0,0,；,1,0,；,二、,ARCH,模型的建立,检验均值模型的残差,ARCH,效果, 残差的分布及其假设,选择,Y=XB,或,A(L)Y=W(L),对均值模型的估计会得到残差的估计值，如果模型的残差具有异方差性，那么使用非线性的估计才是有效的。,在模型的误差项服从,ARCH,过程的情况下，如果模型仍然服从其他的基本假设，则,OLS,估计仍然有效，即使误差项非正态也会渐近有效。,对,ARCH,模型使用加权最小二乘,(WLS),可能效果更好，但这时不属于无偏估计量。,为此，人们认为最大似然估计更有效，但是使用极大似然法估计要知道现象的高峰厚尾分布特性。,人们在一般情况下常对残差分布做如下三种假设：,误差分布的正态假设,为计算方便，假定已知,Y,t,的,T + q,期观测值，,q,为滞后期数，这是为了保证估计参数所用的样本容量为,T,。,t,ARCH (q),可以表示为：,t,=,t,v,t,。要注意：,E(,t,) = 0,；,v,t,iidN(0, 1),；,2,t,= E(,2,t,) = h,t,；,h,t,=,0,+,1,2,t-1,+,2,2,t-2,+,q,2,t-q,；,且,Y,t,服从正态分布，概率密度函数为：,f ( Y,t,X,t,i,) =,对于误差服从,t,分布的,GARCH(1,1),过程，在,k,时，接近正态分布，其对数似然函数为：,残差服从广义误差分布,(GED),的,GARCH(1,1),过程，在,r=2,时为正态分布，其对数似然函数为：,对残差,ARCH,效果的检验主要是看残差的平方是否存在自相关，即在一系列基本假设的前提下，进行系列的检验，主要的检验方法是在均值方程,(,回归模型或时间序列模型,),的误差项的平方序列中使用,Q,、,F,、,LM,等统计量进行检验。,Q,检验,原假设是残差系列是自噪声过程，不存在自相关的异方差性。,ARCH,模型的存在性检验,自回归条件异方差的,LM,检验,Engle,于,1982,年提出的,LM,检验的假设如下：,H,0,：,1,=,2,= =,q,= 0(,即不存在,ARCH),H,1,：,1,2, ,q,不全为零,在原假设成立条件下，,OLS,估计量是一致的、有效的；在备择假设成立条件下，,OLS,估计量是一致的，但不是有效的。检验的具体步骤如下：,首先，估计均值模型,AR(p),，并求,t,的估计值,e,t,及,e,t,2,；,其次，估计辅助回归方程式：,e,t,2,=,0,+,1,e,t-1,2,+,2,e,t-2,2,+,q,e,t-q,2,+v,t,然后，用辅助回归方程的可决系数,R,2,构成统计量,LM = T,R,2,。其中,T,表示辅助回归式的样本容量。在原假设无异方差成立的条件下有：,LM = T,R,2,2,(q),若,LM ,2,(q),，接受,H,1,。,注意：辅助回归式中要有常数项,0,。,自回归条件异方差的,F,检验,首先， 建立原假设,H,0,：,1,=,2,= =,q,= 0 (,不存在,ARCH),H,1,：,1,2, ,q,不全为零,其次，估计均值方程，并求得,t,的估计值,e,t,及,e,t,2,；,然后，用,e,t,2,估计两个辅助回归方程,e,t,2,=,0,+ v,t,(r,式,),e,t,2,=,0,+,1,e,t-1,2,+,2,e,t-2,2,+,q,e,t-q,2,+v,t,(u,式,),最后， 构造,F,统计量，在原假设成立条件下有：,若,F F,(q, T - q -1),，,接受,H,1,。,实例分析,以日元兑美元汇率的建模研究为例，数据是,1995.1-2000.8,日元兑美元汇率值,(1427,个,),见下页图中的序列,(JPY),。极小值为,81.12,日元，极大值为,147.14,日元。其均值为,112.93,日元，标准差是,13.3,日元。,1995,年,4,月曾一度达到,81.12,日元兑,1,美元。那是因为美日贸易摩擦愈演愈烈，为了逼迫日本打开国内市场，美国有意迫使日元升值。随着日本政府的有限妥协，以及泡沫经济的彻底显现，多个金融证券公司接连破产，从而使日元兑美元汇率值开始一路走低，,1998,年,8,月达到,147.14,日元兑,1,美元。,JPY,显然是一个非平稳序列。,日元兑美元汇率,(JPY),时间序列,JPY,的差分序列,D(JPY),表示收益，见下图。因为,D(JPY),是平稳序列，可用,D(JPY),建立时间序列模型。,D(JPY),的时间序列,JPY,的相关图,表明非平稳,D(JPY),的相关图,表明可能是,AR,或,MA,或,ARMA,DJPY,t,=0.0541 DJPY,t-2,-0.0859 DJPY,t-3,+,e,t,(2.0) (-3.3),R,2,= 0.01, DW = 1.91, Q,(15),= 8.6,该式的残差图显示存在自回归条件异方差。,进一步通过,ARCH,检验考察该,AR,模型中是否存在自回归条件异方差。,输出结果,表示：,下半部分是自回归条件异方差,LM,检验式：,e,2,t,0.6033+0.2231e,2,t,-1,+0.1199e,2,t-2,(8.1) (8.5) (4.5),R,2,=0.07772, DW=2.0,上半部分给出检验结果：,LM = T R,2,=1421,0.07772 = 110.4,4,2,0.05 (2),= 5.99,F = 59.7 F,0.05 (2, 1421- 2 -1),= 3.0,，,两种检验结果都认为模型存在自回归条件异方差。应该在,AR(3),均值方程基础上建立,ARCH,模型。,ARCH,模型的估计与设定,估计,GARCH,和,ARCH,模型的菜单路径：,Quick/Estimate Equation,或,Object/New Object/Equation,选择,ARCH,基本设置项说明,方差及分布说明,加入,ARCH,方程中的外生变量列表,极限临界值,均值方程窗口,依赖于回归元和,ARMA,各项来建立，其方程的各变量输入与线性回归方程的输入相同，采用列表式在窗口输入即可。,如果解释变量的表达式中含有,ARCHM,项，就需要点击对话框右上方对应的选项按钮有：,选项,None,表示方程中不含有,ARCHM,项；,选项,Std.Dev.,表示在方程中加入条件标准差,；,选项,Variance.,则表示在方程中含有条件方差,2,。,选项,Log(Var).,它表示在均值方程中加入条件方差的对数,ln(,2,),作为解释变量。,方差设定与分布设定,在,model,下拉框中可以选择所要估计的,ARCH,模型的类型，如下图所示：,GARCH(,广义,ARCH,模型,);,TARCH(,非对称,ARCH,模型,);,EGARCH(,指数广义,ARCH,模型,);,PARCH(,幂,ARCH,模型,);,Component ARCH(1,1)(,即合成,ARCH,模型,).,ARCH,项和,GARCH,项的阶数选择，在缺省的形式下都为一阶，这是现在最普遍的设定。,如果要估计一个非对称的模型，就应该在,Threshold,编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的个数为,0,。,需注意的是,Threshold,编辑栏含有多个非对称项的非对称模型。,在,Variance,栏中，可以根据需要列出包含在方差方程中的外生变量。由于,EViews,在进行方差回归时总会包含一个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出,C,。,Error,组合框用来设定误差的分布形式，缺省的形式为标准高斯,Normal(Gaussian),，备选项有：,Students-t;,学生氏,t,分布。,Generalized Error(GED);,Students-t with fixed df;,GED with fixed parameter,。,需要注意，选择了后两个选项的任何一项都会弹出一个选择框，需要在这个选择框中分别为这两个分布的固定参数设定一个值。,估算设置,Method,：选择的估计方法；,Sample,：确定样本范围。,回推,协方差系数,导数方法,选择方法,精确度,速度,迭代过程,初始系数,显示设置,最优化算法,特殊选项卡,选项卡中各项目说明如下：,回推,(Backcasting),在缺省的情况下，,MA,初始的扰动项和,GARCH,项中要求的初始预测方差都是用回推方法来确定初始值的。,如果不选择回推算法，,EViews,会设置残差为零来初始化,MA,过程，用无条件方差来设置初始化的方差和残差值。,但是经验告诉我们，使用回推指数平滑算法通常比使用无条件方差来初始化,GARCH,模型的效果要理想。,系数协方差,(Coefficient Covariance),点击,Heteroskedasticity Consistent Covariances,计算极大似然,(QML),协方差和标准误差。,如果怀疑残差不服从条件正态分布，就应该使用这个选项。,只有选定这一选项，协方差的估计才可能是一致的，才可能产生正确的标准差。,注意如果选择该项，参数估计将是不变的，改变的只是协方差矩阵。,导数方法,(Derivatives),。,EViews,现在用数值导数方法来估计,ARCH,模型。在计算导数的时候，可以控制这种方法达到更快的速度,(,较大的步长计算,),或者更高的精确性,(,较小的步长计算,),。,迭代估计控制,(Iterative process),。,当用默认的设置进行估计不收敛时，可以通过改变初值、增加迭代的最大次数或者调整收敛准则来进行迭代控制。,算法选择,(Optimization algorithm),。,ARCH,模型的似然函数不总是正规的，所以这时可以利用选择迭代算法,(Marquardt,、,BHHH/,高斯,-,牛顿,),使其达到收敛。,Dependent Variable: D(GDP),Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution,Date: 01/19/09 Time: 11:21,Sample (adjusted): 1980 2006,Included observations: 27 after adjustments,Convergence achieved after 38 iterations,Variance backcast: ON,GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)2 + C(4)*GARCH(-1),CoefficientStd.Errorz-StatisticProb.,AR(1)1.0969300.05325020.599800.0000,Variance Equation,C 1475.155473.10123.1180540.0018,RESID(-1)20.0732490.0940820.7785650.4362,GARCH(-1)-0.9826610.009426-104.24650.0000,R-squared 0.877383Mean dependent var76.00000,Adjusted R-squared 0.861389S.D. dependent var 76.12177,S.E. of regression 28.34052Akaike info criterion 9.348950,Sum squared resid 18473.26Schwarz criterion 9.540925,Log likelihood -122.2108Durbin-Watson stat 2.158945,Inverted AR Roots1.10,Estimated AR process is nonstationary,估算结果与形式,对,ARCH,和,GARCH,及模型阶数的选择,在对,ARCH,的检验中，最基本的原假设,H,0,实质上是,ARCH(0),。显然备择假设,H,1,只会有两种情况：,一个是,ARCH(p),，其中,p,0,；,另一个是,GARCH(p, 0),。,若将原假设,H,0,是,ARCH(1),，即在,ARCH(1),的基础上检验模型是否存在异方差性，则备择假设,H,1,可以有如下两种情况：,一个是,ARCH(1+p),；另一个是,GARCH(p,1),。,在,GARCH,(q),的检验中，原假设,H,0,实质上是,ARCH(q),。而备择假设,H,1,可以有两个：,一个是,ARCH(q+p),；另一个是,GARCH(p,q),。,LM,统计量无法区别是哪个备择假设，为此：,在,q,值很大时建议使用,GARCH,模型；,在,q,值较小时可以使用,ARCH,模型。,在实际应用中，,GARCH(1,1),和,GARCH(2,1),足可以满足对自回归条件异方差的描述。, 案例与估算结果,案例分析与说明,(,高铁梅,),为检验股票价格指数的波动是否具有条件异方差性，我们选择了沪市股票的收盘价格指数的日数据作为样本序列，这是因为上海股票市场不仅开市早，市值高，对于各种冲击的反应较为敏感，因此，本例所分析的沪市股票价格波动具有一定代表性。,样本序列,sp,是,1998,年,1,月,3,日至,2001,年,12,月,31,日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数，为了减少舍入误差，在估计时，对,sp,进行自然对数处理，即将序列,log(sp),作为因变量进行估计。,由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程,随机游动,(Random Walk),模型描述，所以本例进行估计的基本形式为：,首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结果如下：,(15531),R,2,= 0.994,对数似然值,=2874 AIC=-5.51 SC=-5.51,可见该方,程的统计量很显著,，且拟合程,度也很好。但是,对该方,程进行异方差的,White,和,ARCHLM,检验，发,现,q,=3,时,的,ARCH-LM,检验的相伴概率，即,P,值接近于,0,，,White,检验的结果类似，其相伴概率，即,P,值也接近于,0,，这说明误差项具有条件异方差性。,股票价格指数方程回归残差,观,察上图,，表明该,回归方程的残差,，具有波,动的“成群”现象：波动在一些较长的时间内非常,小,(,例,如,2000,年,),，,在其他一些较长的时间内非常,大,(,例,如,1999,年,),，,这说明残差序列存在高阶,ARCH,效应。,对该方程进,行条件异方差的,ARCH LM,检验，得到了在滞后阶数,p=3,时的,ARCH LM,检验结果：,此,处的,P,值为,0,，拒绝原假设，说,明残,差序列存在,ARCH,效应。还可以计,算残,差平方的自相,关,(AC),和,偏自相,关,(PAC),系,数，结果如下：,重,新建立序列的,GARCH(1,1),模,型，结果如下：,均,值方程：,(23213),方,差方程,：,(11.44),(33.36),对,数似然,值,=3006 AIC=-,5.76,SC=-5.74,GARCH(1,1),模型的建立,方,差方程中的,ARCH,项和,GARCH,项的系数都是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时,AIC,和,SC,值都变小了，这说明这个模型能够更好的拟合数据,。,再,对这个方程进行条件异方差的,ARCHLM,检验，相伴概率为,P = 0.924,，说明利用,GARCH,模型消除了原残差序列的异方差效应,。,ARCH,和,GARCH,的系数之和等于,0.982,，小于,1,，满足参数约束条件。由于系数之和非常接近于,1,，表明一个条件方差所受的冲击是持久的，即它对所有的未来预测都有重要作用，这个结果在高频率的金融数据中经常可以看到。,均值方程的结果,方差方程的结果,均值方程中无回归量时此部分无意义, 对,ARCH,模型的检验与预测,检验,对于,ARCH,模型，把残差标准化,Vt,t/,t,；其中,为条件误差，,为无条件标准差。如果标准化的残差序列是独立同分布的，即都服从正态或,t,分布的，则该模型是有效的。其检验的方法可以从如下两方面进行：,使用,LBQ,检验，判断是否存在自相关；,使用峰度、偏度、,Q-Q,图判断分布是否为正态或,t,分布。,预测,使用条件异方差模型预测，其趋势部分的预测与一般线性回归或自回归模型相同。其方差部分不是无条件的常数方差,2,了，而是按照自回归规律动态变化的条件异方差。实质上该预测是对时序波动性和相对风险性等问题的预测，该预测方法多采用迭代过程多步来完成。如果记,F,2,t+s|t,为条件方差超前,s,个时期的线性预测，即：,F,2,t+s|t,FE(,2,t+s,|,2,t,2,t-1,),则线性预测的迭代公式为：,F,2,t+j,|,t,-,2,1,(F,2,t+j-1,|,t,-,2,),2,(F,2,t+j-2,|,t,-,2,),m,(F,2,t+j-m,|,t,-,2,),式中，,j=1,2,s,；当,t,时，,F,2,|t,2,。,假设,v,t,有有限方差，而,1,，那么当,s,时，超前,s,期预测,F,2,t+s|t,2,。,具体形式与,AR,模型一样，迭代计算,k,步，进行预测，即：,h,T,(1)=,0,+,1,2,T,+,p,2,T+1-p,h,T,(2)=,0,+,1,h,T,(1)+,1,2,T,+,p,2,T+2-p,h,T,(K)=,0,+,i,h,T,(K-i),；,其中当,K-i,0,时，,h,T,(K-i)=,2,T+K-i,三、,ARCH,模型的扩展与应用,*,GARCH-M,模型,模型的意义,1987,年由三位学者恩格尔,(Engle),、利林,(Lilien),和罗宾,(Robins),建立的，反映金融资产与风险关系的自回归条件异方差,均值,模型，其表达如下：,Y,t,= X,t,+,t,2,+,t,t,2,=,0,+,1,2,t-1,+,p,2,t-p,+,1,2,t-1,+,+,q,2,t-q,其中：,t,2,是对资产风险的衡量，服从条件异方差；,反映风险对收益的作用程度。实际应用时可将均值方程中的,t,2,换成,t,或,ln(,t,2,),，将,X,换为常数。,案例分析,估,计我国股票收益率,的,ARCHM,模型，仍选择,1998,年,1,月,3,日至,2001,年,12,月,31,日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数,sp,数据，,股票的收益率是根据公式：,，,即股票价格收盘指数对数的差分计算出来的,。,ARCHM,模型,：,估,计出的结果是,:,(-,2.72),(,2.96,),(5.43),(12.45),(29.78),对,数似然值,= 3010 AIC = -5.77 SC = -5.74,在收益率方程中包括,t,的原因是为了在收益率的生成过程中融入风险测量，这是许多资产定价理论模型的基,础。在这一均,值方程假,设下,，,应该是正,数，即我,们预期较大值的条件标准差与高收益率相联系。估计出的方程的所有系数都很显著。并且系数之和小于,1,，满足平稳条件。均值方程中,t,的系数为,0.27,，表明当市场中的预期风险增加一个百分点时，就会导致收益率也相应的增加,0.27,个百分点。,非对称的,ARCH,模型,TARCH,模型的意义,TARCH,模型又叫非对称,(,门限,),自回归条件异方差模型,(Threshold ARCH),，这是由,Zakoian(1990),和,Glosten, Jagannathan, Runkle(1993),提出的，其条件异方差的基本形式为：,2,t,=,+,2,t,-1,+,2,t,-1,I,t-1,+,2,t-1,(,一阶时,),2,t,=,+,i,2,t,-i,+,k,2,t,-k,I,t-k,+,j,2,t-,j,(,高阶时,),其中：,I,t-1,是虚拟变量，在,t-1,0,时，,I,t-1,=1,；,为非对称效应系数,TARCH,模型：,2,t,=,+,2,t,-1,+,2,t,-1,I,t-1,+,2,t-1,表明异方差,2,t,依赖于前期残差平方,2,t,-1,和条件方差,2,t-1,的大小。,好消息时,(,t,-i,0),和坏消息,(,t,-1,0,，说明存在杠杆作用使非对称效应波动加大；如果,0,，则说明非对称效应使得波动缩小了。,由于经济政策的实施力度，以及时滞导致经济中出现了不同于该政策开始实施阶段的条件因素，导致该政策发生作用的环境发生了变化。此时，该经济政策在产生一般的紧缩或者是扩张的政策效应基础上，还会产生一种特殊的效应，我们称之为“非对称”效应。表现在现实的经济观察中，就使得某些经济变量的波动加大或者变小。,TARCH,模型案例,例如建立通,货膨胀率,(,t,),的,TARCH,模型。采用居民消费物价指,数,(CPI,，上年同期,=,100),减,去,100,代表通货膨胀率,t,，,货币政策变量选用狭义货币供应量,M,1,的增长率,(,M,1,R,t,),、银行同业拆借利,率,(7,天,)(,R,7,t,),，模型中解释变量还包括货币流通速度,(,V,t,)(,V,t,=,GDP,t,/,M,1,t,),、,通货膨胀率的,1,期滞后,(,t-,1,),。使用银行同业拆借利率代替存款利率，是由于目前我国基本上是一个利率管制国家，中央银行对利率直接调控，因此名义存款利率不能够反映市场上货币供需的真实情况。,由,TARCH,模型的回归方程和方差方程得到的估计结果,为,：,(-,2.62,)(,25.53),(5.068,),(-3.4,),(1.64,),(1.152,) (,0.94,) (-,3.08,),(3.9,),R,2,= 0.96 D.W.= 1.83,结果表中的,(RESID)*ARCH(1),项就是,TARCH,项,， 其系,数显著不为零，说明货币政策的变动对物价具有非对称效应。需要注意，方差方程中,=-0.399,，,即,非对称项的系数是负的,。说明货,币政策对于通货膨胀率的非对称影响是使得物价的波动越来越小。,观察残差图，还可以发现货币政策的非对称作用在不同阶段对通货膨胀率表现是不同的：,在,经济过热时期，如,1992,年,1994,年期间，通过均值方程中货币政策变量的紧缩作用，导致了货币政策对通货膨胀的减速作用非常明显，但是由于通货膨胀率方程的残差非常大，由方差方程可知这一时期物价波动很大，但,，,则,d,t-,1,= 0,，所以,TARCH,项不存在，即不存在非对称效应,。,1995,年,1996,年初,，,则,TARCH,项存在，且其系数,是负值，于是非对称效应使得物价的波动迅速减小。当处于经济增长的下滑阶段，它的残差只在零上下波动，虽然出现负值比较多，但这一时期的货币政策非对称扩张作用非常小。,EGARCH,模型,模型的意义,1991,年由纳尔什,Nelson,提出的指数条件异方差模型,(Exponential GARCH),，简记为,EGARCH,，其基本表达式为：,Ln(,2,t,)=,+,Ln(,2,t-1,)+,|,t-1,/,t-1,-(2/,),1/2,|+,(,t,-1,/,t-1,),其中左侧说明杠杆作用影响的是指数，而不是二次项；杠杆效应的存在能够通过, 0,的假设得到检验。只要,0,，冲击的影响就存在非对称性，即杠杆效应的存在与否可通过,是否为零的假设进行。,克里斯汀,(Christie,，,1982),的研究认为，当股票价格下降时，资本结构当中附加在债务上的权重增加，如果债务权重增加的消息泄漏以后，资产持有者和购买者就会产生未来资产收益率将导致更高波动性的预期，从而导致该资产的股票价格波动。,因此，对于股价反向冲击所产生的波动性，大于等量正向冲击产生的波动性，这种“利空消息”作用大于“利好消息”作用的非对称性，在各国的一些股价指数序列当中得到验证。,Eviews,程序中的,EGARCH,模型,在,Eviews,中估计,EGARCH,模型只要选择,EGARCH,项即可。但是,EViews,与,Nelson,提出的,EGARCH,有所不同，主要区别如下：,Nelson,假设,t,服从广义误差分布,(GED),，而,Eviews,中可以在正态分布、,t,分布和,GED,之间选择；,Eviews,中的条件异方差方程的表达式是不同与,Nelson,的、即为：,Ln(,2,t,)=,+,Ln(,2,t-1,)+,|,t-1,/,t-1,|+,t,-1,/,t-1,这样两者只是截距项,的估计结果不同。,Engle,和,Ng,在,1993,年绘制了非对称信息冲击曲线，直观地表示信息冲击的非对称影响。即在前述的,EGARCH,模型的条件方差方程中：,Ln(,2,t,),=,+,ln(,2,t-1,)+,|,t-1,/,t-1,|+,t,-1,/,t-1,假设残差,t,服从条件正态分布。设：,F(,t-1,/,t-1,) =,|,t-1,/,t-1,|+,t,-1,/,t-1,令,z,t,=,t,/,t,，则根据上式有：,F(z,t,)=,|z,t-1,|+,z,t,-1,函数,f(),称为信息冲突曲线，即在冲击,t,/,t,下描绘波动率,t,2,的曲线。它将条件波动率的修正值,ln,(,t,2,),与冲击信息,t-1,联系起来。具体分析如下：,当冲击信息,t-1,0,时，,f/,z,t-1,=,+,；,当冲击信息,t-1,0,时，,f/,z,t-1,=-,+,；,f(),包含了非对称效应，当没有冲击信息,(,t-1,=0),时，波动率将会最小。,由于,f(,t-1,),是均值为零，方差为常数的白噪声，所以,ln(,t,2,),是一个,ARMA(1,1),过程，它在,1,时是平稳的。,非对称性案例分析,分析我国股,票市场运,行是否存,在股票价格波动的非对称性呢？利用沪市的股票收盘价格指数数据,，估计股,票价格波动的两种非对称模型，结果分别如下,：,TARCH,模型,：,均,值方程：,(19689.6,),方,差方程,：,(,5.57,),(7.58),(5.31,) (,45.43,),对,数似然值,=3012.5 AIC = -5.77 SC = -5.75,杠,杆效应项由结果中的,(RESID0,当,i=1,2,r,时,|,|,1;,当,ir,时,i,=0;r,p,；其标准差的参数,是估计的，用以评价冲击对条件方差的影响幅度；而,0,时存在非对称效应，的可捕捉直到,r,阶的非对称效应的参数。, 成分,ARCH,模型,对于,GARCH(1,1),模型有：,t,2,=,0,+,2,t1,+,2,t-1,令,0,=,(1-,-,),，其中,是非条件方差或长期波动率，则条件方差方程可以改写为：,t,2,=,+,(,2,t-1,-,) +,(,2,t-1,-,),表明条件方差的均值趋近于常数,。,当,不为常数时，即,是随时间变化而可以改变时，就是成分,ARCH,模型，反映着条件方差的长期变动率，简记为,CARCH,。,当长期波动率不为常数时，设其均值函数为,t,，则有如下两种关系：,t,2,t,=,(,2,t1,t-1,) +,(,2,t-1,-,t-1,) A,式,t,=,0,+,(,0,) +,(,2,t-1,-,2,t-1,) B,式,A,式中的左侧,t,2,t,为暂时成分，它将,+,的作用收敛到零。,B,式中的左侧,t,是长期成分，它将在,的作用下收敛到,0,。一般,0.99,1,，所以,t,缓慢地接近,0,。,在,CARCH,中可以外生变量和虚拟变量，使模型更为精确和复杂。主要的复杂形式如下：,长期与短期成分结合的模型,将,B,式代入,A,式整理可得长短期结合模型的形式：,t,2,= (1-,-,)(1-,),0,+ (,+,),2,t-1, ,+ (,+,),2,t-2,+ (,-,),2,t-1, , (,+,),2,t-2,该模型表明了由,GARCH(1,1),模型产生的含有长短其成分的,CARCH,模型是一个非线性的、有约束的,GARCH(2,2),模型。,引入非对称影响的成分,ARCH,模型,将非对称影响引入，则条件方差模型的形式为：,t,=,0,+ p(,t-1,0,) +,(,2,t-1,-,2,t-1,) +,z,1t,t,2,-,t,=,(,2,t-1,-,t-1,) +,(,2,t-1,t-1,)d,t-1,+,(,2,t-1,t-1,) +,2,z,2,其中：,z,是外生变量，,d,是虚拟变量，表示负冲击。当,t-1,0,时，,d=1,；只要,0,，冲击就会对变动率的短期波动产生非对称影响；如果,0,，就意味着条件方差中存在暂时的杠杆效应。而对长期波动率的影响主要体现在,p,的变化上。,