实验数学九：确定炮弹射击的安全区

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,确定炮弹射击的安全区,9.1,实验目的,本实验涉及微积分和微分方程。通过实验复习曲线的参数方程及其求导、复合函数微商法、微分方程的建立及求解和某些二次曲面等知识；另外通过两个实际问题介绍平面单参数曲线族包络线的概念及其应用。,9.2,实验问题,炮兵在进行射击演习时，必须考虑建立安全区的问题。如果炮弹的发射速度为,，发射角度,则不加限制。试通过分析弹道曲线来获得射击演习的安全区。,、弹道曲线,1,设炮弹发射的位置为原点,O,。显然，只要在过点,O,且与地面垂直的平面内考察弹道的情况就可以了。,在此平面建立坐标系。,如果不计空气阻力，容易得到炮弹的弹道曲线满足下微分方程组：,2,初值条件：,其中,m,为炮弹的质量，,g,为重力加速度，,为炮弹在,t,时刻的坐标，,为炮弹初速度，,为发射角,对（,9.1,）积分两次，并将（,9.2,）代入，即可导出弹道曲线的参数方程为,3,消去参数,t,，可以得到弹道曲线的直角坐标的表达式：,这是我们十分熟悉的抛物线。,、安全区和包络线,当发射角变化时，取,就形成一族抛物线段（见图,9.2,）。所以，（,9.3,）或（,9.4,）可以看作是带有参数,的平面曲线族。,，相应的弹道曲线,4,由图可见，所有的弹道曲线与图上的一条虚线,l,相切，将这虚线绕,y,轴旋转一定的角度（炮座所能旋转的角度），形成一个旋转面的一部分。由这张曲面以及炮座旋转的左右两个极限位置发出的弹道曲线所在平面围成的区域之外炮弹不可能击中，因而称之为“安全区”，,l,也就称为“安全曲线”。,如何求出,l,呢？,从图还可见，安全线本身并不是某一条弹道曲线，但是安全线上的每一点，必有某一条也只有一条弹道曲线在该点与它相切。,5,抽象成数学概念，我们称安全线为弹道曲线族的包络线。,、问题,1,的求解,设某一平面曲线族为,，其中,为参数。其包络线,l,如图,9.3,所示。,在,l,上任取一点,，必有曲线族中某一条曲线,c,与,l,相切于点,p,。,也就是说，一旦确定了参数,值，点,p,也被唯一地确定。,6,所以，点,p,的坐标是参数,的函数，即,它们满足,由式（,9.5,）知，,l,在点,p,的切线斜率为,而,c,在点,p,的切线斜率为,7,令以上二者相等，可得,将（,9.6,）式对,求导数，得到,将（,9.9,）式代入（,9.10,）式，即得,综合（,9.6,）式与（,9.11,）式，得到,l,应满足的方程组：,8,下面我们利用（,9.12,）来考察（,9.4,）式，,对,求导,解出,代入（,9.4,），即得安全线方程,9,这也是一条抛物线，其最大值和与,x,正半轴交点的,横坐标分别为,若取,z,轴与,x,、,y,轴成空间直角坐标系，则安全线所形成的旋转面为,以及,代入，即得,10,于是射击演习的安全区就由此旋转抛物面与两个过,y,轴的平面围成。,由上式或（,9.15,）式可知，演习时炮弹的高度将不超过,2 041,（,m,），射程将不超过,4 082,（,m,）。,如果曲线族的参数方程形式已给出，则类似可推出其包络线,l,应满足的判别方程组为：,11,事实上,对于包络线,所以,对于曲线,C,所以,因此,即有,12,下面我们再用（,9.17,）来考察（,9.3,）式，,利用（,9.17,）中的第三式解得,代回式（,9.3,），又得到,l,的参数方程：,13,消去此式中的,，同样可得（,9.14,）式。,注意，（,9.12,）或（,9.17,）是包络线的判别方程，即包络线应满足（,9.12,）或（,9.17,）式；但满足判别方程却不一定是曲线族的包络线。,反例见讲义,14,9.3,实验任务,1,，,2,15,