2.6外力场中自由粒子的分布·玻尔兹曼分布

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.6 外力场中自由粒子的分布玻尔兹曼分布,按照分子混沌性假设，处于平衡态的气体其分子数密度,n,处处相等，但这仅在无外力场条件下才成立。,若分子受到重力场、惯性力场等作用，,气体分子数密度,将有一定的空间分布，这类分布均可看作玻尔兹曼分布的某种特例。,1,2.6.1 等温大气压强公式*悬浮微粒按高度分布,因为大气中存在十分复杂的流动，因而大气压强变化十分复杂。,（一）等温大气压强公式,（isothermal barometric formula,现假设大气是等温的且处于平衡态，则大气温度随高度变化是怎样的,？,现考虑在大气中垂直高度为,z,到,z+,d,z,，面积为,A,的一薄层气体,该系统达到平衡的条件为,2,大气温度随高度增加减少的关系(对流层中),d,p,= -,(,z,),g,d,z,由理想气体方程可得,=,p M,m,/,RT,，代入,设大气温度处处相等，重力加速度,g,不随高度变。,对上式积分，则有,其中,p,（0）及,p,（,z,）分别为高度 0 及,z,处大气压强。,把它改写为气体分子数密度随高度分布公式，则,3,(二)等温大气标高,中的,kT/mg,具有高度的量纲。,定义大气标高,H,因指数上量纲为1，故,4,大气标高的物理意义为,：,（1）在高度,z,=,H,处的大气压强为,z,= 0,处大气压强的 1/,e,。,（2）,设把整个大气分子都压缩为环绕地球表面的、其密度与海平面处大气密度相等的一层假想的均匀大气层，则这一层大气的厚度也是,H,。,（3）,大气标高是粒子按高度分布的特征量，它反映了气体分子热运动与分子受重力场作用这一对矛盾。,这一对矛盾的相互协调形成稳定的大气压强分布。,可以想像，一旦热运动停止，大气中所有分子都会像砂粒一样落到地面 .,5,*2.6.2 旋转体中悬浮粒子径向分布 超速离心技术 台风、飓风、龙卷风,在如图的实验装置中，发现,竖直管中水面上升,h,高度。,现以水平管中距旋转中心轴,r,到,r+,d,r,的一段气体作为研究对象,。,设其中气体的密度为 ，,而管的横截面积,A.,在整个管中处,处均匀。,这段气体的质量为,现分析它的受力情况，,惯性离心力,方向沿径向向外,6,又,达到平衡时应有,因,故,积分后可得,7,(二)超速离心技术与同位素分离,该式可用于分离大分子、病毒、DNA及其它微粒，也可用于测量微粒的质量,。,超速离心机转速可在25r/s到数万r/s之间改变，从而使悬浮在液体中的微粒或大分子所受到的惯性离心力可远大于重力。,在十分大的惯性离心力作用下，不同质量粒子组成的混合物将在径向被很明显地分离开。,例如，若旋转半径为6cm，转速为10,3,r/s，则惯性离心力加速度可达6000g,。,正因为在超速离心力作用下分离效果较明显，因而这种方法也被广泛地应用于同位素分离，获得浓缩铀,而逐渐替代泻流法分离同位素.,8,（三）台风、飓风、龙卷风,台风（热带风暴）是指,：在处于热带的北太平洋西部洋面上局部积聚的湿热空气大规模上升至高空过程中，周围低层空气乘势向中心流动，在此过程中将出现沿地球径向运动的速度分量。,在科里奥利力的作用下形成空气旋涡，.这就称为台风或热带风暴。,气流旋转使台风中心（称为台风眼）气压很低,，低气压使云层裂开变薄，有时可见到日月星光。惯性离心力将云层推向四周，形成高耸的壁，狂风、暴雨均发生在台风眼之外。台风的直径一般为几百公里，最大可达1000 km。,在东太平洋和大西洋形成的“热带风暴”被称为飓风。,9,龙卷风也是一种猛烈的气旋,。但龙卷风直径仅几米到几百米，它生消迅速。由于气流的旋转性很强，中心气压很低，常将地面的水、尘土、泥沙夹卷而上，可拔树、掀屋面，故破坏力强,10,2.6.3 玻尔兹曼分布（Bortzmann distribution,）,（1）回转气体中粒子数密度沿径向的分布,(2)等温大气重力场中分布公式,(1)式与(2)式十分类同,所不同的仅是将 (-,mv,2,r,2,/2,kT,)代替了重力势能,mgz,。,11,注意到回转体在作宏观运动。前面已指出，,力学注意物体的外部表现（机械运动），而热学注意其内部运动（热运动）,。,故热学不考虑整体的宏观运动，若有宏观运动，其坐标系应取在运动系统上 .,注意到,m,2,r,就是坐标系取在回转体上的惯性离心力，它是一种保守力，,而保守力所作负功等于势能的增加,设在,r,=0处的势能为,E,p,（0）=0，则在,r=r,处的势能,12,指数上是粒子的惯性离心力势能与,kT,之比的负值,接下来看麦克斯韦速度分布,其指数上是粒子动能与,kT,比的负值,。,这三种分布都是按粒子能量,的分布，它们都有一个称为“玻尔兹曼因子”的因子,，因而,13,这两种不同状态可分别为：在重力势能的两种不同状态；在分子动能的两种不同状态；,在粒子惯性离心力势能的两种不同状态上。,从这三种分布，可归纳出这一规律，,这些分布中都有 ，称为玻尔兹曼因子,。,具有玻尔兹曼因子的分布，称为玻尔兹曼分布（Bortzmann distribution）,在温度为,T,的系统中，处于粒子能量为,1,的某一状态的粒子数密度为,n,1 ,处于粒子能量为,2,的另一状态上的粒子数密度为,n,2,。,14,玻尔兹曼分布可表示为,因为同一能量一般可有多个不同粒子状态。,例如，那些处于速度空间中以原点为中心、,v,为半径的球面上的理想气体分子，它们的能量均相同，但速度方向不同，粒子状态也各不相同。,玻尔兹曼分布表示：粒子处于能量相同状态上的概率是相同的；粒子处于能量不同状态的概率是不同的，粒子处于能量高状态上的概率反而小,.,玻尔兹曼分布是玻尔兹曼于1868年在推广麦克斯韦速度分布时建立的平衡态能量分布律.,15,玻尔兹曼分布是一种普遍的规律。,对于处于平衡态的气体中的原子、分子、布朗粒子，以及液体、固体中的很多粒子，一般都可应用玻尔兹曼分布，,只要粒子之间相互作用很小而可忽略.,16,由玻尔兹曼分布表示温度,应该强调:玻尔兹曼分布能为我们提供用来表示温度的另一表达式,它表示处于平衡态的系统，在（无相互作用）粒子的两个不同能量的状态上的粒子数的比值与粒子的能量之差之间的比值有确定的关系。,我们可利用这一关系来确定系统的温度。,17,第一章中己讲到关于温度的另一微观定义，,说明温度是微观粒子热运动平均能量大小的度量。,对于粒子只能取两个能级的系统，设在这两能级上的粒子数密度分别为,n,1,及,n,2,，若在,1,2,情况下有,n,1,n,2,关系，则,T,0.,18,负温度,但若在,1,2,情况下，,n,1,n,2,（这称为粒子数反转），这时,T,0，我们就称该粒子系统处于负温度（negative temperature）状态。,负温度仅存在于由两个能级所单独组成的子系中；且仅出现在短暂的时间中,。,产生激光的系统，就处于粒子数反转的负温度状态,。,正温度 无穷大温度 负温度,19,两能级系统的负温度,下面就以两能级系统为例来说明负温度是怎样的。,正温度 无穷大温度,负温度,从这里可以看到，当温度上升时，系统吸热，低,能级上的粒子跃迁到高能级.,当,高,能级上的粒子数等于,低,能级上的粒子数时，温度为,无穷大。,如果低,能级上的粒子继续跃迁到高能级，出现粒子数的反转。,这就是,负温度。负温度的温度比,无穷大温度还要高。,20,