1-2全排列及其逆序数

单击此处编辑母版标题样式,一、概念的引入,引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,1 2 3,1,2,3,百位,3种放法,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,种放法.,共有,二、全排列及其逆序数,问题,定义,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.,个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.,由引例,同理,在一个排列 中，若数,则称这两个数组成一个,逆序,.,例如,排列32514 中，,定义,我们规定各元素之间有一个标准次序,n,个不同的自然数，规定由小到大为,标准次序,.,排列的逆序数,3 2 5 1 4,逆序,逆序,逆序,定义,一个排列中所有逆序的总数称为此排列的,逆序数,.,例如,排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的,逆序数为3+1+0+1+0=5,.,计算排列逆序数的方法,方法1,分别计算出排在 前面比它大的数,码之和即分别算出 这 个元素,的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求,排列的逆序数.,逆序数为奇数的排列称为,奇排列,;,逆序数为偶数的排列称为,偶排列,.,排列的奇偶性,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码,个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，,这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆,序数.,方法2,例1,求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,32514,例2,计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为,偶排列.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,解,当 为偶数时，排列为偶排列，,当 为奇数时，排列为奇排列.,2,排列具有奇偶性.,3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.,1 个不同的元素的所有排列种数为,三、小结,思考题,分别用两种方法求排列16352487的逆序数.,思考题解答,解,用方法1,1 6 3 5 2 4 8 7,用方法2,由前向后求每个数的逆序数.,