《线性代数》电子教程之十

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线 性 代 数,电子教案之十,1,主要内容,第十讲,线性方程组(续),齐次线性方程组的基础解系的概念，基础,解系的求法；,齐次线性方程组的解的结构，即齐次线性,方程组的通解表达式；,齐次线性方程组的解空间的维数与系数矩,阵的秩的关系；,非齐次线性方程组的通解表达式.,基本要求,理解齐次线性方程组的基础解系的概念及系,数矩阵的秩与全体解向量的秩之间的关系，,熟悉基础解系的求法；理解非齐次线性方程,组的通解的构造.,2,一、复习,第四节,线性方程组的解的结构,1. 系数矩阵是方阵的线性方程组,设 为方阵，若 ，则线性方程组,有惟一解.,2. 系数矩阵是一般矩阵的线性方程组,（克莱默法则）,个未知数的齐次线性方程组 有非零解的充要条件是系数矩阵的秩 .,个未知数的非齐次线性方程组 有解,的充要条件是系数矩阵 的秩等于增广矩阵,的秩；且当 时方程组有惟一解，当 时方程组有无限多个解.,3,二、齐次线性方程组的解的构造,1. 齐次线性方程组的解的性质,性质1,若 为 的解，,则 也是,的解.,证,因为 为 的解，所以,因而,即 满足方程 .,4,性质2,若 为 的解， 为实数，,则,也是 的解.,证,因而,因为 为 的解，所以,即 满足方程 .,5,2. 齐次线性方程组的解空间,设齐次线性方程组 的所有解组成的集,合为 ，,显然 非空，,根据性质1知， 对于加法封闭，,根据性质2知，,对于数乘封闭，,所以 是一个向量空间，称为的,解空间.,6,3. 基础解系,定义,齐次线性方程组的解空间的基称为该齐次线性方程组的,基础解系.,换句话说，,齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐,次线性方程组的基础解系.,7,4. 齐次线性方程组的解的构造,根据最大无关组的定义或基的定义知，由齐次,线性方程组的基础解系，就可以构造齐次线性方,程组的通解表示式：,设齐次线性方程组 的基础解系为,则方程组 的通解为,8,三、基础解系的求法,设个未知数的方程组 的系数矩阵 的秩,，并不妨设 的前 个列向量线性无关，,则 的行最简形矩阵 为,如果非零首元不在,前，有类似结论，只是非自由未知数不同,9,方法一（先求同解再求基础解系）：,选取 作为自由未知数，并令它,们依次等于 ，得,10,即,11,写成向量形式为,记作,12,可知解集 中的任一向量 能由 线,又显然可见 线性无关，所以,性表示，,是解集的最大无关组，即,是方程组 的基础解系.,方法二（先求基础解系再求通解）：,选取 作为自由未知数，,令它们分别取下列 组数：,13,依次代入方程组,可以取其它情形的数组，只要所取的,个数组线性无关即可,14,于是所求基础解系为：,15,四、解空间的维数与系数矩阵的秩的关系,根据上述求基础解系的过程可得，齐次线性方,程组的解集的秩与系数矩阵的关系是：,定理7,设 矩阵 的秩 ，则 元齐次,线性方程组 的解集的秩,注意：,当 时，则 的解集的秩 ，,即方程组只有零解，此时方程组没有基础解系.,当 时，则 的基础解系含有,个向量.,16,例1,求齐次线性方程组,的基础解系与通解.,解,析：此例是最基本的求基础解系与求解齐次,方程的训练题. 与前面解决同一问题的方法相比,较，现在求解此问题时，大致有三个方面的提高：,解题思想更具有理论意义；,解题手法更加灵活；,并赋予它的解集以鲜明的集合意义.,17,对系数矩阵作初等行变换，变为行最简形，,于是可得,18,选取 为自由未知数，令,及,代入所得同解方程组，对应有,及,所以，所求基础解系为,方程组的通解为,19,说明,上述的解题过程是一个,“,标准程序,”,，其中把系,数矩阵化为行最简形也是采用,“,标准程序,”,（第,一行第一列的元素是非零首元）.,自由未知数取不同的数组，可以得到不同的基,础解系；若,对应的基础解系为,20,用初等行变换化简系数矩阵，若不采用,“,标准,程序,”,化为行最简形，而是将系数矩阵的某些,列化为单位坐标向量.,这样可以灵活地选取自,由未知数，从而得到不同于按,“,标准程序,”,得到的基础解系.,21,所以基础解系为,由以上说明更加清晰看出，基础解系不是惟一,的，所以通解表达式也不是惟一的.但是基础解,系中所含向量个数是惟一的.,22,例2,设 ，证明 .,证,记 ，则,都是方程 的解,设 的解集为 ，由 知，,即,而由定理7知，,故,23,说明,由于当 时，有 ，所以,的解；,的行向量都是齐次方程 的解.,此例的结论：当 时， 有,着十分广泛的应用.,当 时， 的列向量都是齐次方程,这里 =矩阵 的列数=矩阵 的行数.,24,例3,证明矩阵 与 行向量组等价的充要,条件是齐次方程组 与 同解.,证,析：讨论两个向量组等价，首先想到定理2,的推论，但是推论讲的是两个列向量组等价的充,要条件，即,矩阵 与 的向量组等价,现在讨论的是行向量组，而 与 的行向量组就,是 与 的列向量组，因此,矩阵 与 的行向量组等价,25,必要性：,矩阵 与 的行向量组等价，就是方程,组 与 可以互推.,也就是方程组 与 同解.,充分性：,方程组 与 同解,方程组 、 与 同解,它们的解集的秩相等,它们系数矩阵的秩相等，即,矩阵 与 的行向量组等价.,26,说明,矩阵 与 的行向量组等价，就是方程组,与 可以互推.,因此，此例可以该叙为：,齐次方程组 与 可互推的充要,条件是它们同解.,27,例4,证明,证,析：此题仍然是运用解空间的维数与系数矩,阵的秩的关系证明结论的一道题目.,下面证方程组 与 同解：,若 满足 ，则有 ，,即,设 为 矩阵， 为 维列向量.,若 满足 ，则有,即,从而推知,由以上可知 与 同解，因此,28,说明,此题的结论对任意实矩阵都是成立的，但对复,矩阵结论不成立. 因为,对于复列向量 ，不能由 推出,复矩阵 ，结论应该为,此题的结论是矩阵 的一个重要性质.,29,五、非齐次线性方程组的解的构造,1. 非齐次线性方程组的解的性质,性质3,设 都是 的解，,则 是其对应的齐次方程组 的解.,证,性质4,设 是方程组 的解， 是其对应的,齐次方程组 的解，,则 仍是,的解.,证,30,2. 非齐次线性方程组的解的构造,设 是 的任一解，若已经求得,的一个解 ，,则 总可以表示为,其中 为方程 的解.,若 的基础解系为 则,反之，对任何实数 上式总是 的解.,31,非齐次线性方程组的解,设 ，若 的基础解系为,， 是 一个解,（特解）,，,则 的通解为,32,注意：,非齐次线性方程组 的解集,不是向量空间.,33,例5,求解方程组,解,对增广矩阵施行初等行变换：,34,可见,故方程组有解，且有,所以特解为,又对应的齐次方程组可化为,35,所以对应的齐次方程组的基础解系为,于是所求通解为,36,例6,已知方程组,：,的一个基础解系为,37,试写出方程组,的通解，并说明理由.,解,析：此题的目的是运用解空间的维数与系数,矩阵的关系求解方程.,：,把方程组与的系数矩阵分别记为 与 .,则此题可叙述为,38,“,已知方程组 基础解系是 的列向量,组，试写出 的通解.,”,于是可得,因而,所以 的列向量是 的解，且 的列,向量组就是 的基础解系.,（由定理7）,39,六、小结,设 元齐次线性方程组 的解集为 ，则,解集 的一个最大无关组称为齐次方程组的基,础解系.设 ，则 ，知基础解,系含 个解向量.,设 为齐次线性方程组的基础解系，,则其通解为,设非齐次方程组 的一个解为 ，对应的齐次线性方程组 的基础解系为 ，则 的通解为,40,求解方程组 的,“,标准程序,”,：,用初等行变换化简增广矩阵；,判断方程是否有解，若有解，则将增广矩阵,化为行最简形；,根据增广矩阵的行最简形求出一个特解；,根据系数矩阵的行最简形（将增广矩阵的行,最简形的最后列去掉即得），求出对应的齐次,方程组的基础解系；,写出通解表达式.,41,作业：,P,110,22.(1)(3),23. 25.,26. 27.,P,111,29. 30.,31. 32.,42,