资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6-9 极值问题,1. 多元函数极值问题,则称函数在点 处有,极大,(,小,),值,；-,极值,称点 为,极大,(,小,),值点,； -,极值点,定义,设函数 在区域 内有定义， 是,的内点，若存在的一个邻域，使得对该,邻域,内任一点 ，都有,1,二元函数的极值图例,有极小值,有极大值,2,定理1 (极值的必要条件),若函数 在点 处达到极值,且,存在, 则必有,证,特别地有,上式表明一元函数 在 取得极大值，,由一元函数,取得极值的必要条件，有,同理可证,3,各偏导数存在的极值点一定是稳定点.但稳定点不一,定是极值点.,满足方程组 的点为 的,稳定点,.,4,定理,（极值存在的充分条件）,令,设函数,在点,的某个邻域内,有,连续,二阶偏导数，且,根据代数知识，,5,为简便起见，令,则,证,根据泰勒公式有,6,根据二阶偏导数连续的假定，,因此,7,一定不是极值,可能是，也可能不是极值,8,例3,求函数,解,第一步 求稳定点.,得驻点,: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点,(1,0),处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,9,在点,(,3,0),处,不是极值;,在点,(,3,2),处,为极大值.,在点,(1,2),处,不是极值;,10,补例.,讨论函数,及,是否取得极值.,解,显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此,z,(0,0) 不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能为,11,2. 多元函数的最值问题,若函数在闭区域 D 上连续时,它在D上有,最大(小)值,，最值一定是在极值点或边界上取得.,在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域 D 内部取到最值，而函数在 D 内又只有,唯一,的稳定点，则可判定函数在该,稳定点,即取得,最值,.,12,问题的提出:,已知一组实验数据,求它们的近似函数关系,y,f,(,x,) .,需要解决两个问题,:,1. 确定近似函数的类型,根据数据点的分布规律,根据问题的实际背景,2. 确定近似函数的标准,实验数据有误差,不能要求,最小二乘法,13,偏差,有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小,为使所有偏差的绝对,来确定近似函数,f,(,x,) .,最小二乘法原理:,设有一列实验数据,分布在某条曲线上,通过,偏差平方和最小,求该曲线的方,法称为,最小二乘法,找出的函数关系称为,经验公式 ., 它们大体,14,特别, 当数据点分布近似一条直线时,问题为确定,a,b,令,满足:,使,得,解此线性方程组,即得,a,b,称为法方程组,15,使利用这个近似公式算出的 值与实验所得值的误差平,方和,最小.,例 4 （最小二乘法）,已知变量 是变量 的函数，由,实验测得当 取得 个不同的值 时，对应的,的 值分别为 . 试据此作一个最佳线性近似,公式：,16,解,问题 转化为求二元,函数 的最小值.,令,即,解此线性方程组,即得,a,b,称为法方程组,用归纳法可证方程组的系数行列式,17,于是得到最,线性近似公式,18,补例,解,设水箱长,宽分别为,x,y,m,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得稳定点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,因此可,断定此唯,稳定,一点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省.,19,3. 条件极值,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,习题 6-9 1.(1) (3) 4.6.7,20,例如,求表面积为a,2,而体积为最大的长方体的体积问题.,设长方体三棱的长为x,y,z，,则体积为V=xyz，又因表面积,为a,2,，,所以x,y,z必须满足附加条件2(xy+yz+xz)= a,2,. 但我,们可把条件极值化为无条件极值问题，即将z表成x,y的,函 数,再把上式代入V=xyz中，则问题化为,的无条件极值.,21,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,例如 ,转化,22,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,23,引入辅助函数,辅助函数,F,称为拉格朗日( Lagrange )函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为,拉格朗日乘数法.,24,为求,在约束条件 下的极值点,其中 是常数，称为,拉格朗日乘数,.,作辅助函数：,（拉格朗日函数）,解方程组,再,判断,此稳定点是否是,条件极值点,.,设法消去而得到的解，它们就是条件极值的稳定点 .,25,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如,求函数,下的极值.,在条件,26,例 求表面积为,而体积为最大的长方体的体积.,解,设长方体的三棱长 ,则问题就是在条件,下，求函数,的最大值.,作拉格朗日函数,求其对 的一阶偏导数，并使之为零，得到,27,由以上两式得,将上式代入(1)式，可得,这是唯一可能的极值点.此时最大体积为,28,例5,解,时，,解方程组,29,由方程组（6.6）前三个方程得,由此推得,代入方程组（6.6）中第四个方程得,由此求,惟一稳定点,前面已断定函数的最大值在球面内达到，故这惟一,稳定点就是最大值点.,最大值为,30,
展开阅读全文